新人教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)2132實(shí)際問題與一元二次方程2名師教案

1、21.3 實(shí)際問題與一元二次方程（2）21.3.2 航行問題、幾何問題（胡雯雯）一、教學(xué)目標(biāo)（一）核心素養(yǎng)在幾何問題中以學(xué)生熟悉的現(xiàn)實(shí)生活為背景，讓學(xué)生從具體問題中抽象出數(shù)量關(guān)系. 經(jīng)歷觀察、思考、交流，歸納出變化規(guī)律，并用數(shù)學(xué)符號(hào)表示，進(jìn)而解決實(shí)際問題. 進(jìn)一步提高邏輯思維和解決問題的能力,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力.體現(xiàn)數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用.（二）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.在幾何背景下，讓學(xué)生通過畫圖獨(dú)立理解并解決問題，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)幾何問題的分析能力，以及將數(shù)學(xué)知識(shí)和實(shí)際問題相結(jié)合的思維能力.2.培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力.3.根據(jù)實(shí)際情況驗(yàn)證結(jié)果的合理性.（三）學(xué)習(xí)重點(diǎn)建立數(shù)學(xué)模型，找等量關(guān)系，列方程（四）學(xué)習(xí)難點(diǎn)找

2、等量關(guān)系，列方程二、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）課前設(shè)計(jì)預(yù)習(xí)任務(wù)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是a和b，則其面積為ab ,周長(zhǎng)為 2（a+b） .三角形一邊及其這邊上的高分別為a，h，則其面積為圓的半徑為r，其面積為 ，周長(zhǎng)為.預(yù)習(xí)自測(cè)1.如圖，矩形ABCD是由三個(gè)矩形拼接成的，如果AB=8cm，陰影部分的面積是24cm2，另外兩個(gè)小矩形全等，那么小矩形的長(zhǎng)為cm【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：設(shè)小矩形的長(zhǎng)為xcm，則小矩形的寬為（8x）cm，根據(jù)題意得：xx（8x）=24，解得：x=6或x=2（舍去），【思路點(diǎn)撥】設(shè)小矩形的長(zhǎng)為xcm，則小矩形的寬為（8x）cm，然后表示出陰影部分的

3、寬，從而根據(jù)其面積列出方程求解即可【答案】6cm2.如圖，圓環(huán)的形狀如圖所示，它的面積是200cm2，外沿大圓的半徑是9cm，求內(nèi)沿小圓的半徑的長(zhǎng)若設(shè)小圓的半徑長(zhǎng)為xcm，可列方程為【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：設(shè)小圓的半徑長(zhǎng)為xcm，由題意，得81x2=200【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圓環(huán)的面積公式：圓環(huán)的面積=大圓的面積小圓的面積，把數(shù)據(jù)代入公式即可列出方程【答案】81x2=2003. 如圖，張叔叔計(jì)劃利用一面墻（墻長(zhǎng)為16m）、32m長(zhǎng)的籬笆及一扇寬為1m的木門修建一個(gè)面積為130m2的矩形雞場(chǎng)若設(shè)AB=xm，則BC用含x的代數(shù)式可表示為m，依題意列方程解之得：

4、滿足題意的x=AB=m，BC=m【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：設(shè)AB=xm，則BC用含x的代數(shù)式可表示為（32+12x）=（332x）m，依題意列方程：x（332x）=130解之得：x1=，x2=10滿足題意的x=10AB=10m，BC=13m【思路點(diǎn)撥】設(shè)AB=xm，則BC用含x的代數(shù)式可表示為（332x）m，根據(jù)雞場(chǎng)是面積為130m2的矩形，列出方程求解即可【答案】（332x）；x（332x）=130；x1=，x2=10；10； 134.如圖，在RtABC中，C=90°，點(diǎn)P以1cm/s的速度由點(diǎn)A向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以2cm/s的速度由點(diǎn)C向終點(diǎn)

