第六章典型習題解答與提示

1、習 題 6-11A：；B：；C：；D：。2平面；平面；軸上；D：軸上。3（1）5；（2）。4（1）以為圓心，為半徑的圓；母線平行軸的圓柱面；（2）橢圓；橢圓柱面，母線平行于軸；（3）拋物線；拋物柱面，母線平行于軸。5（1）平行于坐標面的平面；（2）坐標面；（3）平行于坐標面的平面；（4）母線平行于軸的圓柱面；（5）母線平行于軸且過軸，開口向軸正向的拋物柱面。6（1）兩平面的交線；（2），是平面上的圓，圓心，半徑為1；（3），是平面上的圓，圓心，半徑。*習 題 6-21。2證明：，ABDEC即，也即，且同向，所以，且/，如圖6-2所示。圖 6-2 習題 2 示意3（1）在，軸的投影分別是3，1，

2、2；（2）；（3）；（4）。4，。5依題意知，則， 整理得。 當，有； 當，有。6（1）；（2）；（3）。7（1）；（2）；（3）。8提示：，。9因，故，構成一個三角形，故而由余弦定理可知，即；故，即。10根據(jù)向量數(shù)乘定義，欲使/，有，代入方程，則得，故，故所求向量。11（1）；（2）。12（1）；（2）。13提示：設，記為，所求向量為，。14。15因，則，又，則，即。其幾何解釋為由，所構成的三角形，其面積可表示為。習 題 6-31.2。3（1）為坐標面；（2）為平行于坐標面且過點的平面；（3）為平行于軸的平面，與坐標面的交線為；（4）為過軸的平面，且與坐標面的交線為。4提示：利用截距式方程：

3、所求平面方程為。5（1）；（2）。6（1）或；（2）或。7取 取直線上點，則點向式方程為， 參數(shù)方程為。8（1）提示，將直線參數(shù)方程代入平面方程， 求出，得交點為；（2）同樣方法可得交點為。9（1）；（2）；（3）10直線的方向向量為，所求平面方程為，即。11。12提示：設球面方程為，將A、B、C的坐標代入，可得，所求的球面方程為，即。故球心為，半徑。13（1）球心為，半徑為2；（2）球心為，半徑為。14（1）圓柱面；（2）雙曲柱面；（3）橢圓柱面；（4）拋物柱面。15（1）是旋轉橢球面，由坐標面中的橢圓曲線繞軸旋轉生成或由坐標面中的橢圓曲線繞軸旋轉生成；（2）是特殊的旋轉橢球面球面，旋轉方法

4、類似（1）；（3）不是旋轉曲面；（4）是旋轉單葉雙曲面。由坐標面中的雙曲線繞軸旋轉生成或由坐標面中的雙曲線繞軸旋轉生成；（5）不是旋轉曲面；（6）是旋轉雙葉雙曲面，旋轉方法類似（4）。16（1）繞軸旋轉，是雙葉旋轉雙曲面；繞軸旋轉，是單葉旋轉雙曲面； （2）繞軸，繞軸旋轉，其方程分別是與，兩者都是圓錐曲面； （3）繞軸旋轉，是旋轉拋物面。17（1）分別表示直線與平面；（2）分別表示直線與平面； （3）分別表示圓周與圓柱面；（4）分別表示雙曲線與雙曲柱面； （5）分別表示兩直線的交點與兩平面交線； （6）分別表示直線和橢圓的交點與橢圓柱面的平面的交線。18（1）橢球面；（2）橢圓拋物面；（3）單

5、葉雙曲面；（4）雙葉雙曲面； （5）雙曲拋物面； （6）圓錐面。（草圖略）19消去，過交線而母線平行于軸的柱面方程為即，為雙曲柱面。20，圖略。習 題 6-41（1）定義域為；（2）定義域為；（3）定義域為；（4）對，要求，即，對，要求，即，取公共部分，原函數(shù)定義域為。2（1）在原點處間斷；（2）在直線上間斷；（3）在拋物線上間斷。3（1）與（2）均在平面上連續(xù)。4（1）是初等函數(shù)定義域內的點，直接代入得極限值為；（2）；（3）；（4）。5（1）否（提示，沿直線）；（2）否（提示，沿曲線）。習 題 6-51。2（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。3提示：可求出，代入驗證。4提示：，

6、代入驗證。5（1），；（2），；（3），同樣，；（4）。6（1）；（2）；（3）；（4）。7設，則，取，。8設，則， 取，則。9設，取，則對角線的變化近似為 也就是對角線近似縮短5 cm。習 題 6-61提示：利用公式，則。2提示：利用公式，可得； 由，可得。3提示：利用公式，可得。4提示：， 即。5 所以。6（1）設為1號中間變量，為2號中間變量， 則；（2）；（3）。7令，則， 即。8令，則即。9由于，因而，只是的函數(shù)，故。10（1）提示，設，求出，利用，可得； （2）提示，設，同（1）可得； （3）提示，設； （4）。11（1）由于，因而有，即，； （2）由于，因而有，所以。12（1）由

7、于，則，即； （2）由于，故，則，即； （3）由于，則，即。習 題 6-71（1）提示，先求駐點，利用定理2，判定處無極值，處有極小值；（2）提示，駐點為，利用定理2判定，為極小值；（3）， 由，得，在處，因此，為極小值；在處，因此它們都不是極值點，在處,，因此為極大值（提示：）；（4）提示：先求駐點，利用定理2， 在處不取極值，在處為極小值，均為零。2設體積為V而長方體的三條棱長為，則該問題就是在條件（1）下面求函數(shù)的最大值。作函數(shù)，求其對的偏導，并令其為零，得（2）再與（1）聯(lián)立求解，因都不等于零，所以由式（2）可得，則，代入（1）式可得故在體積為V的長方體中，以棱長為的正方體的表面積為最

8、小，最小表面積為。3設第一段，第二段各為，于是第三段為，所以要研究的函數(shù)是而，由，解得，因是惟一駐點，而實際問題的最值存在，因此線段必須三等分。4設倉庫的側墻長為，前墻長為，高為，則倉庫的造價為其中要滿足條件： 由拉格朗日乘數(shù)法，設 則由式（2）和式（3）得，即，又由式（3）和式（4）得，即。將代入式（1），解出，所以，當倉庫的前墻的長度為100 dm，高為75 dm時，所需的造價最少。復 習 題 六*1不妨設任意點O為坐標原點，則，且，故，所以。*2因為，故。*3(1)欲使垂直，即，故； （2），即，整理得 （3）同向，取； （4）反向，無解。*4，即，反之亦然，故與共線的充要條件是共線。*5。*6設所求之點為，則依題意有，解得，因為原點到的距離為，而故舍去，則取，則所求的點為。 7，消去得圓，消去得圓，消去得直線。*8設橢球面為，將代入得故所求橢球面方程為。9（1）；（2）；（3）。10先說明在點處可微，則它在該點一定連續(xù)，因為在處可微，即，所以當時，有，即在該點連續(xù)，若在處兩個偏導數(shù)都存在，它在點卻未必可微，如二元函數(shù)在處兩個偏導數(shù)都存在，但它在該點不連續(xù)，因而再由可知，該函數(shù)在該點一定不可微。11，左邊右邊。12。13（1）； （2）方程兩邊對求偏導，可得，故，同樣方法，可得； （3）利用全微分形式的不變性。14（1）；，所