行列式的計(jì)算技巧——畢業(yè)論文

1、行列式的計(jì)算方法姓 名：_ * _院 別：_數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院_專(zhuān) 業(yè)：_數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)_學(xué)號(hào)：_0000000000_指導(dǎo)教師：_ * _2016年 5月 1日目錄摘 要1關(guān)鍵詞1Abstract1Key words10 引言21 基本理論22 行列式的計(jì)算技巧42.1 化三角形法42.2 遞推法72.3降階法82.4數(shù)學(xué)歸納法92.5 范德蒙德行列式法102.6 拉普拉斯定理法132.7 拆行(列)法152.8 構(gòu)造法16參考文獻(xiàn)17致 謝17行列式的計(jì)算方法摘 要行列式是代數(shù)學(xué)重要研究工具,并且在物理,經(jīng)濟(jì),金融等各學(xué)科當(dāng)中都著有廣泛的應(yīng)用.本文針對(duì)行列式的特點(diǎn),利用行列式的性質(zhì),主要討

2、論了行列式的計(jì)算方法,例如：三角形行列式法，遞推法，降階法，范德蒙德行列式法等，并且根據(jù)每一種計(jì)算方法的特點(diǎn)，通過(guò)典型的例題進(jìn)行論述.關(guān)鍵詞行列式;計(jì)算技巧;范德蒙行列式;上三角形The determinant calculation techniquesAbstractDeterminant is an important tool in algebra research, which has a wide range of applications in physics, economic, financial and so on. This paper according to the

3、character and quality of determinant, discuss the calculation method to determinant, for instance: the triangle method, the recursion method, the order reduction method, Vandermonde determinant method ect, basis on the character of every calculation method, discuss things through typical examples.Ke

4、y wordsThe determinant;Computing skills;Vandermonde determinant;The triangle0 引言行列式描述的是在維空間中,一個(gè)線性變換形成的平行多面體的體積,被廣泛應(yīng)用于解線性方程組,計(jì)算微積分,矩陣運(yùn)算等.行列式最初是伴隨著方程組的求解發(fā)展起來(lái)的.發(fā)展至今,行列式已成為代數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容,在數(shù)學(xué)理論上有著十分重要的地位.行列式的概念最早是在十七世紀(jì)日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和在一部叫做解伏題之法的著作中提出來(lái)的.十八世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家范德蒙德首先把行列式作為專(zhuān)門(mén)理論獨(dú)立于線性方程組之外進(jìn)行研究.而十九世紀(jì),是行列式理論形成和發(fā)展的重要時(shí)期.18

5、15年,柯西在他的一篇論文當(dāng)中給出了關(guān)于行列式的第一個(gè)系統(tǒng)的、并且?guī)缀跏墙奶幚?當(dāng)中主要結(jié)果之一則是是行列式的乘法定理.除此之外,他還是把行列式的元素排成方陣的第一人,并且采用雙足標(biāo)記法.他不僅引進(jìn)了行列式特征方程的專(zhuān)業(yè)術(shù)語(yǔ);還給出了相似行列式概念.本文主要討論行列式解題方法和解題思路.本文重點(diǎn)討論了8種較為典型的計(jì)算行列式的解題技巧,并在給每一種計(jì)算技巧都提供了典型的例題,幫助理解相對(duì)應(yīng)的技巧方法.本文分成兩個(gè)部分,第一部分重點(diǎn)敘述了行列式的定義,基本性質(zhì)以及矩陣的定義.第二部分論述了計(jì)算行列式的方法以及應(yīng)用. 以便可以更有針對(duì)性的根據(jù)行列式的特點(diǎn)選擇出比較便捷的計(jì)算方法,從而更快的計(jì)算

6、出行列式,并且在物理,經(jīng)濟(jì),金融等各學(xué)科當(dāng)中能夠取得更有效的學(xué)習(xí).1 基本理論1.1定義1級(jí)行列式等于所有取自不同行不同列的個(gè)元素的乘積(1)的代數(shù)和,這里是的一個(gè)排列,每一項(xiàng)(1)都按下列規(guī)則帶有符號(hào): 當(dāng)是偶排列時(shí),(1)符號(hào)為正;當(dāng)是奇排列時(shí),(1)帶有負(fù)號(hào).此定義又可寫(xiě)成這里表示對(duì)所有級(jí)排列求和.1.2級(jí)行列式的基本性質(zhì)性質(zhì)1 行列互換,行列式不變.性質(zhì)2 行列式中任意兩個(gè)行或列互換,行列式值改變符號(hào).性質(zhì)3 某個(gè)數(shù)乘以行列式的某一行或者某一列,則可以將該數(shù)提取到行列式外.性質(zhì)4 如果某一行(列)是兩組數(shù)相加的和,那么此行列式就等于兩個(gè)行列式的和,而這兩個(gè)行列式除去這一行(列)之外,剩

