柯西不等式在高中數(shù)學中的應用及推廣畢業(yè)論文

1、摘要本文主要介紹著名不等式柯西不等式的幾種證明方法及其在初等數(shù)學解題中的應用.同時對其在其他領域的推廣進行了簡要論述，并且對其在中學數(shù)學教學中的一些問題進行討論，對柯西不等式在高中數(shù)學解題中的應用進行了廣泛的取證并得到了證明，從而肯定了其在高中數(shù)學學習中的重要性.關鍵詞柯西（Cauchy）不等式；應用函數(shù)最值；三角函數(shù)證明；不等式教學1引言中學教材和教輔讀物中有不少地方都有一些高等數(shù)學知識的雛形和影子.在中學數(shù)學教學中，不等式的教學一直是一個難點，學生在學習和應用不等式同時，都會覺得解題中困難重重.而柯西不等式是著名的不等式之一，靈活巧妙地應用它，可以使一些較為困難的問題迎刃而解.柯西不等式在

2、證明不等式、解三角形、求函數(shù)最值、解方程等問題具有重要的應用.基于此，本文擬以柯西不等式為出發(fā)點，從其證明方法到推廣及應用技巧等方面進行總結和歸納，并簡談其在中學數(shù)學中的一些應用.2柯西不等式的證明本文所說的柯西不等式是指 (1)當且僅當時，等號成立.2.1 構造二次函數(shù)證明首先 當或時，不等式顯然成立.令當中至少有一個不為零時，可知,構造二次函數(shù)展開得故的判別式,移項得,得證.2.2 向量法證明令則對向量有得當且僅當，即平行式等號成立.2.3 數(shù)學歸納法證明a) 當n=1時 有，不等式成立.b) 當n=2時 因為，故有當且僅當，即時等號成立.c) 假設n=k時等式不成立，即當且僅當時等號成立

3、.d) 那么當n=k+1時當且僅當時等號成立.于是n=k+1時不等式成立.由a),b)c),d)可得對于任意的自然數(shù)n，柯西不等式成立.2.4 利用恒等式證明先用數(shù)學歸納法證明如下恒等式，然后證明柯西不等式：對于兩組實數(shù)有柯西拉格朗日恒等式由實數(shù)性質(zhì)可得柯西不等式成立.以上給出了柯西不等式的四種證法.利用四種不同的方法全面論證柯西不等式，能加深我們對柯西不等式的認識和理解，為其在數(shù)學解題方面的研究提供了更完備的參考理論.3 柯西不等式的推廣命題1 若級數(shù)與收斂，則有不等式.證明 由 ，收斂 ，可得 因為收斂，且 ，從而有不等式成立.命題2 若級數(shù)與收斂，且對有，則對定義在上的任意連續(xù)函數(shù)有不等

4、式.證明 因為函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，所以函數(shù)與、在 上可積，將區(qū)間等分，取n每個小區(qū)間的左端點為，由積分的定義得令則與收斂，由柯西不等式得從而有不等式命題3 赫爾德不等式設滿足，則等號成立的充分必要條件是.證明 在證明時，對任何正數(shù)A和B，有.對凸函數(shù)有令代入上述不等式并對于k=1,2,n,把這n個不等式相加得即成立.等號成立的充分必要條件是 .我們知道，柯西不等式在數(shù)學的各個分支里都有著極其廣泛的應用，它在不同的領域有著不同的表現(xiàn)形式，對它的應用可謂靈活多樣.柯西不等式在初等數(shù)學和高等數(shù)學中有著不 菲的價值，它的應用充分體現(xiàn)了數(shù)學各領域間的內(nèi)通性、滲透性和統(tǒng)一性.4 柯西不等式的應用4.1 在不

5、等式的證明中，柯西不等式的作用柯西不等式可以直接運用到其他不等式的證明中，運用柯西不等式證明其他不等式的關鍵是構造兩組數(shù)，并按照柯西不等式的形式進行探索.例1 設定義在R上的函數(shù)，若且，求證：.分析 要證明即證故只需證因為(2）又因且，故所以 即 所以 .例2 為互不相等的正整數(shù)，求證：對于任意正整數(shù)n,有不等式.證明 由柯西不等式得又因為為互不相等的正整數(shù) ，故其中最小的數(shù)不小于1，次小的數(shù)不小于2，最大的不小于1，這樣就有，所以有所以有.例3 設，證明證明 由柯西不等式，對任意的n個實數(shù)，有于是=4.2 利用柯西不等式求最值例4 已知實數(shù)滿足,試求的最值.解 由柯西不等式得 (3)即，由條