5、B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)自己的終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)現(xiàn)已知AC=12cm，BC=9cm，設(shè)運(yùn)動(dòng)了t秒時(shí)，SPQC=SABC，則t的值為【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：由題意得：PC=（12t）cm，CQ=2t，則×2t（12t）=××9×12解得：t=3或t=9（舍去）【思路點(diǎn)撥】分別表示出線段PC和線段CQ的長(zhǎng)后利用SPQC=SABC列出方程求解【答案】3s（二）課堂設(shè)計(jì)（1）列方程解應(yīng)用題的一般步驟：審，找，設(shè)，列，解，檢驗(yàn)，答（2）列方程解決應(yīng)用問題的關(guān)鍵在于找到等量關(guān)系，從而建立方程求解.（3）正方形，長(zhǎng)方形，

6、三角形，圓等幾何圖形的周長(zhǎng)及面積計(jì)算公式；長(zhǎng)方體，正方體的體積及表面積計(jì)算公式.探究一 面積體積問題活動(dòng)1 面積問題例. 如圖所示，在一幅長(zhǎng)80cm，寬50cm的矩形風(fēng)景畫的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如果要使整個(gè)掛圖的面積是5400cm2，設(shè)金色紙邊的寬為xcm，求滿足x的方程師問：（1）掛圖長(zhǎng)為cm，寬為cm. （2）等量關(guān)系是：_.生答：（1）80+2x；50+2x（2）掛圖面積為5400 cm2.師問:如何列方程？生答：解：掛圖長(zhǎng)為（80+2x）cm，寬為（50+2x）cm；所以（80+2x）（50+2x）=5400，即4x2+160x+4000+100x=5400，所以4x

7、2+260x1400=0即x2+65x350=0【思路點(diǎn)撥】找出掛圖的長(zhǎng)和寬，根據(jù)其積為5400，即長(zhǎng)×寬=5400，列方程進(jìn)行化簡(jiǎn)即可【設(shè)計(jì)意圖】掌握在幾何問題中找長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬.活動(dòng)2 體積問題如圖，張大叔從市場(chǎng)上買回一塊矩形鐵皮，他將此矩形鐵皮的四個(gè)角各剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為1米的正方形后，剩下的部分剛好能圍成一個(gè)容積為15m3的無蓋長(zhǎng)方體箱子，且此長(zhǎng)方體箱子的底面長(zhǎng)比寬多2米，求該長(zhǎng)方體的底面寬，若該長(zhǎng)方體的底面寬為x米：（1）用含x的代數(shù)式分別表示出該長(zhǎng)方體的底面長(zhǎng)和容積（2）請(qǐng)列出關(guān)于x的方程師問：（1）長(zhǎng)方體運(yùn)輸箱底面的寬為xm，則長(zhǎng)為_m，進(jìn)而得到容積為_.（2）等量關(guān)系是：

8、_.生答：（1）x+2；x（x+2）；（2）容積是15m3.師問：如何列方程?解：（1）長(zhǎng)方體運(yùn)輸箱底面的寬為xm，則長(zhǎng)為（x+2）m容積為x（x+2）×1=x2+2x；（2）x2+2x=15教師點(diǎn)撥：（1）表示出長(zhǎng)方體運(yùn)輸箱底面的寬為xm，則長(zhǎng)為（x+2）m，進(jìn)而得到容積為x（x+2）即可（2）由圍成一個(gè)容積為15m3的無蓋長(zhǎng)方體箱子，根據(jù)（1）列方程即可【設(shè)計(jì)意圖】考查列代數(shù)式以及由實(shí)際問題列一元二次方程，利用長(zhǎng)方體的體積計(jì)算公式來解決問題探究二 勾股定理中的一元二次方程活動(dòng)1 勾股定理的應(yīng)用例. 直角三角形的三邊長(zhǎng)是3個(gè)連續(xù)偶數(shù)，求這個(gè)三角形的三邊長(zhǎng). 師問：（1）設(shè)最短邊為2

9、x，另外兩邊長(zhǎng)為:_,_.（2）等量關(guān)系是：_.生答（1）2x+2，2x+4，（2）直角三角形兩直角邊的平方和=斜邊的平方.師問：如何列方程求解生答：解：設(shè)最短邊為2x，則另外兩邊的長(zhǎng)為2x+2，2x+4，根據(jù)題意得：（2x）2+（2x+2）2=（2x+4）2；化為一般形式為：x22x3=0故x1=3，x2=-1（舍）所以三邊長(zhǎng)為6,8,10.教師點(diǎn)撥：根據(jù)一邊長(zhǎng)表示出另外兩邊的長(zhǎng)，然后利用勾股定理列出方程即可；【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)會(huì)用字母表示直角三角形的三邊，繼而通過勾股定理尋找等量關(guān)系.活動(dòng)2 航行問題中的勾股定理例.如圖所示，一艘輪船以20海里/時(shí)的速度由西向東航行，途中接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)，臺(tái)風(fēng)中心

