并行計算中的隨機波動率亞式期權(quán)Monte Carlo加速方法

1、高性能計算應(yīng)用47并行計算中的隨機波動率亞式期權(quán)加速方法姜廣鑫徐承龍同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系上海寇大治徐瑩徐磊上海超級計算中心上海摘要：近年來與的并行計算在金融領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用，本文將普通計算機中的控制變量方法移植到核的并行計算和計算中，選取了波動率為常數(shù)的離散的幾何平均亞式期權(quán)作為控制變量，計算隨機波動率下的離散算術(shù)平均亞式期權(quán)。我們分別討論了在并行計算和計算中參數(shù)的改變對計算結(jié)果的影響，并比較了算法加速與硬件加速兩者的運算效率。最后采用算法加速結(jié)合硬件加速的方法，極大地縮短了運算時間。關(guān)鍵詞：亞式期權(quán)，控制變量，集群計算，計算簡介亞式期權(quán)與隨機波動率模型亞式期權(quán)最早是由美國銀行家信托公司（）在日本

2、東京推出的，并在日本金融市場開始使用。實質(zhì)上，亞式期權(quán)是對歐式期權(quán)的創(chuàng)新，它們的相同點是只允許投資者在到期日當天執(zhí)行期權(quán)合同；他們的不同點在于歐式期權(quán)是根據(jù)到期日當天的標的資產(chǎn)的價格來決定是否執(zhí)行期權(quán)，而亞式期權(quán)是根據(jù)合同所規(guī)定的期限內(nèi)標的資產(chǎn)價格的平均值來決定是否實施期權(quán)的。亞式期權(quán)作為最受歡迎的期權(quán)之一，有著自己獨特的優(yōu)點，由于歐式期權(quán)的價值與路徑無關(guān)，只依賴于到期日標的資產(chǎn)價格，因此，很難防止有人操縱標的資產(chǎn)到期日的價格從中獲利；而對于亞式期權(quán)，它的價值是與路徑相關(guān)的，使用它可以緩解投機行為。年，和給出了股票期權(quán)的定價公式，成為衍生品定價上的一項重大突破。然而在經(jīng)典的模型中，假設(shè)標的資產(chǎn)

3、的波動率為常數(shù)，而實際情況下，金融模型中常數(shù)波動率的假設(shè)與實際市場不一致，標的資產(chǎn)的概率分布并不是呈現(xiàn)為一個對數(shù)正態(tài)分布，它的兩尾并不是完全對稱的，因此這個假設(shè)與實際情況不符合，實際操作者在應(yīng)用公式對期權(quán)定價時需要調(diào)整波動率的值，將波動率假設(shè)成隨機的想法隨之產(chǎn)生。隨機波動率模型是對確定型波動率模型的拓展。這個概念由和（）最早提出，他們假設(shè)隨機波動率是某一擴散過程的函數(shù)，這個模型清晰地描述了隨機波動率與股票價格間的杠桿作用。之后的學(xué)者（），（）對隨機波動率模型進行了改進。其中（）提出的均方根擴散過程模型最為常用，他假設(shè)隨機波動率。本文中采用的隨機波動率模型即為該模型。并行計算介紹隨著計算金融領(lǐng)域

4、的迅速發(fā)展，對于計算機處理器的運算能力要求越來越高，傳統(tǒng)的計算機計算能力已經(jīng)不能滿足，于是如何進一步提高計算能力顯得格外重要。但是傳統(tǒng)的由于能耗和散熱問題限制了時鐘頻率的提高和單在每個時鐘周期中的執(zhí)行能力，光靠硬件性能的提升來提高計算能力已經(jīng)遠遠不夠。因此相關(guān)的科研人員打破了傳統(tǒng)的串行編程方式，發(fā)起了一場“并行革命”。高性能計算發(fā)展與應(yīng)用年第四期總第三十七期在高性能計算領(lǐng)域，的并行計算發(fā)展的比較早。國內(nèi)外比較成熟的超級計算機大多采用成百上千的列陣。例如上海超級計算中心魔方超級計算機擁有個刀片節(jié)點，每個刀片節(jié)點配置顆處理器。目前，是最重要的并行編程實現(xiàn)途徑，它具有移植性、好功能強大、效率高等多種

