附錄矩陣分析

1、一、內(nèi)容提要本章以矩陣序列的極限理論為基礎(chǔ)的，介紹矩陣分析的一些基本內(nèi)容, 包括矩陣序列的極限運(yùn)算，矩陣序列和矩陣級(jí)數(shù)的收斂定理, 矩陣冪級(jí)數(shù)的極限運(yùn)算和矩陣函數(shù)，矩陣的微積分等. 由于采用相似的極限理論為基礎(chǔ), 因此本章內(nèi)容與通常的(函)數(shù)列, (函)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù), 冪級(jí)數(shù)具有許多類似的結(jié)果, 建議讀者在學(xué)習(xí)本章時(shí), 與高等數(shù)學(xué)中相應(yīng)的內(nèi)容進(jìn)行對(duì)照, 比較異同, 加深理解. (一) 矩陣序列于矩陣級(jí)數(shù)1矩陣序列定義 設(shè)為中的矩陣序列， 其中如果對(duì)i=1,2,m, j=1,2,n均成立，則稱矩陣序列收斂，而稱為矩陣序列的極限，記為.不收斂的矩陣序列稱為發(fā)散的.從定義可知, 判斷矩陣序列收斂需要判斷

2、所有矩陣元素組成的個(gè)數(shù)列同時(shí)收斂. 下面的定理告訴我們可以通過矩陣范數(shù)的收斂(一個(gè)數(shù)列)來判斷矩陣序列的收斂.定理 設(shè)為中的矩陣序列，為中的一種矩陣范數(shù)，則矩陣序列收斂于矩陣的充要條件是收斂于零從線性空間的觀點(diǎn)來看, 一個(gè)矩陣可以看作是它所在的矩陣空間中的一個(gè)“點(diǎn)”，因此一個(gè)矩陣序列的收斂問題就可以看成是該矩陣空間中的“點(diǎn)列”的收斂問題，就可以用各點(diǎn)到極限點(diǎn)的距離（范數(shù)）來描述收斂。矩陣序列收斂有如下性質(zhì):（1） 設(shè)和為中的矩陣序列，并且，則 （2） 設(shè)和分別為和中的矩陣序列，并且，則 （3） 設(shè)，中的矩陣序列，并且和均為可逆的，則 （4） 設(shè)，的充分必要條件是若對(duì)上的某種范數(shù)，有，則.（5）

3、 設(shè)，并且，則.2. 矩陣級(jí)數(shù)定義2設(shè)為中的矩陣序列, 稱為由矩陣序列構(gòu)成的矩陣級(jí)數(shù)，記為定義3 記，稱之為矩陣級(jí)數(shù)的前k收斂且，則稱矩陣級(jí)數(shù)收斂，而矩陣稱為矩陣級(jí)數(shù)的和矩陣，記為不收斂的矩陣級(jí)數(shù)稱為發(fā)散的.定義4 設(shè)為中的矩陣級(jí)數(shù)，其中如果對(duì)任意的1im, 1jn均為絕對(duì)收斂的，則稱矩陣級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.對(duì)比矩陣級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂的定義以及高等數(shù)學(xué)中的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂的定義可以得出矩陣級(jí)數(shù)收斂的一些性質(zhì).（1） 若矩陣級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂，則它一定是收斂的，并且任意調(diào)換各項(xiàng)的順序所得到的級(jí)數(shù)還是收斂的，且級(jí)數(shù)和不變.（2） 矩陣級(jí)數(shù)為絕對(duì)收斂的充分必要條件是正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂.（3） 設(shè)為中的絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)，為

4、中的絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)，并且, , 則·按任何方式排列得到的級(jí)數(shù)也是絕對(duì)收斂的，且和均為（4） 設(shè)和為給定矩陣，如果型矩陣級(jí)數(shù)收斂（或絕對(duì)收斂），則矩陣級(jí)數(shù)也收斂（或絕對(duì)收斂），且有等式 (二) 矩陣冪級(jí)數(shù)定理設(shè)為收斂半徑為的冪級(jí)數(shù)，為階方陣，則（） 時(shí)，矩陣冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；（） 時(shí)，矩陣冪級(jí)數(shù)發(fā)散.推論 設(shè)為收斂半徑為的冪級(jí)數(shù)，為階方陣，如果的特征值均落在收斂圓內(nèi)，即，其中為的任意特征值，則矩陣冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；若有某個(gè)使得，則冪級(jí)數(shù)發(fā)散根據(jù)冪級(jí)數(shù)性質(zhì)，冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)是收斂圓內(nèi)的解析函數(shù)（任意次可微，在任一點(diǎn)處均可展成Taylor級(jí)數(shù)），而一個(gè)圓內(nèi)解析的函數(shù)可以展開成收斂的冪級(jí)數(shù)于是，如

