清華大學(xué)中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性測試1數(shù)學(xué)理試卷及答案

1、數(shù)學(xué)理科試卷第卷（選擇題）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每個小題給出的四個選項中，有且只有一項符合題目要求.，集合，則圖中陰影部分表示的集合為 A. B. C. D. ：若，則方程表示焦點在軸上的雙曲線；命題：在中，若，則，則下列命題為真命題的是 A. B. C. D.3.魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)割圓術(shù)，他在九章算術(shù)方田章圓填術(shù)中指出：“割之彌細(xì)，所失彌少。割之又割，以至于不能割，則與圓周合體而無所失矣。”這是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程，比如在正數(shù)中的“”代表無限次重復(fù)，設(shè)，則可利用方程求得，類似的可得正數(shù) A. 3 B. 5 C. 7 D. 94.如圖，在矩形中的曲線分別

2、是，在矩形內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率為 A. B. C. D. 5.下面的程序框圖的算法思路來源于我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中的“更相減損術(shù)”。若輸入的分別為98和63，執(zhí)行該程序框圖后，輸出的值6.某幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的最長棱為 A. B. C.5 D. 中，且，則數(shù)列的前項和為 A. B. C. D.的左、右頂點分別為，虛軸的兩個端點分別為，若四邊形的內(nèi)切圓的面積為，則雙曲線的離心率為 A. B. C.2 D. 在處的切線與直線平行，則的展開式中的常數(shù)項為 A. -20 B. 20 C. -15 D. 15的圖象向左平移個單位，再將所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱

3、坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，則下面關(guān)于函數(shù)的敘述不正確的是的周期為B. 函數(shù)的一個對稱中心為在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增 時，函數(shù)有最小值-1滿足，若函數(shù)的圖象與函數(shù)圖象的交點為，則 A. B. C. D.分別是函數(shù)和圖象上的點，若直線軸，則兩點間距離的最小值為 A. B. C. D.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.的夾角為，且，則與的夾角的正切值為.滿足，則的取值范圍為.15. 已知正四面體ABCD的棱長為，四個頂點都在球心O的球面上，點P為棱BC的中點，過P作球O的截面，則截面面積的最小值為.的焦點F作直線與拋物線交于A,B兩點，記拋物線在A,B兩點處的切線的交點為P,則面積的最小值為

4、.三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明或推理、驗算過程.17.（本題滿分12分）已知的面積為S,其外接圓半徑為R,三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為， （1）求角C; （2）若，求及的面積18.（本題滿分12分） 如圖，多面體中，四邊形是直角梯形，且，平面平面是的中點，是上的點. （1）若平面，求證：是中點； （2）若，且，求二面角的余弦值.19.（本題滿分12分）某電視廠家準(zhǔn)備在元旦期間舉辦促銷活動，現(xiàn)根據(jù)近七年的廣告費與銷售量的數(shù)據(jù)確定此次廣告費支出。廣告費支出和銷售量（萬臺）的數(shù)據(jù)如下： （1）若用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，求出關(guān)于的線性回歸方程； （2）若用模型

5、擬合與的關(guān)系可得回歸方程，經(jīng)計算線性回歸模型及該模型的分別為0.75和0.88，請用說明選擇哪個回歸模擬模型更好。 （3）已知利潤與的關(guān)系為，根據(jù)（2）的結(jié)果回答下列問題：廣告費時，銷售量及利潤的預(yù)報值是多少？廣告費為何值時，利潤的預(yù)報值最大？（精確到0.01）20.（本題滿分12分） 已知圓，定點，P是圓周上任意一點，線段AP的垂直平分線與BP交于點Q. （1）求點的軌跡C的方程； （2）直線過點A且與軸不重合，直線交曲線C于M,N兩點，過A且與垂直的直線與圓B交于D,E兩點，求四邊形面積的取值范圍.21.（本題滿分12分） 已知函數(shù) （1）討論的單調(diào)性； （2）若在定義域內(nèi)有兩個極值點，求證：.請考生在第22、23兩題中任選一題作答，如果兩題都做，則按照所做的第一題給分；作答時，請用2B鉛筆將答題卡上相應(yīng)的題號涂黑。22.（本題滿分10分）選修4-4：參數(shù)方程與極坐標(biāo)系 在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點O為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為（1）求曲線的參數(shù)方程，直線的普通方程；（2）過曲線C上任意一點P作與夾角為的直線，交于點A，求的最大值與最小值.23