直角三角形的邊角關(guān)系全章總結(jié)復(fù)習(xí)

1、一、 知識清單梳理知識點一：銳角三角函數(shù)的定義關(guān)鍵點撥與對應(yīng)舉例1.銳角三角函數(shù)正弦: sinA余弦: cosA正切: tanA.根據(jù)定義求三角函數(shù)值時，一定根據(jù)題目圖形來理解，嚴(yán)格按照三角函數(shù)的定義求解，有時需要通過輔助線來構(gòu)造直角三角形.2.特殊角的三角函數(shù)值 度數(shù)三角函數(shù)30°45°60°sinAcosAtanA1知識點二 ：解直角三角形3.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即三條邊和兩個銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形科學(xué)選擇解直角三角形的方法口訣：已知斜邊求直邊，正弦、余弦很方便；已知

2、直邊求直邊，理所當(dāng)然用正切；已知兩邊求一邊，勾股定理最方便；已知兩邊求一角，函數(shù)關(guān)系要記牢；已知銳角求銳角，互余關(guān)系不能少；已知直邊求斜邊，用除還需正余弦.例：在RtABC中，已知a=5,A=30°，則c=,b=.4.解直角三角形的常用關(guān)系(1)三邊之間的關(guān)系：a2b2c2； (2)銳角之間的關(guān)系：AB90°；(3)邊角之間的關(guān)系：sinA=cosB=，cosAsinB=，tanA.(4)相等的角 商的關(guān)系:tanA=;平方關(guān)系:sin2A+cos2A=1. (5)互余的兩角:若A+B=90°,則sinA=cosB, cosA=sinB.知識點三 ：解直角三角形的

3、應(yīng)用5.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角(1)仰、俯角：視線在水平線上方的角叫做仰角.視線在水平線下方的角叫做俯角（如圖）(2)坡度：坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示 坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用表示，則有itan. （如圖）(3)方向角：平面上，通過觀察點作一條水平線(向右為東向)和一條鉛垂線(向上為北向)，則從點O出發(fā)的視線與水平線或鉛垂線所夾的角，叫做觀測的方向角（如圖）解直角三角形中“雙直角三角形”的基本模型：（1） 疊合式 （2）背靠式解題方法：這兩種模型種都有一條公共的直角邊，解題時，往往通過這條邊為中介在兩個三角形中依次求邊，或通過公共邊相

4、等，列方程求解.6.解直角三角形實際應(yīng)用的一般步驟(1)弄清題中名詞、術(shù)語，根據(jù)題意畫出圖形，建立數(shù)學(xué)模型；(2)將條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題；(3)選擇合適的邊角關(guān)系式，使運(yùn)算簡便、準(zhǔn)確；(4)得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗答案是否符合實際意義，從而得到問題的解二、 專題講座專題一：銳角三角函數(shù)的概念注意：1.sinA、cosA、tanA表示的是一個整體，是兩條線段的比，沒有，這些比值只與有關(guān)，與直角三角形的無關(guān)2.取值范圍<sinA<；< cosA<； tanA>例1如圖所示，在RtABC中，C90°_，

5、_；_，_；_，_例2. 銳角三角函數(shù)求值：在RtABC中，C90°，若a9，b12，則c_，sinA_，cosA_，tanA_，sinB_，cosB_，tanB_例3已知：如圖，RtTNM中，TMN90°，MRTN于R點，TN4，MN3求：sinTMR、cosTMR、tanTMR類型一：直角三角形求值例4已知RtABC中，求AC、AB和cosB例5.已知是銳角，求，的值類型二. 利用角度轉(zhuǎn)化求值：例6已知：如圖，RtABC中，C90°D是AC邊上一點，DEAB于E點DEAE12求：sinB、cosB、tanB例7.如圖，角的頂點為O，它的一邊在x軸的正半軸上，另

