高考數(shù)學(xué)一輪專題精講28數(shù)列概念及等差數(shù)列

1、一【課標(biāo)要求】1數(shù)列的概念和簡單表示法；通過日常生活中的實(shí)例，了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖像、通項(xiàng)公式），了解數(shù)列是一種特殊函數(shù)；2通過實(shí)例，理解等差數(shù)列的概念，探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的公式；3能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題。體會等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系二【命題走向】數(shù)列在歷年高考都占有很重要的地位，一般情況下都是一至二個(gè)客觀性題目和一個(gè)解答題。對于本將來講，客觀性題目主要考察數(shù)列、等差數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等基本知識和基本性質(zhì)的靈活應(yīng)用，對基本的計(jì)算技能要求比較高預(yù)測明年高考：1題型既有靈活考察基礎(chǔ)知識

2、的選擇、填空，又有關(guān)于數(shù)列推導(dǎo)能力或解決生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問題的解答題；2知識交匯的題目一般是數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何、應(yīng)用問題聯(lián)系的綜合題，還可能涉及部分考察證明的推理題三【要點(diǎn)精講】1數(shù)列的概念（1）數(shù)列定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列；數(shù)列中的每個(gè)數(shù)都叫這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。記作，在數(shù)列第一個(gè)位置的項(xiàng)叫第1項(xiàng)（或首項(xiàng)），在第二個(gè)位置的叫第2項(xiàng)，序號為 的項(xiàng)叫第項(xiàng)（也叫通項(xiàng)）記作；數(shù)列的一般形式：，簡記作 。（2）通項(xiàng)公式的定義：如果數(shù)列的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式例如，數(shù)列的通項(xiàng)公式是= （7，），數(shù)列的通項(xiàng)公式是= （）。說明：表示數(shù)列，

3、表示數(shù)列中的第項(xiàng)，= 表示數(shù)列的通項(xiàng)公式； 同一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式的形式不一定唯一。例如，= =；不是每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，（3）數(shù)列的函數(shù)特征與圖象表示：序號：1 2 3 4 5 6項(xiàng) ：4 5 6 7 8 9上面每一項(xiàng)序號與這一項(xiàng)的對應(yīng)關(guān)系可看成是一個(gè)序號集合到另一個(gè)數(shù)集的映射。從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列實(shí)質(zhì)上是定義域?yàn)檎麛?shù)集（或它的有限子集）的函數(shù)當(dāng)自變量從1開始依次取值時(shí)對應(yīng)的一系列函數(shù)值，通常用來代替，其圖象是一群孤立點(diǎn)。（4）數(shù)列分類：按數(shù)列項(xiàng)數(shù)是有限還是無限分：有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；按數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)之間的大小關(guān)系分：單調(diào)數(shù)列（遞增數(shù)列、遞減數(shù)列）、常數(shù)列

4、和擺動(dòng)數(shù)列（5）遞推公式定義：如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè) 數(shù)列的遞推公式2等差數(shù)列（1）等差數(shù)列定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母表示。用遞推公式表示為或。（2）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：；說明：等差數(shù)列（通?？煞Q為數(shù)列）的單調(diào)性：為遞增數(shù)列，為常數(shù)列， 為遞減數(shù)列。（3）等差中項(xiàng)的概念：定義：如果，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項(xiàng)。其中，成等差數(shù)列。（4）等差數(shù)列的前和的求和公式：。四【典例解析】題型

5、1：數(shù)列概念(安徽卷文）已知為等差數(shù)列，則等于A. -1 B. 1 【解析】即同理可得公差.選B?！敬鸢浮緽2.根據(jù)數(shù)列前4項(xiàng)，寫出它的通項(xiàng)公式：（1）1，3，5，7；（2），；（3），。解析：（1）=2； （2）= ； （3）= 。點(diǎn)評：每一項(xiàng)序號與這一項(xiàng)的對應(yīng)關(guān)系可看成是一個(gè)序號到另一個(gè)數(shù)集的對應(yīng)關(guān)系，這對考生的歸納推理能力有較高的要求。例2數(shù)列中，已知，（1）寫出，； （2）是否是數(shù)列中的項(xiàng)？若是，是第幾項(xiàng)？解析：（1），； （2）令，解方程得， 即為該數(shù)列的第15項(xiàng)。點(diǎn)評：該題考察數(shù)列通項(xiàng)的定義，會判斷數(shù)列項(xiàng)的歸屬題型2：數(shù)列的遞推公式例3如圖,一粒子在區(qū)域上運(yùn)動(dòng),在第一秒內(nèi)它從原點(diǎn)運(yùn)

