高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)形成性考核冊(cè)及答案

1、第1章函數(shù)第2章 極限與連續(xù)（一）單項(xiàng)選擇題下列各函數(shù)對(duì)中，（ C ）中的兩個(gè)函數(shù)相等 A. ， B. ， C. ， D. ，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的圖形關(guān)于（C）對(duì)稱 A. 坐標(biāo)原點(diǎn) B. 軸 C. 軸 D. 下列函數(shù)中為奇函數(shù)是（ B ） A. B. C. D. 下列函數(shù)中為基本初等函數(shù)是（C） A. B. C. D. 下列極限存計(jì)算不正確的是（ D ） A. B. C. D. 當(dāng)時(shí)，變量（ C ）是無(wú)窮小量 A. B. C. D. 若函數(shù)在點(diǎn)滿足（ A ），則在點(diǎn)連續(xù)。 A. B. 在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義 C. D. （二）填空題函數(shù)的定義域是（3， +)已知函數(shù)，則 x2 - x e

2、1/2若函數(shù)，在處連續(xù)，則 e函數(shù)的間斷點(diǎn)是x=0若，則當(dāng)時(shí)，稱為無(wú)窮小量（三）計(jì)算題設(shè)函數(shù)求：解：f(-2) = - 2，f(0) = 0， f(1) = e求函數(shù)的定義域 解：由解得x<0或x>1/2，函數(shù)定義域?yàn)?-，0)(1/2，+)在半徑為的半圓內(nèi)內(nèi)接一梯形，梯形的一個(gè)底邊與半圓的直徑重合，另一底邊的兩個(gè)端點(diǎn)在半圓上，試將梯形的面積表示成其高的函數(shù) 解：如圖梯形面積A=(R+b)h，其中求求求求求求設(shè)函數(shù)討論的連續(xù)性，并寫出其連續(xù)區(qū)間解： 函數(shù)在x=1處連續(xù)不存在，函數(shù)在x=-1處不連續(xù)高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第二次作業(yè)第3章導(dǎo)數(shù)與微分（一）單項(xiàng)選擇題設(shè)且極限存在，則（ B ） A.

3、 B. C. D. 設(shè)在可導(dǎo)，則（D） A. B. C. D. 設(shè)，則（A） A. B. C. D. 設(shè)，則（D） A. B. C. D. 下列結(jié)論中正確的是（ C ） A. 若在點(diǎn)有極限，則在點(diǎn)可導(dǎo)B. 若在點(diǎn)連續(xù)，則在點(diǎn)可導(dǎo) C. 若在點(diǎn)可導(dǎo)，則在點(diǎn)有極限 D. 若在點(diǎn)有極限，則在點(diǎn)連續(xù) （二）填空題設(shè)函數(shù)，則0設(shè)，則(2/x)lnx+5/x曲線在處的切線斜率是1/2曲線在處的切線方程是y=1設(shè)，則2x2x(lnx+1)設(shè)，則1/x（三）計(jì)算題求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：y=(x3/2+3)ex，y=3/2x1/2ex+(x3/2+3)ex=(3/2x1/2+x3/2+3)ex y=-csc2x +

4、 2xlnx +x y=(2xlnx-x)/ln2xy=(-sinx+2xln2)x3-3x2(cosx+2x)/x6=y=4x3-cosxlnx-sinx/xy=(cosx+2x)3x-(sinx+x2)3xln3/32x=cosx+2x-(sinx+x2)ln3/3xy=extanx+exsec2x+1/x = ex(tanx+sec2x)+1/x求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：y=x7/8 y=(7/8)x -1/8y=nsinn-1xcosxcosnx - nsinnxsin nx在下列方程中，是由方程確定的函數(shù)，求：方程對(duì)x求導(dǎo)：ycosx-ysinx=2 ye2yy=ysinx / (cosx-

5、2e2y)方程對(duì)x求導(dǎo)：y = y (-siny)lnx +(1/x)cosyy=(1/x)cosy / (1+sinylnx)方程對(duì)x求導(dǎo)：2siny + y2xcosy=(2xy-x2 y)/y2y=2(xy y2siny) /(x2+2xy2cosy)方程對(duì)x求導(dǎo)：y=1+ y/y， y=y /(y-1)方程對(duì)x求導(dǎo)：1/x+ yey=2y y， y=1/x(2y-ey)方程對(duì)x求導(dǎo)：2y y=exsiny + y excosyy= exsiny/(2y- excosy)方程對(duì)x求導(dǎo)：yey =ex -3y2 y， y=ex/ey+3y2方程對(duì)x求導(dǎo)：y=5xln5 + y2yln2，y

6、=5xln5 /(1-2yln2)求下列函數(shù)的微分：求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：（四）證明題 設(shè)是可導(dǎo)的奇函數(shù)，試證是偶函數(shù)證明：由 f(x)= - f(-x) 求導(dǎo)f(x)= - f(-x)(-x)f(x)= f(-x)， f(x)是偶函數(shù)高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第三次作業(yè)第4章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（一）單項(xiàng)選擇題若函數(shù)滿足條件（D），則存在，使得 A. 在內(nèi)連續(xù)B. 在內(nèi)可導(dǎo) C. 在內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)D. 在內(nèi)連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是（D） A. B. C. D. 函數(shù)在區(qū)間內(nèi)滿足（A） A. 先單調(diào)下降再單調(diào)上升 B. 單調(diào)下降 C. 先單調(diào)上升再單調(diào)下降 D. 單調(diào)上升函數(shù)滿足的點(diǎn)，一定是的（C） A. 間

