應(yīng)用插值FFT算法精確估計(jì)電網(wǎng)諧波參數(shù)

1、第37卷第1期2003年1月浙江大學(xué)學(xué)報(bào)(工學(xué)版Jou rnal of Zhejiang U n iversity (Engineering Science V o l .37N o .1Jan .2003收稿日期:2002204215.作者簡介:祁才君(1964-,男,江蘇宜興人,副教授,從事數(shù)字信號處理研究.E 2m ail :qcj zju .edu .cn應(yīng)用插值FFT 算法精確估計(jì)電網(wǎng)諧波參數(shù)祁才君,陳隆道,王小海(浙江大學(xué)電氣工程學(xué)院,浙江杭州310027摘要:深入研究了插值快速傅里葉變換(FFT 算法在電網(wǎng)諧波參數(shù)估計(jì)中的應(yīng)用.加窗寬度和窗函數(shù)的類型是影響插值FFT 算法分析精度

2、的主要因素.通過對常用窗函數(shù)的特性分析,得出了加窗寬度關(guān)于分析精度的估計(jì)公式.電網(wǎng)信號的基波幅值遠(yuǎn)大于各次諧波幅值,分析表明,H ann ing 窗比較適合分析電網(wǎng)信號,同時(shí)給出了基于H ann ing 窗的電網(wǎng)諧波幅值、頻率和相位的顯式計(jì)算公式.仿真結(jié)果證明,應(yīng)用上述分析結(jié)果,電網(wǎng)諧波幅度、頻率和相位的估計(jì)達(dá)到了預(yù)期的分析精度.關(guān)鍵詞:諧波分析;電力系統(tǒng);電能質(zhì)量;快速傅里葉變換中圖分類號:TM 933文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A 文章編號:10082973X (20030120112205H igh -accuracy esti m ation of electr ical harm on ic par

3、am eters by usi ng the i n terpolated FFT algor ith mQ I Cai 2jun ,CH EN L ong 2dao ,W AN G X iao 2hai(Colleg e of E lectrica l E ng ineering ,Z hej iang U n iversity ,H ang z hou 310027,Ch ina Abstract :A tho rough research on the h igh 2accu racy esti m ati on fo r the electrical harm on ic p aram

4、 eters by u sing the In terpo lated FFT algo rithm w as conducted .T he w indow size and the w indow typ e are the m ain facto rs influencing the analysis p recisi on .B ased on the featu res of the comm on ly u sed w indow s ,a fo rm u la fo r the analysis p recisi on in relati on to the w indow si

5、ze is given .Studies show that acco rding to the pow er signals characteristic that the fundam en tal am p litude is m uch h igher than that of the harm on ics H ann ing W indow is m o re su itab le fo r the analysis of electrical signals and the com p u ting fo rm u la fo r the harm on ic p aram et

6、er esti m ati on are given as w ell .Si m u lati on resu lt dem on strates that by u sing the resu lts above the esti m ati on of harm on ic frequencies ,am p litudes and p hases reaches the exp ected p recisi on .Key words :harm on ic analysis ;pow er system ;pow er quality ;FFT隨著電子技術(shù)和電力電子器件的發(fā)展,電力電

7、子設(shè)備的應(yīng)用越來越廣泛,這些非線性電力設(shè)備對電網(wǎng)產(chǎn)生了很大的污染.同時(shí),以微處理器為核心的各種控制設(shè)備、自動化設(shè)備對電能質(zhì)量十分敏感,瞬間的電能惡化,有可能導(dǎo)致程序混亂,從而產(chǎn)生重大的質(zhì)量事故.顯然電網(wǎng)參數(shù)的快速、準(zhǔn)確監(jiān)測對電能質(zhì)量的治理具有十分重要的意義.本文將重點(diǎn)討論電網(wǎng)諧波(包括基波參數(shù)的精確估計(jì)方法.最直接、有效的電網(wǎng)諧波參數(shù)的分析方法是應(yīng)用FFT 算法.但是,應(yīng)用FFT 算法分析周期信號頻譜的前提是要求對信號進(jìn)行同步采樣,即要求采樣長度與信號周期成整數(shù)倍關(guān)系1.但是,實(shí)際電網(wǎng)頻率通?？倳陬~定頻率(我國為50H z 附近波動.為了保證同步采樣,方法之一是在采集系統(tǒng)中加入鎖相同步技術(shù),