7、下的元素全部對(duì)應(yīng)相同.性質(zhì)5 如果行列式中有兩行或者兩列的對(duì)應(yīng)元素相同,則此行列式的值為零.性質(zhì)6 如果在行列式中任意兩行(列)對(duì)應(yīng)成比例,則此行列式的值為零.性質(zhì)7 把一行(列)的倍數(shù)加到另一行(列),則此行列式值符號(hào)相反.2 行列式的計(jì)算技巧行列式是線性代數(shù)中的一個(gè)重要研究對(duì)象,并且是線性代數(shù)中最基本,最常用的工具,因此研究行列式計(jì)算技巧實(shí)是為了更好的去了解行列式計(jì)算過(guò)程中的一些方法,為更快更好更方便的解答行列式的計(jì)算提供方法.2.1 化三角形法定義2 由個(gè)數(shù)排列成的行列的表稱(chēng)為一個(gè)矩陣.定義3數(shù)域上矩陣的初等行(列)變換是指以下三種變換:,(2)交換矩陣的兩行(列);(3)以一個(gè)數(shù)乘矩陣

8、某一行(列)的所有元素;(4)把矩陣的某一行(列)所有元素的倍加到另一行(列)對(duì)應(yīng)的元素上去;矩陣的初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱(chēng)為矩陣的初等變換.定義4 數(shù)域上主對(duì)角線以下或以上的全體元素都是零的階方陣，稱(chēng)為三角矩陣.定義5主對(duì)角線以外的元素全為零的行列式稱(chēng)為對(duì)角行行列式.且對(duì)角線以下(上)的元素全為零的行列式叫做上(下)三角形行列式.命題1上三角形行列式等于主對(duì)角線上元素的乘積,即證明我們首先觀察形如(1)式的項(xiàng)有哪一些不為零，然后再來(lái)決定他們的符號(hào).項(xiàng)的一般形式為,在行列式中第行的元素除去以外全為零,因之,只要考慮的那些項(xiàng).在第行中,除去外，其余的項(xiàng)全為零. 因之這兩個(gè)可能.由于,所以就不能

9、等于了,從而.這樣逐步推上去，不難看出,在展開(kāi)式中,除去這一項(xiàng)外，其余項(xiàng)全是0.而這一項(xiàng)的列指標(biāo)所成的排列是一個(gè)偶排列，所以這一項(xiàng)帶正號(hào).結(jié)論得證.如果把一個(gè)行列式經(jīng)過(guò)適當(dāng)變換之后化為三角形,那么其結(jié)果即為行列式主對(duì)角線上元素的乘積.化三角形法是把原行列式化成上(下)三角形行列式或者對(duì)角形行列式計(jì)算的方法.一般來(lái)說(shuō),每個(gè)行列式都可以利用行列式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為三角形行列式.但是對(duì)于階數(shù)高的行列式,在通常情況下,計(jì)算往往會(huì)比較繁瑣.因此,在許多的情況下,總是首先利用行列式的性質(zhì)將原行列式作為某種保值變形,然后再將其化為三角形行列式. 任意一個(gè)階方陣總可以經(jīng)過(guò)行列初等變換化成上(下)三角形矩陣(證明見(jiàn)高

10、等代數(shù)).從而把行列式寫(xiě)成上(下)三角形行列式與一個(gè)數(shù)乘積的形式,其步驟如下:如果行列式的第一行第一個(gè)元素為零,首先可將第一行(列)與其他任一行(列)進(jìn)行交換,使得第一行第一個(gè)元素化為不為零,然后把第一行的合適的倍數(shù)加到其他各行,使得第一列除了第一個(gè)元素之外其他元素全部為零,然后再用相同的方法處理除去第一行第一列余下的低階行列式,依次化下去,直至化為上三角形行列式,此時(shí)行列式的值就等于主對(duì)角線上所有元素的乘積.例1計(jì)算下列行列式.解例2計(jì)算行列式.解2.2 遞推法定義5 利用行列式性質(zhì),把一個(gè)n階行列式表示成具有相同的結(jié)較低階行列式的現(xiàn)行關(guān)系式,這種關(guān)系式被稱(chēng)為遞推關(guān)系式.遞推法是根據(jù)行列式構(gòu)

