高一空間中的垂直關(guān)系

1、年級(jí)高一學(xué)科數(shù)學(xué)內(nèi)容標(biāo)題空間中的垂直關(guān)系編稿老師丁學(xué)鋒一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握直線與平面垂直的定義、判定定理和性質(zhì)定理，并能運(yùn)用它們進(jìn)行論證和解決有關(guān)的問(wèn)題；2.掌握平面與平面垂直的概念和判定定理、性質(zhì)定理，并能運(yùn)用它們進(jìn)行推理論證和解決有關(guān)問(wèn)題；3.在研究垂直問(wèn)題時(shí)，要善于應(yīng)用“轉(zhuǎn)化”和“降維”的思想，通過(guò)線線、線面、面面平行與垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，使問(wèn)題獲得解決.二、重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：對(duì)直線與平面垂直、平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的理解難點(diǎn)：對(duì)直線與平面垂直、平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的運(yùn)用三、考點(diǎn)分析對(duì)直線與平面、平面與平面垂直關(guān)系的考查是立體幾何的必考內(nèi)容.高考中仍以特殊集合體為載體

2、，綜合考查線線、線面、面面的垂直關(guān)系.一、直線與平面垂直、平面與平面垂直的定義1.直線與平面垂直的定義：如果直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說(shuō)直線與平面互相垂直，記作.2.直線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.3.平面與平面垂直的定義二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱.這兩個(gè)平面叫做二面角的面.如果兩個(gè)平面相交，且它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直.記作.二、直線與平面垂直、平面與平面垂直的判定定理定理表示線面垂直的判定定理面面垂直的判定定理文字?jǐn)⑹鲆粭l直線與一個(gè)平面內(nèi)的

3、兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直.一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直.符號(hào)表示圖形表示三、線面垂直、面面垂直的性質(zhì)定理定理表示線面垂直的性質(zhì)定理面面垂直的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.兩個(gè)平面垂直，則在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面.符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言作用線面垂直線線平行作平行線面面垂直線面垂直作面的垂線知識(shí)點(diǎn)一：線面垂直、面面垂直的判定及應(yīng)用例1.如圖，已知所在的平面，AB為圓O的直徑，C是圓周上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AEPC于點(diǎn)E.求證：AE平面PBC.題意分析：AB為圓O的直徑.進(jìn)一步證BC平面PAC，由此得出BCAE，由已知得AE平面PBC

4、.證明過(guò)程：AB為圓O的直徑，.PA平面ABC，PABC，又ACPAA，BC平面PAC，AE平面PAC.BCAE.AEPC，PCBCC，AE平面PBC.【題后思考】解決此題的關(guān)鍵有二：一是圓的性質(zhì)的運(yùn)用；二是善于進(jìn)行線線、線面垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化.例2.如圖，已知PA矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn).求證：MNCD.題意分析：將MN平移到平面PAD中去，然后證明CD平面PAD得線線垂直，從而得證.證明過(guò)程：如圖取PD的中點(diǎn)E，連接NE，AE. N是PC的中點(diǎn)，E為PD的中點(diǎn)，NE/ CD且NECD.而AM/ CD且AMABCD，NE/AM且NEAM，四邊形AMNE為平行四邊形.MN

5、/AE，PA平面ABCD，PACD.又ABCD為矩形，CDAD，而ADPAA，CD平面PAD，CDAE，MNCD.【題后思考】實(shí)質(zhì)上本題的證明方法很多，希望同學(xué)們認(rèn)真思考一下；垂直問(wèn)題的證明，其一般規(guī)律是“由已知想性質(zhì)，由求證想判定”，也就是說(shuō)，根據(jù)已知條件去思考有關(guān)的性質(zhì)定理；根據(jù)要求證的結(jié)論去思考有關(guān)的判定定理，往往需要將分析與綜合的方法結(jié)合起來(lái)使用.例3.如圖，過(guò)S點(diǎn)引三條長(zhǎng)度相等但不共面的線段SA、SB、SC，且求證：平面ABC平面BSC.題意分析：可證二面角的平面角為90.證明過(guò)程：如圖，取BC的中點(diǎn)D，由SASBSC，ABACSA.連接SD、AD，則ADBC，SDBC是二面角ABC