6、動(dòng)到點(diǎn),接著按圖中箭頭所示方向在x軸、y軸及其平行方向上運(yùn)動(dòng)，且每秒移動(dòng)一個(gè)單位長度。（1）設(shè)粒子從原點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，所經(jīng)過的時(shí)間分別為，試寫出的通相公式；（2）求粒子從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)所需的時(shí)間；（3）粒子從原點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過2004秒后，它所處的坐標(biāo)。解析：(1)由圖形可設(shè)，當(dāng)粒子從原點(diǎn)到達(dá)時(shí)，明顯有,。,。,即。 （2）有圖形知，粒子從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)所需的時(shí)間是到達(dá)點(diǎn)所經(jīng)過得時(shí)間 再加（4416）28秒，所以秒。（3）由2004，解得，取最大得n=44，經(jīng)計(jì)算，得1980<2004，從而粒子從原點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過1980秒后到達(dá)點(diǎn)，再向左運(yùn)行24秒所到達(dá)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（20，44）。點(diǎn)評：

7、從起始項(xiàng)入手，逐步展開解題思維。由特殊到一般，探索出數(shù)列的遞推關(guān)系式，這是解答數(shù)列問題一般方法，也是歷年高考命題的熱點(diǎn)所在。例4（1）已知數(shù)列適合：，寫出前五項(xiàng)并寫出其通項(xiàng)公式； （2）用上面的數(shù)列，通過等式構(gòu)造新數(shù)列，寫出，并寫出的前5項(xiàng)解：（1） ，； （2），點(diǎn)評：會根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，了解遞推公式是給出數(shù)列的又一種重要方法，能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)。題型3：數(shù)列的應(yīng)用例5湖南省屆十二校聯(lián)考第一次考試如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)都是實(shí)數(shù)，且從第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的平方差是相同的常數(shù)，則稱該數(shù)列為等方差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫這個(gè)數(shù)列的公方差(1)設(shè)數(shù)列是公方差為的等方差數(shù)

8、列，求和的關(guān)系式；(2)若數(shù)列既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，證明該數(shù)列為常數(shù)列；(3) 設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為，公方差為的等方差數(shù)列，若將這種順序的排列作為某種密碼，求這種密碼的個(gè)數(shù)(1)解：由等方差數(shù)列的定義可知：5分(2)證法一：是等差數(shù)列，設(shè)公差為，則又是等方差數(shù)列，7分即，10分，即是常數(shù)列11分證法二：是等差數(shù)列，設(shè)公差為，則又是等方差數(shù)列，設(shè)公方差為，則7分代入得，同理有，兩式相減得：即，10分，即是常數(shù)列11分證法三：（接證法二、）由、得出：若，則是常數(shù)列8分若， 則 是常數(shù), ，矛盾10分是常數(shù)列11分(3)依題意， ，或，13分即該密碼的第一個(gè)數(shù)確定的方法數(shù)是，其余每個(gè)數(shù)都有“正”或

9、“負(fù)”兩種確定方法，當(dāng)每個(gè)數(shù)確定下來時(shí)，密碼就確定了，即確定密碼的方法數(shù)是種，故，這種密碼共種16分。點(diǎn)評：解決此類問題的思路是先將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列模型來處理。例6在某報(bào)自測健康狀況的報(bào)道中，自測血壓結(jié)果與相應(yīng)年齡的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表.觀察表中數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填入表中空白（_）內(nèi)答案：140 85解析：從題目所給數(shù)據(jù)規(guī)律可以看到：收縮壓是等差數(shù)列.舒張壓的數(shù)據(jù)變化也很有規(guī)律：隨著年齡的變化，舒張壓分別增加了3毫米、2毫米，照此規(guī)律，60歲時(shí)的收縮壓和舒張壓分別為140；85.點(diǎn)評：本題以實(shí)際問題為背景，考查了如何把實(shí)際生活中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力.它不需要技能、技巧及繁雜的計(jì)算，需要有