6、一邊OA上有一點P（3，4），則例7圖 例8圖 例9圖 例13圖 例8.如圖，菱形ABCD的邊長為10cm，DEAB，則這個菱形的面積=cm2例9.如圖，沿折疊矩形紙片，使點落在邊的點處已知，AB=8,則的值為 ( ) 類型三. 化斜三角形為直角三角形例10.如圖，在ABC中，A=30°，B=45°，AC=2，求AB的長例11已知：如圖，ABC中，AC12cm，AB16cm，(1)求AB邊上的高CD；(2)求ABC的面積S；(3)求tanB例12已知：如圖，在ABC中，BAC120°，AB10，AC5求：sinABC的值類型四：利用網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形例13如圖所示

7、，ABC的頂點是正方形網(wǎng)格的格點，則sinA的值為（）A B C D對應(yīng)訓(xùn)練：1在RtABC中，C90°，若BC1，AB=，則tanA的值為（ ）AB C D2 2在ABC中，C=90°，sinA=，那么tanA的值等于（ ）AB.C.D. 3. 如圖，在等腰直角三角形中，為上一點，若 ，則的長為( )A B C D4. 如圖，在RtABC中，C=90°，AC=8，A的平分線AD=；求B的度數(shù)及邊BC、AB的長.5如圖，在RtABC中，BAC=90°，點D在BC邊上，且ABD是等邊三角形若AB=2，求ABC的周長（結(jié)果保留根號）6已知：如圖，ABC中，A

8、B9，BC6，ABC的面積等于9，求sinB7. 在ABC中，A=60°，AB=6 cm，AC=4 cm，則ABC的面積是 （ ） cm2 cm2 cm2 D.12 cm28如圖，ABC的頂點都在方格紙的格點上，則sin A =_.9如圖，A、B、C三點在正方形網(wǎng)絡(luò)線的交點處，若將繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，則的值為（ ）A. B. C. D.10正方形網(wǎng)格中，如圖放置，則tan的值是（） A B. C. D. 2專題二：特殊角的三角函數(shù)值銳角a30°45°60°sinacosatana當(dāng)時，正弦和正切值隨著角度的增大而余弦值隨著角度的增大而例1求下列各式的

9、值（1）（2）（3）31+(21)0tan30°tan45°(4)(5)；例2求適合下列條件的銳角a (1)(2)(3)(4)（5）已知a 為銳角，且，求的值（6）在中，若，都是銳角，求的度數(shù).例3. 三角函數(shù)的增減性1已知A為銳角，且sin A < ，那么A的取值范圍是（ ）A. 0°< A < 30° B. 30°< A 60° C. 60°< A < 90° D. 30°< A < 90°2. 已知A為銳角，且，則 （ ）A. 0°

10、< A < 60° B. 30°< A < 60° C. 60°< A < 90° D. 30°< A < 90°例4. （三角函數(shù)在幾何中的應(yīng)用）已知：如圖，在菱形ABCD中，DEAB于E，BE16cm，求此菱形的周長對應(yīng)練習(xí)：1.計算：2.計算：3.計算：.4計算：(2014)0(cos60°)-2tan30°；5.計算：6.計算：|1|（）14cos30°+（3.14）07.已知是銳角，且sin(+15°)=計算的值8已知：如圖，R

11、tABC中，C90°，作DAC30°，AD交CB于D點，求：(1)BAD；(2)sinBAD、cosBAD和tanBAD9. 已知：如圖ABC中，D為BC中點，且BAD90°，求：sinCAD、cosCAD、tanCAD10.如圖，在RtABC中，C=90°，點D在BC邊上，DC= AC = 6，求tan BAD的值11.（本小題5分）如圖，ABC中，A=30°，求AB的長.專題三：解直角三角形的應(yīng)用例1（2012福州）如圖，從熱氣球C處測得地面A、B兩點的俯角分別是30°、45°，如果此時熱氣球C處的高度CD為100米，點

