絕對值和絕對值不等式的解法

1、5.1 絕對值的概念定義：我們把數(shù)軸上表示一個數(shù)的點與原點的距離，叫做這個數(shù)的絕對值例如，到原點的距離等于，所以這一定義說明了絕對值的幾何定義，從這一定義中很容易得到絕對值的求法：5.1.1 絕對值的性質(zhì)【例1】到數(shù)軸原點的距離是2的點表示的數(shù)是（ ）A±2 B2 C-2 D4 解：A【例2】已知|x|=5，|y|=2，且xy0，則x-y的值等于（）A7或-7 B7或3 C3或-3 D-7或-3 解：C【例3】已知：abc0，且M=，當(dāng)a，b，c取不同值時，M有 _種不同可能當(dāng)a、b、c都是正數(shù)時，M= _；當(dāng)a、b、c中有一個負(fù)數(shù)時，則M= _；當(dāng)a、b、c中有2個負(fù)數(shù)時，則M=

2、_；當(dāng)a、b、c都是負(fù)數(shù)時，M=_ 解：3；1，練習(xí)1：已知是非零整數(shù)，且，求的值解：由于，且是非零整數(shù)，則一正二負(fù)或一負(fù)二正，（1）當(dāng)一正二負(fù)時，不妨設(shè)，原式；（2）當(dāng)一負(fù)二正時，不妨設(shè)，原式原式【例4】若，則解：，所以結(jié)論：絕對值具有非負(fù)性，即若，則必有，練習(xí)1：， _；_解：練習(xí)2：若，則 解：由題意，所以5.1.2 零點分段法去絕對值對于絕對值，我們經(jīng)常用到的一種方法是去絕對值，一般采用零點分段法，零點分段法的一般步驟：找零點分區(qū)間定符號去絕對值符號【例5】閱讀下列材料并解決相關(guān)問題：我們知道，現(xiàn)在我們可以用這一結(jié)論來化簡含有絕對值的代數(shù)式，如化簡代數(shù)式時，可令和，分別求得（稱分別為與

3、的零點值），在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點值和可將全體有理數(shù)分成不重復(fù)且不易遺漏的如下種情況：當(dāng)時，原式當(dāng)時，原式當(dāng)時，原式綜上討論，原式通過閱讀上面的文字，請你解決下列的問題：（1）別求出和的零點值解：令，解得，所以是的零點；令，解得，所以是的零點（2）化簡代數(shù)式解：當(dāng)時，原式；當(dāng)時，原式；當(dāng)時，原式綜上討論，原式（3）化簡代數(shù)式解：當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，綜上討論，原式5.1.3 絕對值函數(shù)常見的絕對值函數(shù)是：，其圖象是絕對值函數(shù)學(xué)習(xí)時，要抓關(guān)鍵點，這里的關(guān)鍵點是思考如何畫的圖象？我們知道，表示軸上的點到原點的距離；的幾何意義是表示軸上的點到點的距離【例6】 畫出的圖像解：（1）關(guān)鍵點是，此點又稱為界

4、點；（2）接著是要去絕對值當(dāng)時，；當(dāng)時，（3）圖像如右圖說明：此題還可以考慮該圖像可由y=|x|的圖象向右平移一個單位后得到練習(xí)1.（1）畫出的圖像； （2）畫出的圖像【例7】畫出的圖象解：（1）關(guān)鍵點是和（2）去絕對值當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，（3）圖象如右圖所示【例8】 畫出函數(shù)的圖像解：（1）關(guān)鍵點是（2）去絕對值：當(dāng)時，；當(dāng)時，（3）可作出圖像如右圖【例9】 畫出函數(shù)的圖像解：（1）關(guān)鍵點是和（2）去絕對值：當(dāng)或時，；當(dāng)時，（3）可作出圖像如右圖1_；_；_；2，則_3若，那么一定是（ ）A正數(shù) B負(fù)數(shù) C非正數(shù) D非負(fù)數(shù)4若，那么是_數(shù)5如圖，化簡_6已知，則_7化簡，并畫出的圖象8化簡