5、果是 內(nèi)的解析函數(shù)，其展成絕對(duì)收斂的冪級(jí)數(shù)為，則當(dāng)矩陣的特征值落在收斂圓內(nèi)時(shí)，定義并稱之為關(guān)于解析函數(shù)的矩陣函數(shù).常用的一些矩陣函數(shù)有:；;.對(duì)于一般的矩陣函數(shù),可以利用矩陣的Jordan分解寫出其具體表達(dá)式.定理 設(shè)為收斂半徑為的冪級(jí)數(shù)，為階方陣，為其Jordan分解，當(dāng)?shù)奶卣髦稻湓谑諗繄A內(nèi)時(shí)，即，其中為的任意特征值，則矩陣冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂， 并且和矩陣為其中的定義為.另外，還可以通過待定系數(shù)的方法來求矩陣函數(shù)，避免求矩陣的Jordan分解。由矩陣的Hamilton-Caylay定理，對(duì)于階方陣，假設(shè)其特征多項(xiàng)式為，則有。另一方面，對(duì)于解析函數(shù)，它可以表示為收斂半徑為的冪級(jí)數(shù)，于是得到，其中

6、是一個(gè)比次數(shù)低的多項(xiàng)式，記為，則當(dāng)時(shí)，。這樣，只需計(jì)算次矩陣多項(xiàng)式即可得到矩陣函數(shù)。而的系數(shù)可以通過待定系數(shù)的方法得到，假設(shè)是的重特征根（），注意到. 根據(jù)這個(gè)方程，得到一個(gè)以為未知數(shù)的線性方程組。事實(shí)上，這即為以為插值節(jié)點(diǎn)的Hermite插值，因此方程組有唯一解。進(jìn)一步，如果得到的最小多項(xiàng)式，則類似有，而且，此時(shí)的余式的次數(shù)可以更低，使得計(jì)算更為簡單。對(duì)于函數(shù)滿足的恒等式，只要能保證等式兩邊的矩陣函數(shù)同時(shí)為收斂的矩陣冪級(jí)數(shù)，則可以得到相應(yīng)的矩陣函數(shù)恒等式，例如可以證明（），總有（1）（2）， ，（），且，則（1）（2）若，則， (三) 函數(shù)矩陣的微積分1 相對(duì)于數(shù)量變量的微分和積分定義5 如

7、果矩陣的每一個(gè)元素在上均為變量的可微函數(shù)，則稱可微，且導(dǎo)數(shù)定義為定理4 設(shè)、是可進(jìn)行運(yùn)算的兩個(gè)可微矩陣，則以下的運(yùn)算規(guī)則成立 （1）； （2）； （3），其中為任意常數(shù).(4) 當(dāng)關(guān)于可微時(shí)，有(5) 當(dāng)為可微矩陣時(shí)，有由于仍是函數(shù)矩陣，如果它仍是可導(dǎo)函數(shù)矩陣，則可定義其二階導(dǎo)數(shù)。不難給出函數(shù)矩陣的高階導(dǎo)數(shù)：定理5 設(shè)n階方陣與t無關(guān)，則有 （1） ； （2） ； （3） 定義6 如果矩陣的每一個(gè)元素都是區(qū)間t0,t1上的可積函數(shù)，則定義在區(qū)間t0,t1上的積分為容易驗(yàn)證如下運(yùn)算法則成立（1）， ；（2），其中為常數(shù)矩陣；，其中為常數(shù)矩陣.（3）當(dāng)在上連續(xù)可微時(shí)，對(duì)任意，有（4）當(dāng)在上連續(xù)可微

8、時(shí)，對(duì)任意，有2 相對(duì)于矩陣變量的微分定義7 設(shè)，函數(shù))為元的多元函數(shù)，且都存在，定義對(duì)矩陣的導(dǎo)數(shù)為 3 矩陣函數(shù)在微分方程中的應(yīng)用定理對(duì)于一階線性常系數(shù)齊次微分方程組的定解問題：有唯一解對(duì)于一階線性常系數(shù)非齊次微分方程組的定解問題 這里是已知向量函數(shù)，和意義同前其解為 .二 典型例題分析例1. 證明當(dāng), 則有,反之不對(duì).證明 由矩陣序列收斂等價(jià)于依范數(shù)收斂，和矩陣范數(shù)的三角不等式即證明本例. 反之, 若取矩陣序列, , 顯然, 但與的極限并不相等, 分別為和. 注:當(dāng)矩陣序列收斂的時(shí)候，他們的“長度”（范數(shù)）組成的數(shù)列顯然收斂到極限矩陣的“長度”（范數(shù)），反之不對(duì)。顯然，位于“范數(shù)單位圓”上