6、件可得：解得當且僅當 時等號成立.代入(3)式得時，；時，4.3 求函數(shù)的極值柯西不等式也可以廣泛的應用于求函數(shù)的極值或最值.事實上，由可得如將上式左邊看做一個函數(shù)，而右邊值確定時，則可知的最大值與最小值分別是與且取最大值與最小值的充分必要條件是. 反過來，如果把柯西不等式右邊的一個因式或兩個的積當作函數(shù)，而其他的因式已知時，則可求出此函數(shù)的最小值.例5 求函數(shù)的最大值.解 首先求得函數(shù)的定義域為：當且僅當即.例6 求函數(shù)的極值，其中是常數(shù).解 由柯西不等式故有當且僅當時，即時，函數(shù)有極小值，極大值.例7 已知為常數(shù)，當時，求函數(shù)的最大值與最小值.解 由柯西不等式知當且僅當，即代入得.則即當時

7、分別為所求的最大值與最小值.4.4 求參數(shù)范圍例8 已知對于滿足等式的任意數(shù)，對恒有，求實數(shù)a的取值范圍.解 因為要使對恒有，即.4.5 三角形及三角函數(shù)問題例9 設是內(nèi)的一點，是到三邊的距離，是外接圓的半徑,證明：.證明 由柯西不等式得 記s為 的面積，則即有故不等式成立.例10 求證三角形三邊上正方形面積之和不小于該三角形面積的倍，即,其中為三角形三邊長，S為三角形的面積.證明 由海輪-秦九韶面積公式：其中可得由柯西不等式當且僅當，即時成立.于是 變形得即故有，當且僅當時等號成立.例11 在三角形ABC中，證明 .證明 由柯西不等式即 (4)因為故 （5）又因為因而 （6）將（5）代入（4

8、）得 （7）將（6）代入（3）得 即.4.6 利用柯西不等式解方程例12 在實數(shù)集內(nèi)解方程.解 由柯西不等式，得 所以 （8）又 （9）將（8）式與聯(lián)立，則有.4.7 用柯西不等式解釋樣本線性相關系數(shù)在概率論與數(shù)理統(tǒng)計一書中，在線性回歸中有樣本相關系數(shù)并指出且越接近于1，相關程度越大；越接近于0.則相關程度就越小.現(xiàn)在可用柯西不等式解釋樣本線性相關系數(shù).記，則，由柯西不等式有，當時，此時，k為常數(shù)。點均在 直線上，當時，即,而k為常數(shù)，k為常數(shù).點均在直線附近，所以越接近1，相關程度越大；當時不具備上述特征，從而找不到合適的常數(shù)k使點都在直線越接近于0，則相關程度越小.5 中學數(shù)學中柯西不等式

9、的應用技巧在上文柯西不等式的應用中可以看出,柯西不等式不僅在高等數(shù)學中是一個十分重要的不等式,而且它對初等數(shù)學也有很好的指導作用,利用它能方便地解決一些中學數(shù)學中的有關問題.下面我們以柯西不等式證明不等式為例，談談此類問題的解題技巧.5.1 巧拆常數(shù)例13 設為整數(shù)且各不相等，求證：.分析 因為均為正，所以為證結論正確，只需要證而 又再進行簡單地變換就可以證明要證明的結論.5.2 重新安排某些項的次序例14 為非負數(shù)， 求證：分析 不等號左邊為兩個二項式的和，為非負數(shù)，,每個兩項式可以使用柯西不等式，直接做得不到預想結論.當把兩個小括號的兩項前后調(diào)換一下位置，就能證明結論了.5.3 改變結構例

10、14 若a>b>c，求證：.分析 初見并不能使用柯西不等式，改造結構后便可能使用柯西不等式了結論改為.5.4 添項例15 求證：.分析 左端變形所以只需要證此式大于等于即可.參考文獻1王學功. 著名不等式.M.中國物資出版社.2南山. 柯西不等式與排序不等式.M.湖南教育出版社.3李長明 周煥山. 初等數(shù)學研究M.高等教育出版社.4戴振強.柯西不等式的應用.牡丹江教育學院學報.2006年03期.5羅增儒 .柯西不等式的證明與應用(上)J.中學數(shù)學.2008（11）.(上)J.青蘋果.2007（03）.7尹建堂.柯西不等式得應用J.高中數(shù)學教與學.2009（01）.8王勇，周雪麗.柯

11、西不等式在三角中的應用J.中學數(shù)學志.2011(07)9P. Cerone. Refinements of some reverses of Schwarz's inequality in 2-inner product spaces.anapplications for integrals. J.J. Indones. Math. Soc,2006,12(2).10Sever S. Dragomir. Reverses of the Schwarz inequality generalizing a Klamkin-McLenaghan result.&

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13、nequality. J.JIPAM, J. Inequal. Pure Appl. Math.,2006,7(2).The application and popularization of Cauchy inequalityAbstract：This paper mainly introduces several famous inequalities - Cauchy the inequality proof method and its application in elementary mathematics problem solving. At the same time, the promotion in other fields are briefly discussed, and some problems in the middle school mathematics teaching are discussed, the application of Cauchy inequality in high school mathematics problem solving in the extensive forensic