5、優(yōu)點。在本文中，我們采用語言來調(diào)用庫對程序進行并行化。此外，計算近年來得到很大的發(fā)展。作為的協(xié)處理器，擁有眾多計算單元，單塊的的計算能力比傳統(tǒng)的高上千倍。以在本文的計算時使用的顯卡為例，在工作站環(huán)境下采用塊圖形處理器，個運算單元，單精度運算能力達到，雙精度運算能力達到，顯存帶寬到達。由負責(zé)大規(guī)模的密集型數(shù)據(jù)并行計算，負責(zé)執(zhí)行不適合并行計算的部分的想法隨之產(chǎn)生。年，推出編程模型，以主機端調(diào)用的方式使用進行計算。這種編程模型提高了編程的效率，尤其是與和兼容使得計算可以在各個領(lǐng)域得以推廣。模擬中的控制變量加速方法蒙特卡羅（，）方法，是計算數(shù)學(xué)中常用的一種計算方法。它以概率統(tǒng)計的理論、方法為基礎(chǔ)，一般

6、應(yīng)用方法解決問題往往與某個概率模型聯(lián)系在一起，并應(yīng)用于計算機上，得到模擬值。上世紀年代，隨著金融衍生產(chǎn)品市場的迅速發(fā)展，方法首先由引入到期權(quán)定價問題中來。但是方法在應(yīng)用方面也存在著明顯的不足，它的收斂速度比較慢，對一些復(fù)雜的衍生產(chǎn)品，要想達到較好的精度，就需要進行很多的模擬次數(shù)，否則將產(chǎn)生較大的估計誤差。于是我們經(jīng)常采用方差減小技術(shù)結(jié)合模擬?？刂谱兞考记墒且环N被廣泛使用的方差減小技術(shù)，它是一種充分利用已知量的估計誤差來降低未知量的估計誤差的技術(shù)。假設(shè)是期權(quán)到期回報貼現(xiàn)的次獨立模擬值，那么期權(quán)價格的蒙特卡羅估計值是假設(shè)得到的同時能得到另一個隨機變量的樣本，且已知，樣本獨立，則對于確定的數(shù)有），則

7、期權(quán)價格的控制變量估計值即為所謂的“控制”是指，顯然控制變量估計是個無偏估計量，且方差為當最優(yōu)控制系數(shù)時，上述方差達到最小，為：控制變量估計的誤差減小情況取決于待定價期權(quán)的收益函數(shù)與控制變量的相關(guān)性，相關(guān)性越大方差減小效果越好。要注意的是，當越接近于時，方差減小的倍數(shù)越增加的越快，相反，遠離的時候，方差減小的倍數(shù)越慢，因此選取合適的控制變量對于解決方差減小問題起著重要的作用。如果當存在控制變量與不存在控制變量的計算所需時間近似時，那么最終的計算速度取決與模擬的次數(shù)。因此，對于解決一個問題所需要的時間，控制變量法的計算效率會大大提高。比較有名的例子是和，用連續(xù)幾何平均的亞式期權(quán)作為控制變量研究了

8、算術(shù)平均亞式期權(quán)的定價問題。年和研究了在未定權(quán)益的模擬定價中，使用對沖工具作為控制變量來減小誤差。隨機波動率的亞式期權(quán)及控制變量模擬的計算方法隨機波動模型的控制變量模擬在普通的計算機上已經(jīng)在和的文章中得到很好的解決，本文的模型及計算方法主要參考和在的文章中模型及方法，將其移植到并行計算和計算中。在鞅測度下，我們假設(shè)標的資產(chǎn)和波動率適合如下隨機微分方程：（）（）其中，為常數(shù)，表示無風(fēng)險利率，和為常數(shù)，描述方差的漂移和波動情況，、是標準運動，且。模擬方法在金融工程中的應(yīng)用在中給出比較詳細的說明，下面給出控制變量的模擬對期權(quán)定價的具體算法：將時間段離散，即將平均分成份，離散的時間間隔為，離散的時間點

9、列為包含所48高性能計算應(yīng)用49需的觀察點在內(nèi)。，進而模擬出波其中出。最后在應(yīng)用控制變量的方法進行對中的期權(quán)進行計算，令可以由的中的第一章中由公式給產(chǎn)生波動率為常數(shù)的標的資產(chǎn)?；谶^程產(chǎn)生滿足正態(tài)分布的隨機變量動率為常數(shù)的標的資產(chǎn)的路徑，可令這是標的資產(chǎn)中給出，的一條路徑。其中，且當時，為標的即，對次的模擬取平均。下面我們考慮的取值，由前面的介紹知道，最優(yōu)的系數(shù)但在實際情況中，我們對近似。可令（）與。無法資產(chǎn)的初值，為無風(fēng)險的利率，為常數(shù)，其值在基于中產(chǎn)生的標的資產(chǎn)的路徑計算出所對應(yīng)的期權(quán)精確的算出它們的值，因此可以采用數(shù)值方法進行產(chǎn)生波動率為隨機波動率的標的資產(chǎn)。即基于過程和產(chǎn)生波動率為隨機