8、由硬件實(shí)現(xiàn)同步采樣2;另一種方法是首先通過均勻(大部分為非同步采樣,然后由一定的算法解決非同步問題39.前一種方法的優(yōu)點(diǎn)是信號處理比較簡單.但由于鎖相環(huán)響應(yīng)速度較慢,不能及時(shí)跟蹤信號頻率的快速變化,從而不能實(shí)現(xiàn)真正意義上的同步采樣.后一種方法具有一定的通用性,文3提出了采樣數(shù)據(jù)的軟件同步化算法,該算法首先由過零檢測法9估計(jì)信號基頻,然后通過插值對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行同步化處理,并作FFT分析,算法的精度對基頻估計(jì)的準(zhǔn)確性有很大的依賴性,同時(shí)由于插值過程帶來的非線性,導(dǎo)致諧波的相位估計(jì)誤差過大.文7,8提出了插值FFT算法,有效地改善了對諧波幅值,尤其是諧波相位的估計(jì)精度.文9進(jìn)一步討論了各種升余弦窗在

9、插值FFT算法中對減少泄漏的作用.本文在詳細(xì)分析插值FFT算法的基礎(chǔ)上,提出了窗函數(shù)的選擇準(zhǔn)則,給出了加窗寬度的估計(jì)公式.同時(shí)根據(jù)電網(wǎng)波形的特點(diǎn),對諧波參數(shù)的計(jì)算公式作了修正,得到了更為精確的諧波參數(shù)估計(jì).1插值FFT算法1.1正弦(余弦信號非同步采樣時(shí)的頻譜分析為了分析方便,將簡諧信號表示成如下的解析形式:x a(t=A1e j(2f1t+1.(1式中:A1為信號幅值;f1為信號頻率;1為信號初相.簡諧信號經(jīng)采樣并矩形截?cái)嗪蟮男蛄袨閤(n=x a(nT sw R(n,n=0,1,N-1.(2式中:x a(nT s為x a(t的無限長采樣序列;T s為采樣周期;w R(n為矩形窗;N為采樣點(diǎn)數(shù)

10、.由此可得采樣頻率f s和采樣長度t p為f s=1 T s,t p=NT s.(3設(shè)x a(nT s的D T FT為X a(e j,w R(n的D T FT為W R(e j,則不難得到:X a(e j=2(-1e j1,1=2f1 f s,W R(e j=W R(e-j N-12,W R(=sin(N 2N sin( 2.(4根據(jù)Fou rier變換的性質(zhì),可以得到簡諧信號采樣序列x(n的D T FT值X(e j為X(e j=12+-X a(e jW Re j(-d=W R(-1 e j1-N-12.(5當(dāng)進(jìn)一步應(yīng)用D FT算法計(jì)算x(n的頻譜時(shí),相當(dāng)于在數(shù)字頻域以2 N的間隔(對應(yīng)的模擬頻

11、域間隔為1 t p對式(5中的X(e j進(jìn)行抽樣.設(shè)模擬頻率f1對應(yīng)的數(shù)字頻率為(k1+12 N,且k1為正整數(shù),01<1,則:( k1+1=Nf1f s.(6當(dāng)1=0和1=0.5時(shí),x(n的D T FT幅頻特性和D FT的幅頻特性分別如圖1所示.圖1同步和非同步采樣后的離散頻譜比較F ig.1Single frequency signals spectrum samp led bysynch ron izati on and asynch ron is m圖1中的連續(xù)曲線為D T FT的結(jié)果,符號“”為D FT的抽樣結(jié)果.由此可以得到以下結(jié)論:(1簡諧信號的理想頻譜為單位沖激,而采樣序

12、列的D T FT譜與窗函數(shù)的譜一致,因而產(chǎn)生了泄漏;(2當(dāng)同步采樣時(shí),在各離散點(diǎn)上的D FT譜值與信號的理想譜值完全一致;(3當(dāng)非同步采樣時(shí),在各離散點(diǎn)上的D FT譜值與信號的理想譜值不一致,因而會產(chǎn)生泄漏.1.2正弦(余弦信號的插值FFT算法實(shí)際采樣過程中,非同步采樣很難避免,從而采樣序列的頻譜會產(chǎn)生泄漏.若原始信號為正弦(余弦信號,則不論采樣同步與否,可以對信號的D FT 算法結(jié)果作相應(yīng)的處理,最終得到信號的真實(shí)頻譜.設(shè)圖1中信號的離散頻譜在離散頻點(diǎn)k1和k1+1處出現(xiàn)譜峰,由式(5可得:X(e j =k12N=W R(k1-(k1+12N= sin(1 sin(1 N N.(7311第1

