數(shù)學(xué)十字交叉法

1、2014備考之?dāng)?shù)學(xué)十字交叉法一般情況下，我們是在“溶液問題”中引入“十字交叉法”，原理如下所示：重量分別為A和B的溶液，濃度分別為a和b，混合后的濃度為r?？傻茫篈aBb(AB)r十字交叉法主要用于解決加權(quán)平均型問題，即由兩個不同的“數(shù)值”混合在一起形成新的“平均值”的問題。十字交叉最終得到的是一個比例，關(guān)鍵在于確定這個比例是什么量的比例！十字交叉法常用的情況有以下五種：一、溶液混合問題兩種不同濃度的溶液混合，得到的混合濃度大小居中，十字交叉所得到的比例為混合前溶液的質(zhì)量之比或體積之比?！纠?】要將濃度分別為20%和5%的A、B兩種食鹽水混合配成濃度為15%的食鹽水900克。問5%的食鹽水需要

2、多少克？（ ）A. 250B. 285C. 300D. 325【答案】C【解析】本題考查溶液混合。濃度為20%的溶液與濃度為5%的溶液混合后得到的混合溶液的濃度為15%，混合濃度大小居中。十字交叉法表示如下：即，故B溶液的質(zhì)量為×900300。因此，本題選擇C選項?！纠?】燒杯中裝了100克濃度為10%的鹽水。每次向該燒杯中加入不超過14克濃度為50%的鹽水。問最少加多少次之后，燒杯中的鹽水濃度能達到25%？（假設(shè)燒杯中鹽水不會溢出）A.6B.5C.4D.3【答案】B【解析】濃度為10%的溶液與濃度為50%的溶液混合后得到的混合溶液的濃度為25%，十字交叉法表示如下：即，可得50%濃

3、度的溶液需要60克。60÷1444，即至少需要加5次。因此，本題選擇B選項。二、增長率混合總量的兩個分量增長率混合，得到的混合增長率大小居中，十字交叉所得到的比例為兩個分量的基期量之比?！纠?】某公司2011年前三季度營業(yè)收入7650萬元，比上年同期增長2%，其中主營業(yè)務(wù)收入比上年同期減少2%，而其他業(yè)務(wù)收入比上年同期增加10%，那么該公司今年前三季度主營業(yè)務(wù)收入為（ ）。A.3920萬元B.4410萬元C.4900萬元D.5490萬元【解析】本題考查增長率的混合。十字交叉法表示如下：可得2010年前三季度主營業(yè)務(wù)收入與其他業(yè)務(wù)收入之比為2：1，主營業(yè)務(wù)收入占總收入的比重為。2010

4、年前三季度營業(yè)收入為7650÷（12%）7500（萬元），主營業(yè)務(wù)收入為萬元，則2011年前三季度主營業(yè)務(wù)收入為5000×（12%）4900萬元。因此，本題選擇C選項?！纠?】某人持有兩只股票，某日收盤時A股損失2%，B股上漲10%，其兩只股票總價值為22950元，總體上漲2%，則收盤時A股價值為（ ）元。A. 15000B. 14700C. 15450D. 7500【答案】B【解析】本題考查增長率問題。十字交叉法表示如下：可得A、B兩股的總價值之比為，因此A股的原價值為元，收盤時損失2%，則收盤時的價格為15000×（12%）14700（元）。因此，本題選擇B選

5、項。三、平均數(shù)混合兩組數(shù)據(jù)混合，得到的混合平均數(shù)大小居中，十字交叉所得到的比例為兩組數(shù)據(jù)的數(shù)量之比?！纠?】在環(huán)保知識競賽中，男選手的平均得分為80分，女選手的平均得分為65分，全部選手的平均得分為72分。已知全部選手人數(shù)在35到50之間，則全部選手人數(shù)為（ ）。A.48B.45C.43D.40【答案】B【解析】平均數(shù)混合，男選手的平均得分為80分，女選手的平均得分為65分，全部選手的平均得分為72分，利用十字交叉法可得：可得男選手與女選手的人數(shù)比為7：8，因此總?cè)藬?shù)應(yīng)該是15的倍數(shù)，而已知全部選手人數(shù)在35到50之間，其中只有45是15的倍數(shù)，則全部選手人數(shù)為45人。因此，本題選擇B選項?！?/p>

