高中數(shù)學選修5-4不等式選講

1、一、絕對值不等式：解絕對值不等式、絕對值函數(shù)的圖像、求絕對值函數(shù)的最值、恒成立問題1設不等式的解集為M（I）求集合M；（II）若a，bM，試比較ab+1與a+b的大小解：（I）由所以（II）由（I）和，所以故2設函數(shù),其中（）當時，求不等式的解集；（）若不等式的解集為 ，求a的值解：（）當時，可化為由此可得 或故不等式的解集為或() 由 得此不等式化為不等式組 或即 或因為，所以不等式組的解集為由題設可得=，故3設函數(shù)（）畫出函數(shù)的圖像；（）若不等式的解集非空，求a的取值范圍解：（）由于則函數(shù)的圖像如圖所示（）由函數(shù)與函數(shù)的圖像可知，當且僅當或時，函數(shù)與函數(shù)的圖像有交點故不等式的解集非空時，的

2、取值范圍為4解不等式解：或或5解不等式2x-1x+1解：當x0時,原不等式可化為；又不存在;當時,原不等式可化為又當綜上,原不等式的解集為6如圖，O為數(shù)軸的原點，A,B,M為數(shù)軸上三點，C為線段OM上的動點，設x表示C與原點的距離，y 表示C到A距離4倍與C道B距離的6倍的和（1）將y表示成x的函數(shù)；（2）要使y的值不超過70，x 應該在什么范圍內取值？解：（）（）依題意，x滿足解不等式組，其解集為【9，23】；所以 7求|2x-3|+|3x+2|的最小值.解：|2x-3|+|3x+2|=|2x-3|+|2x+|+|x+|（2x-3）-（2x+）|+|x+|4+0=4。當x=-時取等號，|2x

3、-3|+|3x+2|的最小值為48已知函數(shù)=|x-2|x-5|（I）證明：3；（II）求不等式x2x+15的解集解：（I） 當 所以 （II）由（I）可知， 當?shù)慕饧癁榭占?當； 當.綜上，不等式9設函數(shù)（）若，解不等式；（）如果關于的不等式有解，求的取值范圍解：（）當時， 由，得， 當時，不等式化為即 所以，原不等式的解為 當時，不等式化為即 所以，原不等式無解. 當時，不等式化為即 所以，原不等式的解為綜上，原不等式的解為（）因為關于的不等式有解，所以，因為表示數(shù)軸上的點到與兩點的距離之和，所以，解得，所以，的取值范圍為10已知函數(shù).（）若不等式的解集為，求實數(shù)的值；（）在（）的條件下，

4、若對一切實數(shù)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.解法一：（）由得，解得又已知不等式的解集為，所以解得（）當時，設，解法二：（）同解法一（）當時，設由（當且僅當時等號成立）得，的最小值為5從而，若即對一切實數(shù)恒成立，則的取值范圍為二、利用柯西不等式、均值不等式求最值、證明不等式、求參數(shù)的取值范圍1、不等式證明11設是非負實數(shù)，求證：證明：由是非負實數(shù)，作差得當時，從而，得；當時，從而，得；所以。2、均值不等式12已知x，y，z均為正數(shù)求證：證明：因為x，y，z無為正數(shù)所以，同理可得，當且僅當xyz時，以上三式等號都成立將上述三個不等式兩邊分別相加，并除以2，得6分13已知均為正數(shù)，證明：，并確定為何值時

5、，等號成立3、柯西不等式14已知，求的最小值解：，當且僅當：，即，時，的最小值為。15若求的最小值，并求此時的值解、用柯西不等式，因故所以因此當且僅當時，16已知，且，求的最小值解法一：注意到，且為定值，利用柯西不等式得到，從而，當且僅當時取“”號，所以的最小值為3解法二：可考慮利用基本不等式“”進行求解，由，從而求得，當且僅當時取“”號，所以的最小值為317已知a2+b2+c2=1(a，b，c)，求a+b+c的最大值（法一）解： ，, .當且僅當時，取得最大值（法二）解：，,，當且僅當時等號成立，的最大值為18已知實數(shù)滿足，求的最大值和最小值解：由柯西不等式得即由條件可得，解得 當且僅當時等號成立，代入時，時，19已知函數(shù)的最小值為，實數(shù)滿足.（）求的值；（）求證：解：（）法一： .法二：，當且僅當時，等號成立，故.（）即：,故.20已知a，b，c為實數(shù)，且（I）求證：（II）求實數(shù)m的取值范圍解：由柯西不等式得即當且僅當取得等號由已知得又21將12cm長的細鐵線截成三條長度分別為、的線段，（I）求以、為長、寬、高的長方體的體積的最大值；（II）