13、期祁才君,等:應(yīng)用插值FFT算法精確估計(jì)電網(wǎng)諧波參數(shù)X(e j =(k1+12N=W R(k1+1-(k1+12N=sin(1 sin(1-1 N N.(8在實(shí)際應(yīng)用中采樣點(diǎn)數(shù)N一般較大,同時(shí)考慮 1<1,則sin(1 sin(1 N=sin(1 1 N+O(N-3sin(1 (1 N.(9同理sin(1 sin(1-1 N=sin(1 (1-1 N+O(N-3sin(1 (1-1 N.(10進(jìn)一步,設(shè)1= X(e j =(k1+12N X(e j =k12N,則由式(9和式(10可推得1=11+1.(11由此可得,信號的實(shí)際頻率估計(jì)為f1=(k1+1 t p.(12由式(9或式(10(

14、建議用幅值大的式子可推得信號的幅值A(chǔ)1和初相1的估計(jì)分別為A1= X(e j =k12N(1 sin(1,(131=ang le( X(e j =k12N-1(N-1 N.(14 2電網(wǎng)諧波參數(shù)的估計(jì)2.1FFT算法應(yīng)用中的泄漏問題實(shí)際電網(wǎng)信號往往并不是簡諧信號,它具有如下特點(diǎn):含有豐富的諧波分量;諧波分量的幅值一般僅為基波分量幅值的百分之幾,或更小.當(dāng)對電網(wǎng)信號進(jìn)行非同步采樣時(shí),基波分量的頻譜泄漏將嚴(yán)重影響2次、3次等諧波分量的頻譜,從而導(dǎo)致諧波測量產(chǎn)生很大的誤差.若相鄰諧波之間的幅值相差過大,幅值大的諧波分量同樣有可能淹沒幅值小的諧波分量.若用矩形窗對信號進(jìn)行截?cái)?主瓣對旁瓣的泄漏最大達(dá)-

15、13dB,對遠(yuǎn)隔210次旁瓣的泄漏也有約-30dB1.假定2次諧波的幅值為基波的1.0%,即兩者幅度相差-40dB.當(dāng)采樣長度為一個(gè)信號周期時(shí),若直接應(yīng)用D FT算法進(jìn)行頻譜分析,則基波對2次諧波的泄漏高達(dá)-13dB,完全淹沒了-40 dB的實(shí)際諧波信號.為了減少D FT算法應(yīng)用過程的頻譜泄漏,可以改用其他窗函數(shù)對信號進(jìn)行截?cái)嗷蛟黾硬蓸娱L度.典型的窗函數(shù)為各種升余弦窗1.其中,H ann ing窗的旁瓣最大泄漏為-31dB,對遠(yuǎn)隔旁瓣以-6dB 個(gè)的速度下降.H amm ing窗旁瓣最大泄漏為-42 dB,對遠(yuǎn)隔旁瓣以-2dB 個(gè)的速度下降.但是,這兩種窗的主瓣半寬為矩形窗的2倍,對鄰近一次諧

16、波的泄漏十分嚴(yán)重,為了避免這個(gè)缺點(diǎn),采樣長度至少必須是信號周期的2倍以上.B lackm an窗旁瓣最大泄漏為-58dB,對遠(yuǎn)隔旁瓣以-6dB 個(gè)的速度下降.但是,該窗的主瓣半寬為矩形窗的3倍,對鄰近一、二次諧波的泄漏十分嚴(yán)重,為了避免這個(gè)缺點(diǎn),采樣長度至少必須是信號周期的3倍以上.設(shè)窗函數(shù)的主瓣半寬為M2 2,旁瓣最大泄漏為A1(d B,衰減速度為D(dB 個(gè),電網(wǎng)諧波之間的幅度分瓣率要求為A(dB,則采樣長度至少需要d個(gè)信號周期以上,且:d=(A-A1 D+M+0.5.(15從各種窗函數(shù)的特性看,B lackm an窗雖然旁瓣衰減大,但其計(jì)算相對復(fù)雜.H amm ing窗的旁瓣衰減略比H

17、ann ing窗大,但隨旁瓣增加其衰減速度很慢.對電網(wǎng)信號的分析,若選用H ann ing窗,不但計(jì)算量較小,同時(shí)可以通過調(diào)節(jié)采樣長度達(dá)到減少諧波間泄漏的目的.2.2應(yīng)用Hann i ng窗的插值FFT算法在滿足采樣定理的前提下,同時(shí)按式(15選擇H ann ing窗截?cái)鄷r(shí)的采樣長度,則可以忽略電網(wǎng)各次諧波之間的頻譜泄漏影響.利用D FT算法的線性性,可用插值FFT算法分別分析各次諧波的參數(shù).H ann ing 窗的窗函數(shù)表達(dá)式和D T FT結(jié)果為w H(n=0.5-0.5co s2nN-1R N(n,(16 n=0,1,N-1.W H(e j=W H(e-j(N-1 N,W H(=0.5W