10、正以40海里/時(shí)的速度由南向北移動(dòng)，臺(tái)風(fēng)中心海里的圓形區(qū)域（包括邊界）都屬臺(tái)風(fēng)區(qū)當(dāng)輪船到A處時(shí)，測(cè)得臺(tái)風(fēng)中心移到位于點(diǎn)A正南方向B處，且AB=100海里若這艘輪船自A處按原速度繼續(xù)航行，在途中會(huì)不會(huì)遇到臺(tái)風(fēng)？若會(huì)，試求輪船最初遇到臺(tái)風(fēng)的時(shí)間；若不會(huì)，請(qǐng)說明理由. 師問：（1）設(shè)t時(shí)刻，輪船行駛到C點(diǎn)，此時(shí)AC=；臺(tái)風(fēng)中心運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)，此時(shí)AE=； （2）等量關(guān)系是：_.生答：（1）AC= 20t ；AE= 100-40t ；（2）EC2=AC2+AE2.師問：如何列方程求解?生答：解：若這艘輪船自A處按原速繼續(xù)航行，在途中會(huì)遇到臺(tái)風(fēng)設(shè)t時(shí)刻，輪船行駛到C點(diǎn)，臺(tái)風(fēng)中心運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)，如圖所示： 則可知

11、AC=20t，AE=100-40t， 根據(jù)勾股定理得：EC2=AC2+AE2,當(dāng)EC=時(shí)，整理得出：t2-4t+3=0解得：t1=1，t2=3，求最初遇臺(tái)風(fēng)時(shí)間，t=1.答：點(diǎn)C在臺(tái)風(fēng)影響的范圍內(nèi)，會(huì)受到影響，輪船最初遇到臺(tái)風(fēng)的時(shí)間是行駛1小時(shí)教師點(diǎn)撥：根據(jù)勾股定理可得出此時(shí)輪船到臺(tái)風(fēng)中心的距離，進(jìn)而可列方程.【設(shè)計(jì)意圖】訓(xùn)練在方向角背景下用字母表示相關(guān)邊長(zhǎng)，再利用勾股定理找等量關(guān)系.探究三 動(dòng)點(diǎn)問題活動(dòng)1 三角形背景下的三角形面積例. 已知：如圖，在ABC中，B=90°，AB=5cm，BC=7cm點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2c

12、m/s的速度移動(dòng)（1）如果P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，那么幾秒后，PBQ的面積等于6cm2？（2）如果P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，那么幾秒后，PQ的長(zhǎng)度等于5cm？（3）在（1）中，PQB的面積能否等于8cm2？說明理由師問：（1）設(shè)經(jīng)過x秒鐘，BQ=_, BP=_. （2）等量關(guān)系是：_.生答：（1）2x，5x；（2）BP2+BQ2=PQ2師問：如何列方程求解?生答：解：（1）設(shè)：經(jīng)過x秒以后PBQ面積為6 ×（5x）×2x=6整理得：x25x+6=0解得：x=2或x=3答：2或3秒后PBQ的面積等于6cm2 （2）當(dāng)PQ=5時(shí)，在RtPBQ中，BP2+BQ2=PQ2，（

13、5x）2+（2x）2=52，5x210x=0，x（5x10）=0，x1=0，x2=2，當(dāng)x=0或2時(shí)，PQ的長(zhǎng)度等于5cm（3）設(shè)經(jīng)過x秒以后PBQ面積為8，×（5x）×2x=8整理得：x25x+8=0=2532=70PQB的面積不能等于8cm2教師點(diǎn)撥：（1）設(shè)經(jīng)過x秒鐘，PBQ的面積等于6平方厘米，根據(jù)點(diǎn)P從A點(diǎn)開始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，表示出BP和BQ的長(zhǎng)可列方程求解（2）根據(jù)PQ=5，利用勾股定理BP2+BQ2=PQ2，求出即可；（3）（1）中面積=8cm2，求解方程.【設(shè)計(jì)意圖】訓(xùn)練在幾何背景下用