9、的所有矩陣組成的序列對(duì)應(yīng)的范數(shù)數(shù)列收斂，但這些矩陣可以不收斂。只有當(dāng)極限為零矩陣時(shí)，才有 當(dāng)且僅當(dāng).例2證明矩陣序列的收斂性保持線性運(yùn)算和乘積運(yùn)算，或者矩陣序列的極限運(yùn)算可與矩陣序列的加法，數(shù)乘和乘積運(yùn)算交換。即，設(shè)，并且，則 （1），（2）.證法一. 由矩陣序列收斂的定義為其元素組成的個(gè)數(shù)列同時(shí)收斂，與數(shù)列的收斂性保持線性運(yùn)算和乘積運(yùn)算即可證明。事實(shí)上，矩陣的線性運(yùn)算（加法和數(shù)乘）和乘積運(yùn)算都是其元素之間的有限次線性運(yùn)算和乘積運(yùn)算，因而可以與極限運(yùn)算交換。證法二. 由矩陣序列收斂等價(jià)于依范數(shù)收斂證明。（） 由已知條件知，則和皆有界，于是當(dāng)時(shí)，上式極限為0，因此.（） 同理由當(dāng)時(shí)，上式極限為0

10、，因此.例3討論矩陣序列收斂性保持求逆運(yùn)算的條件。即設(shè)可逆矩陣收斂且，則逆矩陣序列何時(shí)收斂？解. 為了判斷逆矩陣序列的收斂性，注意到，為的伴隨矩陣，和都是由的元素的有限次加法和乘法得到，因此矩陣序列和非零數(shù)列都收斂，且極限分別為和。而數(shù)列收斂的條件還需要分母的極限不為零，所以收斂的條件為。這說明，當(dāng)可逆矩陣序列收斂且極限矩陣也可逆時(shí)，極限運(yùn)算和求逆運(yùn)算可以交換，.事實(shí)上，的極限矩陣可逆是收斂的充要條件。反之，若和都收斂，則由極限運(yùn)算與乘積運(yùn)算的可交換性，即得.上述條件不成立的反例為，取，則. 雖然收斂，, 但不可逆，因此發(fā)散。例4若階方陣的任意一種范數(shù)，則. 反之，若，則存在的某種相容的矩陣范

11、數(shù)使得.證明 由的充要條件為。若的任意一種范數(shù)，則，因此. 反之，若，則，于是對(duì)于，一定存在一種相容的矩陣范數(shù)使得.注：為使，只需在某種范數(shù)意義下小于1即可，反之，若并不能說明在任何范數(shù)意義下都小于1，但至少在一種范數(shù)意義下小于1。例5證明：階方陣組成的矩陣級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，當(dāng)且僅當(dāng)存在一種矩陣范數(shù)，使得.證法一：充分性. 由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法，且收斂知收斂，也即絕對(duì)收斂。必要性. 絕對(duì)收斂，則它一定收斂，于是它的一般項(xiàng)的極限，由上例知存在一種矩陣范數(shù)，使得.證法二：由絕對(duì)收斂的充要條件為，和矩陣范數(shù)與譜半徑的關(guān)系即得。例6. 設(shè)，證明絕對(duì)收斂。證明 由或者由，則絕對(duì)收斂。注：利用矩陣范數(shù)判斷的

12、收斂性，只需找到一種范數(shù)使得即可。此例中若采用，則并不能判斷的收斂性。例7 討論下列矩陣冪級(jí)數(shù)的斂散性，（1），（2），（3）解 題中三個(gè)矩陣冪級(jí)數(shù)是將冪級(jí)數(shù)中的變量分別替換為，和而得到。由，知冪級(jí)數(shù)的收斂半徑。因?yàn)?，故矩陣冪?jí)數(shù)（1）絕對(duì)收斂；由于，故矩陣冪級(jí)數(shù)（2）也絕對(duì)收斂；再由 而，則矩陣冪級(jí)數(shù)（3）發(fā)散。例8證明，總有（1）（2）證明 由它們的收斂半徑都為, , 上述矩陣冪級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂, 因此對(duì)也成立. 則有同理有 與上式聯(lián)立即可得到例9 證明，且, 則（1）（2）（3）特別, 若，則證明 (1) 由于, 則同理可證 取 則, 因此(2) 同理可證例10 設(shè)，求.解法一，根據(jù)矩陣的