7、斷點(diǎn) B. 極值點(diǎn) C. 駐點(diǎn) D. 拐點(diǎn)設(shè)在內(nèi)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，若滿足（C ），則在取到極小值 A. B. C. D. 設(shè)在內(nèi)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且，則在此區(qū)間內(nèi)是（A） A. 單調(diào)減少且是凸的 B. 單調(diào)減少且是凹的 C. 單調(diào)增加且是凸的 D. 單調(diào)增加且是凹的設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值，則（ ） A. B. C. D. （二）填空題設(shè)在內(nèi)可導(dǎo)，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則是的極小值點(diǎn)若函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，且是的極值點(diǎn)，則0函數(shù)的單調(diào)減少區(qū)間是(-，0)函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是(0，+)若函數(shù)在內(nèi)恒有，則在上的最大值是f(a)函數(shù)的拐點(diǎn)是x=0 若點(diǎn)是函數(shù)的拐點(diǎn)，則，（三）計(jì)算題求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值 解：y=(x

8、-5)2+2(x+1)(x-5)=3(x-1)(x-5)由y=0求得駐點(diǎn)x=1，5.列表 x(-，1)1(1，5)5(5，+)y+00+y Ymax=32Ymin=0(-，1)和 (5，+)為單調(diào)增區(qū)間， (1，5)為單調(diào)減區(qū)間，極值為Ymax=32，Ymin=0。求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的極值點(diǎn)，并求最大值和最小值解：y=2x-2，駐點(diǎn)x=1是極小值點(diǎn)，在區(qū)間0，3上最大值為y(3)=6，最小值為y(1)=2。x0(0，1)1(1，3)3y-0+y326試確定函數(shù)中的，使函數(shù)圖形過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，且是駐點(diǎn)，是拐點(diǎn)求曲線上的點(diǎn)，使其到點(diǎn)的距離最短解：曲線y2=2x上的點(diǎn)(x，y)到點(diǎn)A(2，0)的距離 d 2=

9、x2-2x+4，(d 2)=2x-2，由(d 2)=0求得x=1，由此得所求點(diǎn)有兩個(gè)：圓柱體上底的中心到下底的邊沿的距離為，問(wèn)當(dāng)?shù)装霃脚c高分別為多少時(shí)，圓柱體的體積最大？解 右圖為圓柱體的截面，由圖可得R2=L2-H2圓柱體的體積V=R2H=(L2-H2)HV=(L2-3H2)，由V=0解得，此時(shí)，圓柱體的體積最大。一體積為V的圓柱體，問(wèn)底半徑與高各為多少時(shí)表面積最小？解：圓柱體的表面積S=2R2+2RH由體積V=R2H解得H=V/R2 S=2R2+2V/ RS=4R - 2V/ R2=2(2R3 - V) / R2由S=0解得，此時(shí)答：當(dāng)高與底面直徑相等時(shí)圓柱體表面積最小。欲做一個(gè)底為正方形

10、，容積為62.5立方米的長(zhǎng)方體開(kāi)口容器，怎樣做法用料最?。拷猓涸O(shè)長(zhǎng)方體底面邊長(zhǎng)為a高為h表面積S=a 2+4aha 2h =62.5，h / a 2S=a 2+250/a， S=2a- 250/a 2=(2a3 250)/a 2，由S=0解得a =5m，h =，此時(shí)S=75m2最小，即用料最省。從面積為的所有矩形中，求其周長(zhǎng)最小者從周長(zhǎng)為的所有矩形中，求其面積最大者（四）證明題當(dāng)時(shí)，證明不等式證明：令f(x)=x-ln(1+x)， f(x)=1-1/ (1+x)=x/ (1+x)當(dāng)x0時(shí)有f(x)0，f(x)為增函數(shù)，又f(0)=0當(dāng)x0時(shí)f (x)0，即xln(1+x)當(dāng)時(shí)，證明不等式證明：令f(x)=ex/ (x+1)，f(x)= ex(x+1)- ex/ (x+1)2=x ex/ (x+1)2當(dāng)x0時(shí)有f(x)0，f(x)為增函數(shù)，又f(0)=1當(dāng)x0時(shí)f (x)1，即exx+1高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第四次作業(yè)第5章不定積分第6章定積分及其應(yīng)用（一）單項(xiàng)選擇題若的一個(gè)原函數(shù)是，則（D） A. B. C. D. 下列等式成立的是（D） A. B. C. D. 若，則（B） A. B. C. D. （D） A. B. C. D. 若，則（B） A. B. C. D. 由區(qū)間上的兩條光滑曲線和以及兩條直線和所圍成的平面區(qū)域的面積是（） A. B. C. D. 下列無(wú)窮限積分收斂的是（D）