14、字母表示變化的邊長(zhǎng)，根據(jù)面積列方程式解決問題.活動(dòng)2 四邊形背景下的三角形面積如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90°，AD=6cm，AB=8cm，BC=14cm動(dòng)點(diǎn)P、Q都從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P沿CB方向做勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿CDA方向做勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P、Q其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)若點(diǎn)P以1cm/s速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，連接BQ、PQ當(dāng)時(shí)間t為秒時(shí)，BQP的面積為24cm2師問：整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中有幾種情況？生答：分兩種情況討論：點(diǎn)Q在CD上；點(diǎn)Q在DA上師問：兩種情況的時(shí)間的分界點(diǎn)是多少？生答：4s.師問：當(dāng)Q在CD上，要表示BPQ的面積，需要知道它的

15、底和高.若以BP為底，則需要做什么輔助線？生答：過Q點(diǎn)作QGBC于G.師問：此時(shí)，BP=_,QG=_.生答：14t，2t.師問：當(dāng)Q在A D上，要表示BPQ的面積，需要知道它的底和高.若以BP為底，則需要做什么輔助線？生答：過Q點(diǎn)作QGBC于G.師問：此時(shí)，BP=_,QG=_.生答：14t，8.師問：如何列方程求解生答：解：如圖1，過D點(diǎn)作DHBC，垂足為點(diǎn)H，則有DH=AB=8cm，BH=AD=6cmCH=BCBH=146=8cm在RtDCH中，DHC=90°，CD=8cm當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s），則PC=t如圖1，當(dāng)點(diǎn)Q在CD上時(shí)，過Q點(diǎn)作QGBC，垂足為點(diǎn)G，則QC=2t

16、又DH=HC，DHBC，C=45°在RtQCG中，由勾股定理可得QG=2t（QG=QCsinC=2t×sin45°=2t）又BP=BCPC=14t，SBPQ=BP×QG=（14t）×2t=14tt2當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)所需要的時(shí)間t=4S=14tt2（0t4），當(dāng)S=24時(shí)，14tt2=24，解得：t1=2，t2=12（舍）如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q在DA上時(shí)，過Q點(diǎn)作QGBC，垂足為點(diǎn)G，則：QG=AB=8cm，BP=BCPC=14t，SBPQ=BP×QG=（14t）×8=564t當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)所需要的時(shí)間t=S=564t（4t4+），

17、當(dāng)S=24時(shí)，564t=24，解得：t=84+，舍去，綜上，當(dāng)t=2時(shí)，S=24.教師點(diǎn)撥：由于點(diǎn)P在線段CB上運(yùn)動(dòng)，而點(diǎn)Q沿CDA方向做勻速運(yùn)動(dòng)，所以分兩種情況討論：點(diǎn)Q在CD上；點(diǎn)Q在DA上針對(duì)每一種情況，都可以過Q點(diǎn)作QGBC于G由于點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s），可用含t的代數(shù)式分別表示BP、QG的長(zhǎng)度，然后根據(jù)三角形的面積公式列出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍，根據(jù)面積為24cm2，列出方程，解方程并結(jié)合t的范圍取舍【設(shè)計(jì)意圖】考查了動(dòng)點(diǎn)與圖形面積問題，需要根據(jù)題目的條件，分類討論是關(guān)鍵探究四 幾何問題訓(xùn)練活動(dòng)1 基礎(chǔ)型例題例.在寬為20米、長(zhǎng)為30米的矩形地面上修建兩條同樣寬

18、的道路，余下部分作為耕地若耕地面積需要551米2，則修建的路寬應(yīng)為多少？（只列方程）【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：設(shè)修建的路寬為x米余下的面積表示為：20×30（30x+20xx2）米2，根據(jù)題意可知：矩形地面所修路面積=耕地面積，依此列出等量關(guān)系：余下的面積表示為20×30（30x+20xx2）米2，則根據(jù)題意得：20×30（30x+20xx2）=551【思路點(diǎn)撥】要求修建的路寬，就要設(shè)修建的路寬應(yīng)為x米.練習(xí)：如圖，矩形ABCD的周長(zhǎng)是20cm，以AB，AD為邊向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH

19、的面積之和68cm2，那么矩形ABCD的面積是（）A21cm2B16cm2C24cm2D9cm2【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：設(shè)AB=xcm，AD=（10x）cm，則正方形ABEF的面積為x2cm2，正方形ADGH的面積為（10x）2cm2，根據(jù)題意得x2+（10x）2=68整理得x210x+16=0解之得x1=2，x2=8所以AB=2cm，AD=8cm或AB=8cm，AD=2cm，綜上可求矩形ABCD的面積是16cm2【思路點(diǎn)撥】本題可設(shè)AB=xcm，AD=（10x）cm，則正方形ABEF的面積為x2cm2，正方形ADGH的面積為（10x）2cm2，進(jìn)而結(jié)合

20、題意，可列出方程，求得答案【答案】B【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一步練習(xí)一元二次方程在幾何問題中的應(yīng)用，在利用一元二次方程解決實(shí)際問題時(shí)，要根據(jù)實(shí)際問題對(duì)解進(jìn)行取舍活動(dòng)2 提升型例題例. 已知ABC中，A=30°，B=45°，ABC的面積為，若AC=m，則m的值為（）A1B2CD【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用；含30度角的直角三角形；勾股定理.【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：如圖：作CDAB于點(diǎn)D，A=30°，B=45°，AC=m，CD=BD=，由勾股定理得：AD=m，AB=AD+BD=mABC的面積為，ABCD=，即：m=，解得：m=2,或m=-2(舍去)，m=2

21、【思路點(diǎn)撥】作CDAB于點(diǎn)D，利用AC的長(zhǎng)表示出CD和AB的長(zhǎng)，利用三角形的面積公式得到有關(guān)m的方程求解即可【答案】B練習(xí).甲、乙兩船同時(shí)從A港出航，甲船以30千米/時(shí)的速度正北航行，乙船以比甲船快10千米/時(shí)的速度向東航行，幾小時(shí)后兩船相距150千米？可列方程_【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：設(shè)x小時(shí)后兩船相距150千米，則AC=30x，AB=40x，列方程得（30x）2+（40x）2=1502【思路點(diǎn)撥】畫出相應(yīng)圖形后，易得兩船相距的路程，甲航線路程，乙航行路程組成以兩船相距的路程為斜邊的直角三角形，利用勾股定理求解即可【答案】（30x）2+（40x）2=1

22、502【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一步練習(xí)一元二次方程在幾何中的應(yīng)用，勾股定理是此類問題的關(guān)鍵等量關(guān)系.活動(dòng)3 探究型例題例. 等腰ABC的直角邊AB=BC=10cm，點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，均以1cm/秒的相同速度作直線運(yùn)動(dòng)，已知P沿射線AB運(yùn)動(dòng)，Q沿邊BC的延長(zhǎng)線運(yùn)動(dòng)，PQ與直線AC相交于點(diǎn)D設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，PCQ的面積為S（1）求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，SPCQ=SABC？（3）作PEAC于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長(zhǎng)度是否改變？證明你的結(jié)論【知識(shí)點(diǎn)】 一元二次方程的應(yīng)用；全等三角形的應(yīng)用.【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合，分類討論【思路點(diǎn)撥】由題可以看出P沿AB向右

23、運(yùn)動(dòng)，Q沿BC向上運(yùn)動(dòng)，且速度都為1cm/s，S=QC×PB，所以求出QC、PB與t的關(guān)系式就可得出S與t的關(guān)系，另外應(yīng)注意P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，它不僅在B點(diǎn)左側(cè)運(yùn)動(dòng)，達(dá)到一定時(shí)間后會(huì)運(yùn)動(dòng)到右側(cè)，所以一些問題可能會(huì)有兩種可能出現(xiàn)的情況，這時(shí)我們應(yīng)分條回答【解題過程】解：（1）當(dāng)t10秒時(shí)，P在線段AB上，此時(shí)CQ=t，PB=10t當(dāng)t10秒時(shí)，P在線段AB的延長(zhǎng)線上，此時(shí)CQ=t，PB=t10（2）SABC=當(dāng)t10秒時(shí)，SPCQ=整理得t210t+100=0無解當(dāng)t10秒時(shí)，SPCQ=整理得t210t100=0解得t=5±5（舍去負(fù)值）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，SPCQ=SABC（3）當(dāng)