13、Jordan分解解法二，利用矩陣特征多項(xiàng)式，設(shè)由 得 于是例11 設(shè)和是可進(jìn)行運(yùn)算的兩個(gè)可微矩陣，證明以下運(yùn)算規(guī)則成立（1）；（2）當(dāng)關(guān)于可微時(shí)，有 ；（3）當(dāng)為可微矩陣時(shí)，有.（4）若在區(qū)間上連續(xù)，則有（NL公式）.證明 由函數(shù)矩陣的導(dǎo)數(shù)定義（1）.（2）.（） 由，兩邊求導(dǎo)得到，于是,特別，當(dāng)時(shí)，.（4）由函數(shù)矩陣的積分定義.例12 設(shè)階方陣與無關(guān)，則有（1）；（2）；（3）.證明 (1) 由絕對(duì)收斂的矩陣冪級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)可導(dǎo)，.(2) 由, 和上式，.同理可得（3）.例13 已知，求.解法一 由，于是.解法二 .注 由此例的解法二看出，如果不可交換，則。如果，則有, 為正整數(shù)。例14 已知，

14、求。解 此例為例10的反問題，注意到，而，因此.例15 求.解法一 由定義.解法二 由NL公式，.例16 設(shè)，其中，求.解 設(shè)，則，由，于是.例 17 設(shè)，且，令，求.解設(shè)，的代數(shù)余子式記為，由，而且與無關(guān)，于是，則，其中是的伴隨矩陣。此外，由于，故例18 求定解問題，其中，解 該問題的解為 先計(jì)算，利用矩陣的特征多項(xiàng)式，設(shè)由 得 于是，則有，對(duì)變量從到進(jìn)行積分得. 因此.三 習(xí) 題1選擇、填空和判斷正誤題(1)設(shè)，則矩陣冪級(jí)數(shù)(A) 發(fā)散； (B) 收斂但不絕對(duì)收斂；(C) 絕對(duì)收斂； (D) 無法判定斂散性(2)設(shè)，則.(A); (B); (C) .(3)當(dāng)時(shí)，矩陣冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.(4)

15、,要使，應(yīng)滿足.(5) 設(shè)階矩陣不可逆，則亦不可逆.( )(6) 設(shè)是階Householder矩陣，則=.(7) 設(shè)階矩陣可逆，則=.2設(shè)，證明必收斂，并求.3設(shè)，其中且，判斷矩陣序列的收斂性.4證明時(shí)，5證明 ，其中表示階方陣的對(duì)角元的和.6證明 7已知，求8. 已知， 試求：9. 求微分方程組 ，求滿足初始條件的解.10. 求常微分方程組 滿足條件的解.11設(shè)12設(shè)四 習(xí)題解答1 (1) (C). 通過判斷通常冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為, 且由題意, 可知矩陣冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.(2) (A) 已經(jīng)是特征值為0下三角Jordan標(biāo)準(zhǔn)型, 由可得也為下三角陣. 若要利用上三角Jordan標(biāo)準(zhǔn)型, 只需注

16、意到相似變換矩陣, 可得到相同的結(jié)果.(3) 由冪級(jí)數(shù)的收斂半徑, 可知當(dāng)矩陣的譜半徑時(shí),相應(yīng)的矩陣冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.(4) 由的充分必要條件是和本題可知應(yīng)滿足.(5) 錯(cuò)誤. 反例不可逆, 但可逆.(6) 由Householder矩陣的性質(zhì)知矩陣的特征值為-1和1 (重), 且1的幾何重?cái)?shù)為, 因此的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型, 則.(7) 利用冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)可逐項(xiàng)求積的性質(zhì), .2. 解: 由和冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為1可知矩陣冪級(jí)數(shù)收斂, 且.3.解:由與具有相同的非零特征值, 因此, 則.4. 證法一：由，則，由矩陣級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂的性質(zhì)，等式兩邊同時(shí)左乘，右乘得到，上式右端為兩個(gè)絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)乘積，經(jīng)過整理即得.證法二：由冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為1知，當(dāng)時(shí)，矩陣冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，且可逆. 則，即得本例結(jié)論.證法三：當(dāng)時(shí)，冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，于是可以逐項(xiàng)求導(dǎo)得，它的收斂半徑仍為1。則當(dāng)時(shí)，矩陣冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，兩邊同時(shí)左乘即得.5. 證明: 設(shè)矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型為, 且所有特征值為, 即為的對(duì)角元, 則, , 其中為上三角矩陣且對(duì)角元為, 故.6. 證明: 由和, 兩式相乘即得.7. 解: 由矩陣已經(jīng)是Jo