18、R(+0.25 W R-2N-1+W R+2N-1.(17為不失一般性,設(shè)第m次諧波信號為x m(t=A me j(2f m t+m.并設(shè)諧波信號采樣序列對應(yīng)的離散頻點(diǎn)為(k m +m=Nf mf s,其中k m為整數(shù);0m<1;f m是諧波頻率;t p為采樣長度.與矩形截?cái)鄷r(shí)的推導(dǎo)相類似,設(shè)加窗后采樣序列頻譜為X H(e j,可得X H(e j =km2NA msin(m2m(1-2m.(18X H(e j =(km+12NA msin(m2m(1-m(2-m.(19411浙江大學(xué)學(xué)報(bào)(工學(xué)版第37卷設(shè)m = X H (e j =(k m +12NXH(e j =k m 2N,則可得m

19、 =2m -11+m.(20由式(17和式(20可得諧波幅值、頻率、相位的估計(jì)式分別為A m = X H (e j =k m 2N 2m (1-2m sin (m ,(21f m =(k m +m t p ,(22m =ang le X H (e j =k m 2N -m (N -1 N .(23對電網(wǎng)波形而言,基波分量遠(yuǎn)大于各次諧波,諧波對基波的泄漏影響很小,而基波對諧波的泄漏影響很大,故基波頻率的估計(jì)精度要遠(yuǎn)高于諧波頻率的估計(jì).式(20式(22主要用作基波頻率估計(jì),諧波頻率的估計(jì)可作如下修正:f m =m f 1,(24m =m (k 1+1-k m .(253仿真結(jié)果及分析為了驗(yàn)證上述算

20、法的準(zhǔn)確性,假定電網(wǎng)波形可表達(dá)為x (t =9m =1Amco s (2m f 1t +m .(26其中:基波頻率設(shè)為49.5H z ,基波最大幅值為310V ,初相為5°.各次諧波的幅值按實(shí)際電網(wǎng)信號的特點(diǎn)設(shè)置,各諧波相位任意設(shè)定,具體參數(shù)如表1所示.表1諧波參數(shù)的設(shè)置T ab .1H armon ic param eters setup參數(shù)諧波 次23456789含有率 %0.53.00.45.00.32.00.21.0初相(°10.020.0120.0150.0210.0240.0300.0330.0由于最大的頻譜泄漏是基波對2次諧波的影響,而表1中基波和2次諧波的幅

21、值相差-46dB ,故若希望將泄漏限止在0.1%(即-60dB 以內(nèi),則A 至少為106dB .由式(15可得H ann ing 窗截?cái)鄷r(shí)的窗函數(shù)長度至少為d =15個(gè)信號周期.若采樣點(diǎn)數(shù)N 設(shè)定為1024,采樣頻率取f s =2500H z ,則以電網(wǎng)額定頻率(50H z 為基準(zhǔn),實(shí)際采樣信號的周期個(gè)數(shù)達(dá)約20個(gè),符合限制泄漏要求.基于普通FFT 算法和基于H ann ing 窗的插值FFT 算法的電網(wǎng)參數(shù)估計(jì)結(jié)果如表2和表3所示.表2頻率參數(shù)的估計(jì)結(jié)果T ab .2T he resu lt of the pow er frequency esti m ati on 諧波次設(shè)定值普通FFT

22、算法估計(jì)值估計(jì)偏差 %插值FFT 算法估計(jì)值估計(jì)偏差 %149.551.273.57649.5010.002299.0102.543.57699.0020.0023148.5151.371.933148.5030.0024198.0202.642.343198.0040.0025247.5249.020.614247.5050.0026297.0297.850.286297.0060.0027346.5349.120.756346.5070.0028396.0397.950.492396.0080.0029445.5449.220.835445.5090.002表3幅值參數(shù)的估計(jì)結(jié)果T ab