24、點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長(zhǎng)度不會(huì)改變證明：過Q作QMAC，交直線AC于點(diǎn)M易證APEQCM，AE=PE=CM=QM=t，四邊形PEQM是平行四邊形，且DE是對(duì)角線EM的一半又EM=AC=10DE=5當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長(zhǎng)度不會(huì)改變同理，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，DE=5綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長(zhǎng)度不會(huì)改變【答案】（1）t<10時(shí)， ；t>10時(shí)， . (2)秒；（3）不會(huì)改變.練習(xí)：如圖所示，在矩形ABCD中，AB=5cm，AD=3cm，G為邊AB上一點(diǎn)，GB=1cm，動(dòng)點(diǎn)E、F同時(shí)從點(diǎn)D出發(fā)，點(diǎn)F沿射線DGGBBC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止，點(diǎn)E沿DC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止，它

25、們運(yùn)動(dòng)的速度都是1cm/s，若E、F同時(shí)運(yùn)動(dòng)ts時(shí)，DEF的面積為5cm2，則t的值為【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用，動(dòng)點(diǎn)問題.【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合，分類討論【思路點(diǎn)撥】分三種情況：點(diǎn)F在DG上；點(diǎn)F在BG上；點(diǎn)F在BC上；根據(jù)等量關(guān)系：DEF的面積為5cm2，列出方程求解即可【解題過程】解：在RtADG中，DG= =5，點(diǎn)F在DG上，依題意有t×t=5，解得t=（負(fù)值舍去）；點(diǎn)F在BG上，依題意有×5×3=7.55，因此，當(dāng)F在BG上時(shí)，DEF的面積不可能等于5；點(diǎn)F在BC上，依題意有×5×3（t6）=5，解得t=7【答案】t的值為或73. 課

26、堂總結(jié)知識(shí)梳理（1）在實(shí)際生活中有許多幾何圖形的問題原型，可以用一元二次方程的方法來解決, 體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的思想.（2）根據(jù)實(shí)際情況驗(yàn)證結(jié)果的合理性.重難點(diǎn)歸納（本節(jié)課的中心知識(shí)點(diǎn)在此進(jìn)行回顧，對(duì)課堂上的典型方法、特殊例題進(jìn)行歸納點(diǎn)撥）（1）幾何問題轉(zhuǎn)化為方程來解決，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想.（2）動(dòng)點(diǎn)問題中常用動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑來表示邊長(zhǎng)，進(jìn)而通過幾何關(guān)系尋找等量關(guān)系.（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型 自主突破1.如圖，在一幅長(zhǎng)80cm，寬為50cm的矩形風(fēng)景畫的四周鑲一條金色的紙邊制成矩形掛圖，如果要使整個(gè)掛圖的面積為5400cm2，設(shè)金色紙邊的寬為xcm，則可列方程（）A（80+2x）（50+2x）=5400 B

27、（802x）（502x）=5400C（80+x）（50+x）=5400 D（80x）（50x）=5400【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：依題意，設(shè)金色紙邊的寬為xcm，（80+2x）（50+2x）=5400.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)矩形的面積=長(zhǎng)×寬，我們可得出本題的等量關(guān)系應(yīng)該是：（風(fēng)景畫的長(zhǎng)+2個(gè)紙邊的寬度）×（風(fēng)景畫的寬+2個(gè)紙邊的寬度）=整個(gè)掛圖的面積，由此可得出方程【答案】Acm，若面積等于210cm2，則它的長(zhǎng)和寬分別是（）A21cm，5cmB5cm，4cmC21cm，10cmD21cm，4cm【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.【解題過程】

28、解：設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是xcm，x=210x=21或x=10（舍去）（622121）÷2=10長(zhǎng)是21cm，寬是10cm【思路點(diǎn)撥】設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是xcm，根據(jù)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)等于62cm，若面積等于210cm2，可列方程求解【答案】Ccm，面積是132cm2，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是_.【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.【解題過程】設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為xcm，則寬為（x1）cm，x（x1）=132，即：x2x132=0；解得x1=12，x2=-11（不合題意，舍去）【思路點(diǎn)撥】根據(jù)長(zhǎng)比寬多1cm，面積是132cm2，表示出長(zhǎng)和寬，列出等式即可；【答案】12cm，11cm.3.如圖，用一根長(zhǎng)為22cm的鐵絲分