6、S的平面角.又，令SA1，則SD，AD，.平面ABC平面BSC.【題后思考】利用定義證明兩平面垂直的基本思路是作出二面角的平面角，再計(jì)算二面角的平面角為90，此法較適合由等腰或等邊三角形構(gòu)成的幾何體.知識(shí)點(diǎn)二：線面垂直、面面垂直的性質(zhì)及應(yīng)用例4.已知如圖，直線，直線，且，平面.求證：AB/c.題意分析：線面垂直線線垂直線面垂直線線平行證明過(guò)程：過(guò)點(diǎn)B引直線確定的平面設(shè)為，因?yàn)?，?因?yàn)橐驗(yàn)橛煽傻?【題后思考】利用線面垂直的性質(zhì)定理把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直.例5.如圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，ABCD是且邊長(zhǎng)為的菱形，側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G為

7、AD邊的中點(diǎn)，求證：BG平面PAD.題意分析：解答本題可先由面面垂直得線面垂直，再進(jìn)一步得出線線垂直.證明過(guò)程：連接PG，由題知PAD為正三角形，G是AD的中點(diǎn)，AD，又平面PAD平面ABCD，平面ABCD，BG，又四邊形ABCD是菱形且，ABD是正三角形，平面PAD.【題后思考】若所給題目中有面面垂直的條件，一般要利用面面垂直的性質(zhì)定理將其轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直.應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理時(shí)應(yīng)注意三點(diǎn)：（1）兩個(gè)平面垂直是前提；（2）直線必須在其中的一個(gè)平面內(nèi)；（3）直線必須垂直于它們的交線.知識(shí)點(diǎn)三：二面角大小的求解例6.如圖，在四面體ABCD中，ABD、ACD、DBC、ABC都全等，且AB

8、AC，BC2，求以BC為棱，以面BCD和面BCA為面的二面角的大小.題意分析：二面角的兩個(gè)面都是以棱BC為底邊的等腰三角形，因此可考慮利用底邊的中線也是底邊的高線作二面角的平面角.解題過(guò)程：取BC的中點(diǎn)E，連接AE、DE.ABAC，.又ABDACD，ABAC，DBDC.為二面角ABCD的平面角.又ABCDBC且ABC是以BC為底的等腰三角形，DBC也是以BC為底的等腰三角形.ABACDBDC.又ABDBDC，ADBC2.在RtBDE中，同理.在AED中，AEDE，AD2.以BC為棱，以面BCD和面BCA為面的二面角的大小為90.【題后思考】求二面角的步驟是：（1）作出二面角的平面角；（2）證明

9、該角的兩邊都與棱垂直；（3）指出該角就是二面角的平面角；（4）計(jì)算該角的大小.簡(jiǎn)記為作、證、指、算.1.無(wú)論是線面垂直還是面面垂直，都源自于線與線的垂直，這種轉(zhuǎn)化為“低維”垂直的思想，在解題時(shí)非常重要，在處理實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，可先從題設(shè)條件入手，分析已有的垂直關(guān)系，再?gòu)慕Y(jié)論入手分析所要證明的垂直關(guān)系，從而架起已知與未知之間的“橋梁”.2.在線面垂直和面面垂直的判定定理中，有一些非常重要的限制條件，如“兩條相交直線”，“一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線”等，這既為證明指明了方向，同時(shí)又有很強(qiáng)的制約性，所以使用這些定理時(shí)，一定要注意體現(xiàn)邏輯推理的規(guī)范性.3.空間中的直線與直線垂直、直線與平面垂直、

10、平面與平面垂直三者之間可以相互轉(zhuǎn)化，每一種垂直的判定都是從某種垂直開(kāi)始轉(zhuǎn)向另一種垂直，最終達(dá)到目的，其轉(zhuǎn)化關(guān)系為線線垂直線面垂直面面垂直（答題時(shí)間：60分鐘）一、選擇題1.若表示直線，表示平面，則下列條件中，能使的是（）A. B.C. D.2.已知與是兩條不同的直線，直線平面，若直線，則；若，則；若，則；若，則.上述判斷正確的是（）A. B. C. D.*3.在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，高為4，則點(diǎn)A1到截面AB1D1的距離是（）A.B.C.D.4.在直二面角l中，直線a，直線b，a、b與l斜交，則（）A.a不和b垂直，但可能abB.a可能和b垂直，也可能abC