10、一定的數(shù)學(xué)意識，有效地把數(shù)學(xué)過程實(shí)施為數(shù)學(xué)思維活動(dòng)。題型4：等差數(shù)列的概念例7設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且Sn=n2，則an是（ ）A.等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列B.等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列答案：B；解法一：an=an=2n1（nN）又an+1an=2為常數(shù)，常數(shù)an是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列.解法二：如果一個(gè)數(shù)列的和是一個(gè)沒有常數(shù)項(xiàng)的關(guān)于n的二次函數(shù)，則這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列。點(diǎn)評：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念和基本知識，以及靈活運(yùn)用遞推式an=SnSn1a1，解法一緊扣定義，解法二較為靈活例8設(shè)數(shù)列、滿足：，（n=1,2,3,），證明：為等差數(shù)列的充分必要條件是為等差數(shù)列且（n=1

11、,2,3,）證明：必要性：設(shè)數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，則：=-=0，（n=1,2,3,）成立；又=6（常數(shù)）（n=1,2,3,）數(shù)列為等差數(shù)列。充分性：設(shè)數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且（n=1,2,3,）， 得：= 從而有得：，由得：（n=1,2,3,），由此，不妨設(shè)（n=1,2,3,），則（常數(shù)）故從而得：，故（常數(shù)）（n=1,2,3,），數(shù)列為等差數(shù)列。綜上所述：為等差數(shù)列的充分必要條件是為等差數(shù)列且（n=1,2,3,）。證法二：令A(yù)n = a n+1- a n，由b nb n+1知a n - a n+2a n+1- a n+3。從而a n+1- a na n+3 - a n+2,即AnAn+2

12、（n=1,2,3,）由c n = a n + 2a n+1 + 3a n+2, c n+1 = 4a n+1 + 2a n+2 - 3 a n+3得c n+1-c n=( a n+1- a n+2(a n+2- a n+1)+3(a n+3 - a n+2)，即An+2An+1+3An+2=d2. 由此得An+2+2An+3+3An+2=d2. -得(An-An+2)+2(An+1- An+3)+3(An+2- An+4)=0 因?yàn)锳n-An+20，An+1- An+30，An+2- An+40,所以由得An-An+2=0(n=1,2,3,)。于是由得4An+2An+1=An+1+2An+2+

13、3An+2=d2, 從而2An+4An+1=4An+1+2An+2=d2 由和得4An+2An+1=2An+4An+1,故An+1= An ,即a n+2- a n+1= a n+1- a n(n=1,2,3,)，所以數(shù)列a n是等差數(shù)列。點(diǎn)評：該題考察判斷等差數(shù)列的方法，我們要講平時(shí)積累的方法巧妙應(yīng)用，有些結(jié)論可以起到事半功倍的效果題型5：等差數(shù)列通項(xiàng)公式例9（天津卷文）已知等差數(shù)列的公差d不為0，設(shè)（）若 ,求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若成等比數(shù)列，求q的值。（）若（1）解：由題設(shè)，代入解得，所以（2）解：當(dāng)成等比數(shù)列，所以，即，注意到，整理得（3）證明：由題設(shè)，可得，則-得，+得，式兩邊同乘以

14、 q，得所以（3）證明：=因?yàn)椋匀?，取i=n，若，取i滿足，且，由（1）（2）及題設(shè)知，且 當(dāng)時(shí)，由，即，所以因此 當(dāng)時(shí)，同理可得因此綜上，【考點(diǎn)定位】本小題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和等基本知識，考查運(yùn)算能力和推理論證能力和綜合分析解決問題的能力例10已知等比數(shù)列的各項(xiàng)為不等于1的正數(shù)，數(shù)列滿足，設(shè)。（1）求數(shù)列的前多少項(xiàng)和最大，最大值為多少？（2）試判斷是否存在自然數(shù)M，使當(dāng)時(shí)，恒成立？若存在，求出相應(yīng)的M，若不存在，請說明理由；（3）令，試判斷數(shù)列的增減性？解：（1）由已知得：設(shè)等比數(shù)列xn的公比為q(q1)由得為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，d=2；設(shè)前k項(xiàng)為最