29、段圍成一個(gè)面積為10cm2的“田”字形的長(zhǎng)方形鐵絲框設(shè)寬為x，請(qǐng)列出關(guān)于x的方程并化成一般形式_.【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：設(shè)矩形的寬為xcm，則長(zhǎng)為：cm，根據(jù)題意得到：x=10，化為一般形式為：3x222x+30=0【思路點(diǎn)撥】分別表示出矩形的長(zhǎng)和寬，利用面積計(jì)算方法列出方程即可【答案】3x222x+30=04.一桌面的長(zhǎng)為6米，寬為3米，鋪在桌子上的臺(tái)布的面積是桌面面積的三倍，并且各邊垂下的長(zhǎng)度相同，設(shè)臺(tái)布垂下的長(zhǎng)度xm，可列方程_.【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.【解題過程】解：設(shè)垂下的長(zhǎng)度為x，由題意得（6+2x）×（3+2x）=3&#

30、215;6×3；【思路點(diǎn)撥】設(shè)垂下的長(zhǎng)度為x，根據(jù)矩形的面積計(jì)算的方法列出方程即可；【答案】（6+2x）×（3+2x）=3×6×35.已知一個(gè)大正方形的邊長(zhǎng)比小正方形邊長(zhǎng)的2倍少1，若大正方形面積比小正方形面積多33，求小正方形的邊長(zhǎng)如果設(shè)小正方形邊長(zhǎng)為x請(qǐng)列出方程，并化為一般形式_【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.【解題過程】解：設(shè)小正方形邊長(zhǎng)為x，大正方形的邊長(zhǎng)比小正方形邊長(zhǎng)的2倍少1，大正方形的邊長(zhǎng)為2x1，根據(jù)題意得：（2x1）2x2=33，化為一般形式為3x24x32=0【思路點(diǎn)撥】根據(jù)小正方形的邊長(zhǎng)表示出大正方形的邊長(zhǎng)，然后根據(jù)面積之間的關(guān)系列出

31、等式即可【答案】3x24x32=06. 如圖為一張方格紙，紙上有一灰色三角形，其頂點(diǎn)均位于某兩網(wǎng)格線的交點(diǎn)上，若灰色三角形面積為平方厘米，則此方格紙的面積為多少平方厘米？（）A11B12C13D14【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：方格紙的邊長(zhǎng)是x，x2xxxxxx=x2=12所以方格紙的面積是12，【思路點(diǎn)撥】可設(shè)方格紙的邊長(zhǎng)是x，灰色三角形的面積等于方格紙的面積減去周圍三個(gè)直角三角形的面積，列出方程可求解【答案】B能力型 師生共研1. 如圖，已知由點(diǎn)P（14，1），A（a，0），B（0，a）確定的PAB的面積是18，則a=【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.【數(shù)學(xué)

32、思想】數(shù)形結(jié)合，分類討論【解題過程】解：作PDx軸于點(diǎn)D，P（14，1），A（a，0），B（0，a），PD=1，OD=14，OA=a，OB=a，SPAB=S梯形OBPDSOABSADP =，解得：a1=3，a2=12【思路點(diǎn)撥】作PDx軸于點(diǎn)D，由P（14，1），A（a，0），B（0，a）就可以表示出ABP的面積，建立關(guān)于a的方程求出其解即可【答案】3或12.dm，寬為3dm，在四角各截去一個(gè)面積相等的正方形，做成一個(gè)無蓋的盒子，要使盒子的底面積是原來鐵皮的面積一半，若設(shè)盒子的高為xdm，根據(jù)題意列出方程，并化成一般形式【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.【解題過程】解：由題意得：無蓋長(zhǎng)方體盒子的底

33、面長(zhǎng)為（42x）dm，寬為（32x）dm，由題意得，（42x）（32x）=4×3×整理得：2x27x+3=0【思路點(diǎn)撥】首先表示出無蓋長(zhǎng)方體盒子的底面長(zhǎng)為（42x）dm，寬為（32x）dm再根據(jù)長(zhǎng)方形的面積可得方程（42x）（32x）=4×3×【答案】2x27x+3=0探究型 多維突破cm的正方形硬紙板，進(jìn)行適當(dāng)?shù)夭眉?，折成一個(gè)長(zhǎng)方體盒子（紙板的厚度忽略不計(jì)）如圖，若在正方形硬紙板的四角各剪掉一個(gè)同樣大小的正方形，將剩余部分折成一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體盒子要使折成的長(zhǎng)方體盒子底面周長(zhǎng)為120cm那么剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為多少？【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.【數(shù)學(xué)思