10、的標的資產(chǎn)先產(chǎn)生隨機波動率，可應(yīng)用令。首并行計算中的加速計算結(jié)果其中為隨機波動率的增長率，率的波動率，為隨機波動率的初值。由為隨機波動為與可以的計算環(huán)境：本節(jié)的計算環(huán)境為上海超級計算中心魔方超級計算機，該平臺采用了處理器，計算節(jié)點為四路四核心，單核心頻率，單節(jié)點采用根，共計內(nèi)存。四路四核心節(jié)點采用的操作系統(tǒng)為（），（：），（）。使用的版本為。得到波動率為過程的隨機波動率的標的資產(chǎn)的一條路徑。基于中產(chǎn)生的標的資產(chǎn)的路徑計算出所對應(yīng)的期權(quán)數(shù)據(jù)參數(shù)選擇如下：初始價格為，敲定價相關(guān)的正態(tài)分布隨機變量，相關(guān)系數(shù)為。產(chǎn)生，令和另一個與其相互獨立的正態(tài)分布隨機變量然后，可以產(chǎn)生滿足該隨機波動率的標的資產(chǎn)，令

11、為，到期日為，無風(fēng)險利率為，觀測點數(shù)為，觀測點之間離散點數(shù)為，波動率的漂移項為，波動率的波動率定義如下，為，波動率初始值為，隨機源的相關(guān)性為，這里面誤差的產(chǎn)生帶有控制變量的期權(quán)，令50高性能計算發(fā)展與應(yīng)用年第四期總第三十七期首先我們改變運算的核數(shù)對計算結(jié)果的影響，改變運算的核數(shù)從到，模擬的次數(shù)取次，得到下表，表中分別列出普通的方法（）和控制變量的方法（）的數(shù)值結(jié)果。從表中可以看出，運算的核數(shù)越多計算的時間越短，核數(shù)的改變對運算結(jié)果的影響不大，因此我們在今后的計算中采用個核來進行并行計算。比較一下單核與核的運算時間，得到圖。從圖中我們可以看出，單核的運算時間要遠遠的高于核，采用核進行計算的加速比

12、大概在倍左右。接下來改變模擬次數(shù)得到下表。圖單核計算與核并行計算的時間比較從上表中我們可以看出，誤差減小的倍數(shù)大概在倍左右。用控制變量方法對該模型模擬次得到結(jié)果看做是精確解，在普通的法中，當模擬次數(shù)達到次左右才開始精確到小數(shù)點后第三位，應(yīng)用控制變量進行加速后，模擬次數(shù)在次左右精度就達到小數(shù)點后第三位。接下來我們看一下參數(shù)的改變對誤差減小倍數(shù)的影響，分別改變波動率的漂移項和波動率的波動率。改變波動率的漂移項從到，其他的參數(shù)與上面相同，模擬次數(shù)采用次，可以得到圖。接下來改變波動率的波動率從到，其他的參數(shù)與上面相同，模擬次數(shù)采用次，可以得到圖。從圖可以看出，誤差減小的倍數(shù)隨著波動率的波動率的增大而減

13、小。圖核并行計算中波動率的波動率與誤差減小倍數(shù)的關(guān)系綜上所述，在普通的計算機上，對的控制變量技巧有了很好的闡述，而在并行計算中，應(yīng)用方法對期權(quán)進行定價同樣可以采用控制變量的技巧來減小誤差，得到的結(jié)果與普圖核并行計算中波動率的漂移項與誤差減小倍數(shù)的關(guān)系通計算機上的結(jié)果幾乎相同。在下一節(jié)我們將討論控制變量技巧在計算中的應(yīng)用。從圖中可以看出，當波動率的漂移項從增大到時，誤差減小的倍數(shù)隨著的增大而減??；當右。從減小到時，誤差減小的倍數(shù)在倍左中加速計算結(jié)果計算環(huán)境：的計算環(huán)境采用了，的系列產(chǎn)品家族基于代高性能計算應(yīng)用51號為“”的下一代架構(gòu)，支持技術(shù)與企業(yè)計算所必備的諸多特性，其中包括支持、可實現(xiàn)極高精