11、.a不和b垂直，a也不和b平行D.a不和b平行，但可能ab*5.如圖，ABCDA1B1C1D1為正方體，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.BD平面CB1D1 B.AC1BDC.AC1平面CB1D1 D.異面直線AD與CB1所成的角為60 6.設(shè)a、b為兩條直線，、為兩個(gè)平面，下列四個(gè)命題中，正確的命題是（）A.若與所成的角相等，則B.若，則C.若，則D.若，則二、填空題7.在直四棱柱中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅螡M足條件_時(shí)，有（注：填上你認(rèn)為正確的一個(gè)條件即可，不必考慮所有可能的情況）*8.設(shè)三棱錐的頂點(diǎn)在平面上的射影是，給出以下命題：若，則是的垂心若兩兩互相垂直，則是的垂心若，是的中點(diǎn)，則若，則是的外心其中正確命

12、題的序號(hào)是9.設(shè)X、Y、Z是空間不同的直線或平面，對(duì)下列四種情形，使“XZ且YZXY”為真命題的是_（填序號(hào)）.X、Y、Z是直線X、Y是直線，Z是平面Z是直線，X、Y是平面X、Y、Z是平面三、解答題*10.如圖，正三棱柱ABCA1B1C1的各棱長(zhǎng)都相等，D、E分別是CC1和AB1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上且滿足BFFC13.（1）若M為AB中點(diǎn)，求證：BB1平面EFM；（2）求證：EFBC；11.如圖，已知平行六面體ABCDA1B1C1D1的底面是菱形且C1CBC1CDBCD，求證：C1CBD；*12.如圖，P 是ABC所在平面外一點(diǎn)，且PA平面ABC.若O和Q分別是ABC和PBC的垂心，試證：OQ

13、平面PBC.一、選擇題1.2.3.解析：如圖，設(shè)A1C1B1D1O1，B1D1A1O1，B1D1AA1，B1D1平面AA1O1，故平面AA1O1面AB1D1，交線為AO1，在面AA1O1內(nèi)過(guò)A1作A1HAO1于點(diǎn)H，則易知A1H的長(zhǎng)即是點(diǎn)A1到截面AB1D1的距離，在RtA1O1A中，A1O1，AO1，由A1O1A1AhAO1，可得A1H.答案：C4.解析：如圖，在l上任取一點(diǎn)P，過(guò)P分別在、內(nèi)作aa，bb，在a上任取一點(diǎn)A，過(guò)A作ACl，垂足為C，則AC，過(guò)C作CBb交b于B，連AB，由三垂線定理知ABb，APB為直角三角形，故APB為銳角.答案：C5.D6.D二、填空題7.8.9.解析：是

14、假命題，直線X、Y、Z位于正方體的三條共點(diǎn)棱時(shí)為反例，是真命題，是假命題，平面X、Y、Z位于正方體的三個(gè)共點(diǎn)側(cè)面時(shí)為反例.答案：三、解答題10.（1）證明：連結(jié)EM、MF，M、E分別是正三棱柱的棱AB和AB1的中點(diǎn)，BB1ME，又BB1平面EFM，BB1平面EFM.（2）證明：取BC的中點(diǎn)N，連結(jié)AN，由正三棱柱得：ANBC，又BFFC13，F(xiàn)是BN的中點(diǎn)，故MFAN，MFBC，而B(niǎo)CBB1，BB1ME.MEBC，由于MFMEM，BC平面EFM，又EF平面EFM，BCEF.11.證明：連結(jié)A1C1、AC，AC和BD交于點(diǎn)O，連結(jié)C1O，四邊形ABCD是菱形，ACBD，BCCD又BCC1DCC1，C1C是公共邊，C1BCC1DC，C1BC1DDOOB，C1OBD，又ACBD，ACC1OOBD平面AC1，又C1C平面A