34、想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：設(shè)剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為xcm，由題意得：4×（402x）=120，解得x=5答：剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為5cm【思路點(diǎn)撥】首先設(shè)剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為xcm，則折成的長(zhǎng)方體紙盒的長(zhǎng)為（402x）cm，根據(jù)“折成的長(zhǎng)方體盒子底面周長(zhǎng)為120cm”可得方程4×（402x）=120，再解方程即可【答案】5cm2.小明是一位動(dòng)手能力很強(qiáng)的同學(xué)，他用橡皮泥做成一個(gè)棱長(zhǎng)為4cm的正方體（1）如圖1所示，在頂面中心位置處從上到下打一個(gè)邊長(zhǎng)為1cm的正方形孔，打孔后的橡皮泥塊的表面積為cm2；（2）如果在第（1）題打孔后，再在正面中心位置（如圖2中的虛線所示）從前到后

35、打一個(gè)邊長(zhǎng)為1cm的正方形通孔，那么打孔后的橡皮泥塊的表面積為cm2；（3）如果把（1）、（2）中的邊長(zhǎng)為1cm的通孔均改為邊長(zhǎng)為acm（a1）的通孔，能否使橡皮泥塊的表面積為118cm2？如果能，求出a，如果不能，請(qǐng)說明理由【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】解：（1）表面積S1=962+4×4=110（cm2），故填110；（2）表面積S2=S14+4×1.5×2=118（cm2），故填118；（3）能使橡皮泥塊的表面積為118cm2，理由為：S1=962a2+4a×4，S2=S14a2+4×4a4a2962a2+

36、16a8a2+16a=1189610a2+32a=1185a216a+11=0a1=，a2=1a1，4當(dāng)邊長(zhǎng)改為cm時(shí)，表面積為118cm2【思路點(diǎn)撥】（1）打孔后的表面積=原正方體的表面積小正方形孔的面積+孔中的四個(gè)矩形的面積（2）打孔后的表面積=圖中的表面積2個(gè)小正方形孔的面積+新打的孔中的八個(gè)小矩形的面積（3）根據(jù)（1）（2）中的面積計(jì)算方法，用a表示出圖和圖的面積然后讓用得出的圖的表面積=118計(jì)算出a的值【答案】110；118；當(dāng)邊長(zhǎng)改為cm時(shí)，表面積為118cm2自助餐1.借助一面墻為一邊，再用13米的鐵絲網(wǎng)圍成一個(gè)面積為20平方米的長(zhǎng)方形，求長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬設(shè)長(zhǎng)為x米，根據(jù)題意可得

37、方程（） Ax（13x）=20 B. =20 Cxx）=20 D=20【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.【解題過程】解：設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為x米，那么寬為米，根據(jù)題意得=20【思路點(diǎn)撥】設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為x米，那么寬為米，可根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式即可列方程進(jìn)行求解【答案】B2.如圖，幼兒園計(jì)劃用30m的圍欄靠墻圍成一個(gè)面積為100m2的矩形小花園（墻長(zhǎng)為15m），則與墻垂直的邊x為（）A10mB10m或5mC5mD5m或8m【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合，分類討論【解題過程】解：設(shè)AB邊的長(zhǎng)為x米，則AB=CD=x米，BC=（302x）米，根據(jù)題意得：（302x）×x=100，解得：x1=5，x2=10，當(dāng)x=5時(shí)，302x=2016，故舍去即與墻垂直的邊x為10m【思路點(diǎn)撥】設(shè)AB邊的長(zhǎng)為x米，則AB=CD=x米，BC=（302x）米，根據(jù)矩形的面積為100m2，可得出方程，解出即可得出答案【答案】A3.如圖，把小圓形場(chǎng)地的半徑增加5m得到大圓形場(chǎng)地，場(chǎng)地面積增加了一倍，則小圓形場(chǎng)地的半徑=_m【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.【數(shù)學(xué)思想】數(shù)