12、A、D、B在同一直線上，則AB兩點的距離是（） 例1圖例2圖A200米B200米C220米D100（）米例2如圖，某水庫堤壩橫斷面迎水坡AB的坡比是1：，堤壩高BC=50m，則應(yīng)水坡面AB的長度是（）A100m B100m C150m D50m 例3.“蘭州中山橋”位于蘭州濱河路中段白搭山下、金城關(guān)前，是黃河上第一座真正意義上的橋梁，有“天下黃河第一橋”之美譽(yù)。它像一部史詩，記載著蘭州古往今來歷史的變遷，橋上飛架了5座等高的弧形鋼架拱橋。小蕓和小剛分別在橋面上的，處，準(zhǔn)備測量其中一座弧形鋼架拱梁頂部處到橋面的距離，小蕓在處測得，小剛在處測得，求弧形鋼架拱梁頂部處到橋面的距離。(結(jié)果精確到)(參

13、考數(shù)據(jù)：，)例4.如圖，一垂直于地面的燈柱， AB 被一鋼纜 CD 固定，CD 與地面成 45°夾角（CDB=45° ），在 C 點上方 2 米處加固另一條鋼纜 ED， ED 與地面成 53° 夾角（EDB=53° ），那么鋼纜 ED 的長度約為多少米？（結(jié)果精確到 1 米。參考數(shù)據(jù)：sin53°0.80，cos53°0.60，tan53°1.33）例5如圖，皋蘭山某處有一座信號塔AB，山坡BC的坡度為1：，現(xiàn)為了測量塔高AB，測量人員選擇山坡C處為一測量點，測得 DCA=45°，然后他順山坡向上行走100米到達(dá)E

14、處，再測得 FEA=60°（1）求出山坡BC的坡角 BCD的大小；（2）求塔頂A到CD的鉛直高度AD（結(jié)果保留整數(shù)：）對應(yīng)練習(xí)：1已知：如圖，在兩面墻之間有一個底端在A點的梯子，當(dāng)它靠在一側(cè)墻上時，梯子的頂端在B點；當(dāng)它靠在另一側(cè)墻上時，梯子的頂端在D點已知BAC60°，DAE45°點D到地面的垂直距離，求點B到地面的垂直距離BC2.如圖，一風(fēng)力發(fā)電裝置豎立在小山頂上，小山的高BD=30m從水平面上一點C測得風(fēng)力發(fā)電裝置的頂端A的仰角DCA=60°，測得山頂B的仰角DCB=30°，求風(fēng)力發(fā)電裝置的高AB的長3.如圖，小聰用一塊有一個銳角為的直角

15、三角板測量樹高，已知小聰和樹都與地面垂直，且相距米，小聰身高AB為1.7米，求這棵樹的高度.4（如圖，為測量某物體AB的高度，在D點測得A點的仰角為30°，朝物體AB方向前進(jìn)20米，到達(dá)點C，再次測得點A的仰角為60°，則物體AB的高度為（）第4題圖第5題圖A10米B10米C20米D米5已知：如圖，一艘貨輪向正北方向航行，在點A處測得燈塔M在北偏西30°，貨輪以每小時20海里的速度航行，1小時后到達(dá)B處，測得燈塔M在北偏西45°，問該貨輪繼續(xù)向北航行時，與燈塔M之間的最短距離是多少?(精確到0.1海里，)專題四：三角函數(shù)的綜合應(yīng)用1如圖，四邊形ABCD中，BAD=135°，BCD=90°，AB=BC=2，tanBDC= (1)求BD的長； (2)求AD的長2如圖，在平行四邊形中，過點A分別作AEBC于點E，AFCD于點F（1）求證：BAE=DAF；（2）若AE=4，AF=，求CF的長CDBNMA小紅小明3如圖，在活動課上，小明和小紅合作用一副三角板來測量學(xué)校旗桿高度已知小明的眼睛與地面的距離（AB）是，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使得三角板的一條直