15、大，則前11項(xiàng)和前12項(xiàng)和為最大，其和為132 (2)xn=a12-n,nN*；若xn1，則a12-n1當(dāng)時(shí)，n12，顯然不成立 ；當(dāng)存在M=12，13，14，當(dāng)時(shí)，(3)an=時(shí)數(shù)列an為遞減數(shù)列點(diǎn)評：該題通過求通項(xiàng)公式，最終通過通項(xiàng)公式解釋復(fù)雜的不等問題，屬于綜合性的題目，解題過程中注意觀察規(guī)律題型6：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式例11（1）若一個(gè)等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為34，最后3項(xiàng)的和為146，且所有項(xiàng)的和為390，則這個(gè)數(shù)列有（ ）（2）設(shè)數(shù)列an是遞增等差數(shù)列，前三項(xiàng)的和為12，前三項(xiàng)的積為48，則它的首項(xiàng)是（ ）A.1 B.2 （3）設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若，則（ ）ABCD解析

16、：（1）答案：A設(shè)這個(gè)數(shù)列有n項(xiàng)n13（2）答案：B前三項(xiàng)和為12，a1a2a312，a24a1·a2·a348，a24，a1·a312，a1a38，把a(bǔ)1，a3作為方程的兩根且a1a3，x28x120，x16，x22，a12，a36，選B.（3）答案為A；點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的運(yùn)用和考生分析問題、解決問題的能力例12（1）設(shè)an為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知S77，S1575，Tn為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求Tn。（2）已知數(shù)列bn是等差數(shù)列，b1=1，b1+b2+b10=100.（）求數(shù)列bn的通項(xiàng)bn；（）設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)an=lg

17、（1+），記Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，試比較Sn與lgbn+1的大小，并證明你的結(jié)論。解析：（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則Sn=na1n（n1）dS77，S1575，即解得a12，d1a1（n1）d2（n1）。，數(shù)列是等差數(shù)列，其首項(xiàng)為2，公差為，Tnn2n（2）（）設(shè)數(shù)列bn的公差為d，由題意得解得bn=2n1.（）由bn=2n1，知Sn=lg（1+1）+lg（1+）+lg（1+）=lg（1+1）（1+）（1+），lgbn+1=lg.因此要比較Sn與lgbn+1的大小，可先比較（1+1）（1+）（1+）與的大小.取n=1，有（1+1），取n=2，有（1+1）（1+），由此推測（1+1）（

18、1+）（1+）.若式成立，則由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可斷定：Snlgbn+1。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明式。（i）當(dāng)n=1時(shí)已驗(yàn)證式成立。（ii）假設(shè)當(dāng)n=k（k1）時(shí)，式成立，即（1+1）（1+）（1+）.那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，（1+1）（1+）（1+）1+·（1+）=（2k+2）。（2k+2）2（）2，.因而 這就是說式當(dāng)n=k+1時(shí)也成立.由（i），（ii）知式對任何正整數(shù)n都成立.由此證得：Snlgbn+1。評述：本題主要考查等差數(shù)列的求和公式的求解和應(yīng)用，對一些綜合性的問題要先理清思路再行求解題型7：等差數(shù)列的性質(zhì)及變形公式例13（1）設(shè)an（nN*）是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，且S5

19、S6，S6S7S8，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）A.d0B.a70C.S9S5D.S6與S7均為Sn的最大值（2）等差數(shù)列an的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，則它的前3m項(xiàng)和為（ ）A.130 B.170 解析：（1）答案：C；由S5<S6得a1+a2+a3+a5<a1+a2+a5+a6，a6>0，又S6=S7，a1+a2+a6=a1+a2+a6+a7，a7=0，由S7>S8，得a8<0，而C選項(xiàng)S9>S5，即a6+a7+a8+a9>02（a7+a8）>0，由題設(shè)a7=0，a8<0，顯然C選項(xiàng)是錯(cuò)誤的。（2）答案：C解法一：由題意得方程組