6、例6】某班一次數(shù)學(xué)測試，全班平均91分，其中男生平均88分，女生平均93分，則女生人數(shù)是男生人數(shù)的多少倍？（ ）A. 0.5B. 1C. 1.5D. 2【解析】本題考查平均數(shù)混合。男生的平均分為88分，女生的平均分為93分，男女混合后總的平均分是91分，大小介于男生和女生之間，十字交叉法表示如下：則女生人數(shù)與男生人數(shù)的比值為3：2，即女生人數(shù)是男生的1.5倍。因此，本題選擇C選項?！纠?】某單位共有A、B、C三個部門，三部門人員平均年齡為38歲、24歲、42歲。A和B兩部門人員平均年齡為30歲，B和C兩部門人員平均年齡為34歲。該單位全體人員平均年齡為幾歲？（ ）A. 34B. 36C. 35

7、D. 37【答案】C【解析】本題屬于平均數(shù)問題。利用十字交叉法算得A、B兩部門的人數(shù)之比為3：4，B、C兩部門的人數(shù)之比為4：5，故A、B、C三部門的人數(shù)之比為3：4：5，則平均年齡為歲。因此，本題選擇C選項。四、利潤率混合兩種不同利潤率的商品混合，得到的混合利潤率大小居中，十字交叉得到的比例為兩種利潤率混合前所對應(yīng)商品的銷量之比?！纠?】甲、乙兩種商品，其成本價共100元，如甲乙商品分別按30%和20%的利潤定價，并以定價的90%出售，全部售出后共獲得利潤14.3元，則甲商品的成本價是（ ）。A.55元B.60元C.70元D.98元【答案】C【解析】設(shè)甲、乙兩種商品的成本價分別為x、y元，甲

8、產(chǎn)品售出后的利潤率為，乙產(chǎn)品的利潤率為，總的利潤率為，十字交叉如下：可得出甲、乙的成本之比為，而甲、乙的總成本為100元，則甲產(chǎn)品的成本為70元。因此，本題選擇C選項?！纠?】商店花10000元進了一批商品，按期望獲得相當(dāng)于進價25%的利潤來定價。結(jié)果只銷售了商品總量的30%。為盡快完成資金周轉(zhuǎn)，商店決定打折銷售，這樣賣完全部商品后，虧本1000元。問商店是按定價打幾折銷售的？（ ）A.九折B.七五折C.六折D.四八折【答案】C【解析】商品分為兩部分，30%的利潤率為25%，總的利潤為-10%，設(shè)剩余70%的利潤率為x%，十字交叉如下：可得，解得。設(shè)共購買100件商品，進價為100元，定價為1

9、25元，70%的實際售價為元，折扣為。因此，本題選擇C選項。五、折扣混合兩種不同折扣的商品混合，得到的混合折扣大小居中，十字交叉得到的比例為混合前所對應(yīng)商品的總定價之比?！纠?0】一批手機，商店按期望獲得100%的利潤來定價，結(jié)果只銷售掉70%。為了盡早銷售掉剩下的手機，商店決定打折出售，為了獲得的全部利潤是原來期望利潤的91%，則商店所打的折是（ ）。A. 六折B. 七折C. 八五折D. 九折【答案】C【解析】設(shè)打折的30%的商品的利潤率為x%，用十字交叉法可得：則可得到，解得x70，剩余30%的商品的折扣為。因此，本題選擇C選項。【例11】校長去機票代理處為單位團購機票10張，商務(wù)艙定價1200元/張，經(jīng)濟艙定價700元張。由于買的數(shù)量較多，代理商就給予優(yōu)惠，商務(wù)艙按定價的9折付錢，經(jīng)濟艙按定價6折付錢，如果他付的錢比按定價少31%，那么校長一共買了經(jīng)濟艙幾張？（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9C 本題考查折扣混合。商務(wù)艙的折扣為9折，經(jīng)濟艙的折扣為6折，混合后的折扣為6.9折（131%=69%），混合折扣大小介于商務(wù)艙和經(jīng)濟艙之間，十字交叉法表示如下：=可以得到商務(wù)艙的原價：經(jīng)濟艙的原