14、度與可擴展性的儲存器以及倍于系列的雙精度性能。本文計算采用的的版本為。數(shù)據(jù)選取與上一節(jié)相同，我們改變模擬的次數(shù)，討論其對計算結(jié)果的影響，得到表。從表中我們可以看出的計算結(jié)果與用個并行計算的結(jié)果幾乎相同，隨機波動率的亞式期權(quán)的數(shù)值解為，誤差減小倍數(shù)在倍左右。同樣，在普通的法中，當模擬次數(shù)達到次左右才開始精確到小數(shù)點后第三位，應(yīng)用控制變量進行加速后，模擬次數(shù)在次左右精度就達到小數(shù)點后第三位。我們與上節(jié)一樣，分別改變波動率的漂移項和波動率的波動率。波動率的漂移項從到，波動率的波動率從到，其他的參數(shù)與上面相同，模擬次數(shù)采用次，可以得到圖與圖。圖計算中波動率的漂移項與誤差減小倍數(shù)的關(guān)系圖模擬次數(shù)與時間的

15、關(guān)系從上圖我們可以看出，用計算的時間遠高于核的并行計算。此外，帶控制變量的方法的運算時間只比普通的方法運算時間高一點，但是帶控制變量的方法達到一定的精確值的模擬次數(shù)要遠低于普通方法。為了進一步說明，我們做如下比較，當達到一定的誤差值時，我們看這些方法所需時間，假定誤差達到。單核的普通方法要進行進大約次以上的運算，時間約為，單核的控制變量方法方法要進行大約次運算，時間約為；在應(yīng)用核進行并行計算時，進行的運算次數(shù)與單核一樣，普通的方法要進行大約，控制變量的方法要進行大約；在應(yīng)用進行計算時，普通的方法要進行大約，控制變量的方法要進行大約，可以得到下圖。圖計算中波動率的波動率與誤差減小倍數(shù)的關(guān)系從圖、

16、圖中我們可以看出，改變波動率的漂移項與波動率對誤差減小倍數(shù)的影響與上一節(jié)相同。并行計算與計算時間比較本節(jié)中的計算環(huán)境和參數(shù)的選取與上兩節(jié)相同。我們改變模擬次數(shù)，得到并行計算與計算的運算時間如下圖所示。52高性能計算發(fā)展與應(yīng)用年第四期總第三十七期式看漲期權(quán)。通過計算比較，核并行計算和計算的結(jié)果幾乎一樣，達到倍左右，進而討論參數(shù)對計算結(jié)果的影響，得到的結(jié)果與在普通計算機上得到的結(jié)果相同。波動率的漂移項和波動率都對誤差減小倍數(shù)有影響，其中波動率的漂移項為正數(shù)時，誤差減小的倍數(shù)隨著其的增大而減??；當波動率的漂移項為負時，誤差減小的倍數(shù)在倍左右；波動率的波動率越大，誤差減小倍數(shù)越小。改變其它參數(shù)例如觀測

17、點數(shù)及觀測點之間的離散點數(shù)圖單核、核并行和中普通方法與控制變量的方法的時間比較等，對誤差減小倍數(shù)幾乎無影響。在計算時間方面，算法加速比硬件加速更節(jié)省時間。選定相同的誤差精度，采用普通的方法，核并行計算與計算較單核計算的加速比分別為倍與倍，而在單核計算中，采用了控制變量的方法與普通的方法的加速比可達到近倍。在核與計算的比較中，在運算量較大時，要比核計算的更快，但是由于在初始化隨機數(shù)時需要一定的時間，因此在計算量較小時，計算的效率沒有核高。綜上所訴，控制變量技巧可以應(yīng)用于的并行計算和計算中，采用算法加速結(jié)合硬件加速的方法，可以使運算時間大大的縮短。在今后的研究中，我們一方面可以將模擬中其他的加速技巧移植到與的并行計算中去，例如重要抽樣法、分層抽樣法等。另一方面，我們可以將與并行計算中的控制變量技巧應(yīng)用于其他復(fù)雜金融衍生物的定價問題中，尤其是美式期權(quán)定價等計算量巨大的問題。從圖中我們可以清晰的看出，當所求的誤差相同時，在硬件加速方面，核并行計算與計算的速度要遠快于單核的計算，加速比分別為倍與倍；而在算法加速方面，控制變量的方法（）對于計算