20、，視m為已知數(shù)，解得，。解法二：設(shè)前m項(xiàng)的和為b1，第m+1到2m項(xiàng)之和為b2，第2m+1到3m項(xiàng)之和為b3，則b1，b2，b3也成等差數(shù)列。于是b1=30，b2=10030=70，公差d=7030=40。b3=b2+d=70+40=110前3m項(xiàng)之和S3m=b1+b2+b3=210.解法三：取m=1，則a1=S1=30，a2=S2S1=70，從而d=a2a1=40。于是a3=a2+d=70+40=110.S3=a1+a2+a3=210。點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的基本知識，及靈活運(yùn)用等差數(shù)列解決問題的能力，解法二中是利用構(gòu)造新數(shù)列研究問題，等比數(shù)列也有類似性質(zhì).解法三中，從題給選擇支獲得的信息可

21、知，對任意變化的自然數(shù)m，題給數(shù)列前3m項(xiàng)的和是與m無關(guān)的不變量，在含有某種變化過程的數(shù)學(xué)問題，利用不變量的思想求解，立竿見影。例14在XOY平面上有一點(diǎn)列P1（a1，b1），P2（a2，b2），Pn（an，bn），對每個(gè)自然數(shù)n，點(diǎn)Pn位于函數(shù)y=2000（）x（0a10的圖象上，且點(diǎn)Pn、點(diǎn)（n，0）與點(diǎn)（n+1，0）構(gòu)成一個(gè)以Pn為頂點(diǎn)的等腰三角形。（）求點(diǎn)Pn的縱坐標(biāo)bn的表達(dá)式；（）若對每個(gè)自然數(shù)n，以bn，bn1，bn2為邊長能構(gòu)成一個(gè)三角形，求a的取值范圍；（）（理）設(shè)Bnb1，b2bn（nN）.若a?。ǎ┲写_定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，求數(shù)列Bn的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)（文）設(shè)cnlg（bn）

22、（nN）.若a?。ǎ┲写_定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，問數(shù)列cn前多少項(xiàng)的和最大?試說明理由。解析：.解：（）由題意，ann，bn2000（）。（）函數(shù)y=2000（）x（0a10）遞減，對每個(gè)自然數(shù)n，有bnbn1bn2則以bn，bn1，bn2為邊長能構(gòu)成一個(gè)三角形的充要條件是bn2bn1bn，即（）2（1）0，解得a5（1）或a5（1），5（1）a10（）（理）5（1）a10，a=7，bn2000（）。數(shù)列bnn2，BnbnBn1。于是當(dāng)bn1時(shí)，BnBn1，當(dāng)bn1時(shí)，BnBn1，因此，數(shù)列Bn的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)n滿足不等式bn1且bn11。由bn2000（）1，得n20.8，n=20。（文）5（1

23、）a10，a=7，bn2000（）。于是cnlg2000（）3lg2（n）lg0.7數(shù)列cn是一個(gè)遞減的等差數(shù)列.因此，當(dāng)且僅當(dāng)cn0，且cn10時(shí)，數(shù)列cn的前n項(xiàng)的和最大。由cn3lg2（n）lg070，得n20.8，n=20。點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的解析式，函數(shù)的性質(zhì)，解不等式，等差、等比數(shù)列的有關(guān)知識，及等價(jià)轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法.五【思維總結(jié)】1數(shù)列的知識要點(diǎn)：（1）數(shù)列是特殊的函數(shù)，數(shù)列是定義在自然數(shù)集N（或它的有限子集1，2，3，n，）上的函數(shù)f（n），當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對應(yīng)的一列函數(shù)值：f（1），f（2），f（3），f（n），。數(shù)列的圖象是由一群孤立的點(diǎn)構(gòu)成的。（2）對于數(shù)列的通項(xiàng)公式要掌握：已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，就可以求出數(shù)列的各項(xiàng)；根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，這是一個(gè)難點(diǎn)，在學(xué)習(xí)中要注意觀察數(shù)列中各項(xiàng)與其序號的變化情況，