5、9.畫出的圖像10.畫出的圖像答案：1； 2或 3C 4負(fù) 5-4 637，圖象如下 8 9如圖所示 10如圖所示5.2 絕對值不等式到了高中，絕對值不等式需要強(qiáng)調(diào)的有兩點：一是由定義引出的絕對值的幾何意義的應(yīng)用；二是代數(shù)意義上的分類討論，其中幾何意義的應(yīng)用主要涉及到有關(guān)絕對值不等式的解法，而分類討論的思想就體現(xiàn)為去絕對值、畫絕對值函數(shù)圖象、解絕對值不等式【例1】 解方程：解：原方程變?yōu)?，或【?】解不等式 解：對應(yīng)數(shù)軸上的一個點，由題意，到原點的距離小于1，很容易知道到原點距離等于1的點有兩個：和，自然只有在和之間的點，到原點的距離才小于1，所以的解集是練習(xí)1解不等式：（1）； （2） （3

6、） 解：（1） （2） （3）結(jié)論：（1）的解集是，如圖1 （2）的解集是，如圖2【例3】解不等式 解：由題意，解得，所以原不等式的解集為結(jié)論：（1） （2）或練習(xí)1：解不等式：（1）；（2）；（3）；解：（1）由題意，解得，所以原不等式的解集為（3）由題意，或，解得或，所以原不等式的解集為（3）由題意，解得，所以原不等式的解集為練習(xí)2：解不等式組解：由，得，解得，由，得，即，解得，由得，所以原不等式的解集為練習(xí)3：解不等式解：方法一：由，解得；由得，或，聯(lián)立得，所以原不等式的解集為方法二：或，解得，所以原不等式的解集為【例4】解不等式：解：方法一：（零點分段法）（1）當(dāng)時，原不等式變?yōu)椋海?/p>

7、得，所以；（2）當(dāng)時，原不等式變?yōu)椋?，解得，所以；綜上所述，原不等式的解集為方法二：或，解得或，所以原不等式的解集為結(jié)論：（1） （2）或練習(xí)4：解不等式：解：由得，解得，原不等式的解集為【例5】解方程：（1） （2）（3） （4）【初中知識鏈接】在三角形中，三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，這個結(jié)論反映在數(shù)軸上是這樣的：若和是數(shù)軸上的兩個數(shù)，那么當(dāng)時，數(shù)到和的距離之和等于與的距離；當(dāng)或時，數(shù)到和的距離之差的絕對值，等于與的距離以上所有問題都可以用此方法解決解：（1）等式左邊式子的幾何意義是，實數(shù)到和1的距離之和，而和1的距離之和也剛好是3，容易知道，當(dāng)位于和1之間時，到和1的距

8、離之和就剛好為3，所以的取值范圍是（2）等式左邊式子的幾何意義是，實數(shù)到和1的距離之和，由于和1的距離是3，所以一定在和1的兩邊，經(jīng)過計算，可知當(dāng)位于和時，滿足條件（3）等式左邊式子的幾何意義是，實數(shù)到和1的距離之差，由于和1的距離剛好是4，所以當(dāng)位于到1的兩邊時，到和1的距離之差剛好為4，的取值范圍是或（4）等式左邊式子的幾何意義是，實數(shù)到和2的距離之差，由于和1的距離剛好是5，所以一定位于到2之間，可知當(dāng)位于和時，滿足條件【例6】解不等式：方法1：利用零點分區(qū)間法（推薦）分析:由，得和和把實數(shù)集合分成三個區(qū)間，即，按這三個區(qū)間可去絕對值，故可按這三個區(qū)間討論解：當(dāng)時，得，解得：； 當(dāng)時，得

9、，解得：；當(dāng)時，得，解得：綜上，原不等式的解集為說明:(1)原不等式的解集應(yīng)為各種情況的并集；(2)這種解法又叫“零點分區(qū)間法”，即通過令每一個絕對值為零求得零點，求解應(yīng)注意邊界值方法2：利用絕對值的幾何意義解：的幾何意義是數(shù)軸上的點到1和的距離之和小于5的點所對應(yīng)的取值范圍，由數(shù)軸可知，易知當(dāng)或時，所以位于和之間（不含端點），所以，所以原不等式的解集為說明：選擇題和填空題中，利用絕對值的幾何意義解含有兩個絕對值不等式優(yōu)勢明顯練習(xí)1解：練習(xí)2解不等式：解：練習(xí)3解：【例7】解不等式：解：當(dāng)時，原不等式變?yōu)椋?，解得：?當(dāng)時，得，無解當(dāng)時，得，解得：綜上，原不等式的解集為【例8】解關(guān)于的不等式解：原不等式變?yōu)椋?）當(dāng)時，原不等式無解；（2）當(dāng)時，解得綜上所述，當(dāng)時，原不