23、.3T he resu lt of the amp litude esti m ati on 諧波 次設(shè)定值普通FFT 算法估計(jì)值估計(jì)偏差 %插值FFT 算法估計(jì)值估計(jì)偏差 %1310.0272.4-12.15309.8-0.071821.555.034225.31.5580.534239.309.3210.2269.3140.150341.241.80545.541.239-0.0576515.512.75-17.7215.510.031260.931.32041.970.9320.166576.206.4724.3826.2280.452580.621.245100.90.620-0.00

24、3193.102.252-27.353.1060.1904表4相位參數(shù)的估計(jì)結(jié)果T ab .4T he resu lt of the phase esti m ati on 諧波 次設(shè)定值普通FFT 算法估計(jì)值估計(jì)偏差 %插值FFT 算法估計(jì)值估計(jì)偏差 %15.0174.233844.919-1.6143210.0299.228929.476-5.2381320.088.52342.619.74-1.08194120.0100.5-16.27119.6-0.29885150.084.79-43.47149.6-0.27016210.0199.4-5.070209.5-0.25367240.07

25、7.87-67.56239.4-0.23588300.0283.5-5.517299.3-0.21769330.04.658-98.59329.3-0.2206分析表2至表4的結(jié)果,可得出以下結(jié)論:(1基于插值FFT 算法的諧波參數(shù)分析精度明顯優(yōu)于基于普通FFT 算法的諧波參數(shù)分析精度;(2基于普通FFT 算法的諧波頻率(尤其是基頻、諧波幅值分析精度達(dá)不到電能質(zhì)量的國家標(biāo)準(zhǔn),而基于插值FFT 算法的頻率分析精度可以控制在0.01%以內(nèi),幅值分析精度可控制在0.5%以內(nèi),完全可以滿足國家標(biāo)準(zhǔn);(3普通FFT 算法的各次諧波相位參數(shù)估計(jì)幾乎沒有參考價(jià)值,而插值FFT 算法的相位估計(jì)精度可達(dá)5%;(

26、4與文8相比,按公式(25修正后,參數(shù)估計(jì)精度有了進(jìn)一步地提高.511第1期祁才君,等:應(yīng)用插值FFT 算法精確估計(jì)電網(wǎng)諧波參數(shù)4結(jié)語本文提出的基于H ann ing窗的插值FFT算法具有較高的諧波參數(shù)估計(jì)精度.隨著采樣長度的增加,估計(jì)精度還可進(jìn)一步提高,并且對幅值、相位、頻率的估計(jì)都有比較簡單的計(jì)算公式.顯然該方法同樣適合于其他周期信號或多諧信號的參數(shù)估計(jì).本算法的不足之處是分析窗的寬度一般要達(dá)十幾個(gè)信號周期,參數(shù)估計(jì)的實(shí)時(shí)性不夠理想.另外,當(dāng)信號中包含噪聲時(shí),如何提高參數(shù)估計(jì)準(zhǔn)確度和精度還值得作進(jìn)一步的研究.參考文獻(xiàn)(References:1M ITRA S K.D ig ita l si

27、gna l processi ng-a co m puter-ba sed approachM.Beijing:T singhua U n iversity P ress,2001.446-460.2周箭,陳隆道.新型電力參數(shù)測試與分析J.中國電力,1998,31(11:18-20,36.ZHOU J ian,CH EN L ong2dao.A new pow er param eter testing and analyzing systemJ.Electr ic Power,1998, 31(11:18-20,36.3陳隆道,錢照明,張圣訓(xùn).周期域分析中非同步取樣數(shù)據(jù)的同步化J.電子學(xué)報(bào),

28、2001,29(7:950-953.CH EN L ong2dao,Q I AN Zhao2m ing,ZHAN G Sheng2 xun.Synch ron izati on algo rithm fo r asynch ronou s sam2p led data set in peri od dom ain signal analysisJ.ACTA Electron ica SIN I CA,2001,29(7:950-953.4戴先中.進(jìn)一步提高準(zhǔn)同步采樣諧波分析準(zhǔn)確度的兩種方法J.儀器儀表學(xué)報(bào),1992,13(4:350-357.DA I X ian2zhong.M ethods

29、fo r i m p roving the accu racies of quasi2synch ronou s samp ling harmon ics analysisJ.Ch i nese Journa l of Sc ien tif ic I n stru m en t,1992,13(4: 350-357.5張建秋,沈毅.非整周期采樣算法的誤差分析J.哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),1995,27(5:99-103.ZHAN G J ian2qiu,SH EN G Y i.T he erro r analysis of the non2in teger2peri od samp ling algo rithmJ.Journa l of Harbi n I n stitute of Technology,1995,27(5:99-103.6JA I N V K,COLL I N SW L,DAV IS D