11、造特點(diǎn),建立與(或者)遞推關(guān)系式,逐步推導(dǎo)下去,求出的值.也可以找到與,的遞推關(guān)系,然后利用,求出的值.若階行列式滿足關(guān)系式.則作特征方程.(5)若,則特征方程有兩個(gè)不等根,則.(6)若,則特征方程有重根,則在(5),(6)中,均為待定系數(shù),可令求出.例3 計(jì)算行列式.解 按第一行展開(kāi),得由此遞推,得出.(7)因?yàn)橹信c對(duì)稱(chēng),則有.(8)當(dāng),由(7),(8)得.當(dāng),2.3 降階法定義6 在行列式中劃去元素所在的第行與列,剩下的個(gè)元素按原來(lái)的排法構(gòu)成一個(gè)級(jí)的行列式稱(chēng)為的余子式,記為.而稱(chēng)為的代數(shù)余子式.推論1設(shè)為階行列式,則.或.其中為中的元素的代數(shù)余子式.降階法亦稱(chēng)為按行(列)展開(kāi)法.即按照某一

12、行(列)展開(kāi)行列式,即可以使得行列式降一階.依次進(jìn)行下去,直至化為二階或者三階行列式,可直接計(jì)算結(jié)果.如果行列式中的零元素比較多,我們則可以按照某一行(列)展開(kāi)計(jì)算.若是行列式比較復(fù)雜,為使得計(jì)算比較簡(jiǎn)單,我們可以根據(jù)行列式的特點(diǎn),首先利用行列式的性質(zhì)將行列式進(jìn)行化簡(jiǎn),使得行列式中有較多的零元素出現(xiàn),然后再展開(kāi).例4計(jì)算下列行列式.解.2.4數(shù)學(xué)歸納法定義7 當(dāng)一個(gè)命題滿足下面兩個(gè)步驟 證明當(dāng)取第一個(gè)值時(shí)命題成立; 假設(shè)時(shí)命題成立,證明時(shí)命題也成立.我們就可以斷定這個(gè)命題對(duì)于從開(kāi)始所有的正整數(shù)都成立.這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法.數(shù)學(xué)歸納法是一種數(shù)學(xué)證明方法,典型地用于確定一個(gè)表達(dá)式在 所有自然

13、數(shù)范圍內(nèi)是成立的或者用于確定一個(gè)其他的形式在一個(gè)無(wú)窮序列是成立的.最簡(jiǎn)單和常見(jiàn)的數(shù)學(xué)歸納法證明方法是證明當(dāng)屬于所有自然數(shù)時(shí)一個(gè)表達(dá)式成,這種方法是由下面兩步組成 遞推的基礎(chǔ)：證明當(dāng)時(shí)表達(dá)式成立.遞推的依據(jù)：證明如果當(dāng)時(shí)成立,那么當(dāng)時(shí)同樣成立.(遞推的依據(jù)中的“如果”被定義為歸納假設(shè).不要把整個(gè)第二步稱(chēng)為歸納假設(shè)).當(dāng)與為同型的行列式,我們一般考慮用數(shù)學(xué)歸納法求解.一般是先利用不完全歸納法找出行列式的猜想值,然后再利用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想.因此,數(shù)學(xué)歸納法我們一般可以用來(lái)證明行列式等式.因?yàn)榻o定了一個(gè)行列式,我們要猜想行列式的值是不容易的,所以是先給定行列式的值,然后再去證明.例5 證明下列等式.

14、證明 當(dāng)時(shí),命題成立.假定對(duì)于階行列式命題也成立,即.則按照第一列展開(kāi).所以對(duì)于階行列式命題也成立.得證.2.5 范德蒙德行列式法范德蒙德,Vandermonde,法國(guó)數(shù)學(xué)家,17351796.除了把行列式應(yīng)用在線性方程組之外,范德蒙德也是第一個(gè)行列式本身的表達(dá)式以及性質(zhì)進(jìn)行研究的數(shù)學(xué)家,他的主要貢獻(xiàn)之一就是用方陣?yán)镙^小的方陣行列式以表示的行列式方法.這種方法和其他一些相類(lèi)似的方法,在簡(jiǎn)化大型的行列式計(jì)算方面是有著極其方便的效果的.正因?yàn)槿绱?范德蒙德被認(rèn)為行列式理論的奠基人.根據(jù)行列式的特點(diǎn),利用行列式的性質(zhì)適當(dāng)?shù)淖冃?把所求行列式化為已知的或較為簡(jiǎn)單的形式.范德蒙行列式就是其中的一種.范德

15、蒙德行列式的每一列都是以不同整指數(shù)的某個(gè)數(shù)形式出現(xiàn)的,并且具有很強(qiáng)的規(guī)律性.冪次數(shù)的變化趨勢(shì)呈現(xiàn)出由到遞增或者遞減的這一結(jié)構(gòu)特點(diǎn),從而把所給的行列式化為范德蒙行列式,然后進(jìn)行簡(jiǎn)化計(jì)算.定義8行列式(9)稱(chēng)為級(jí)的范德蒙德行列式.定理1 對(duì)任意的級(jí)范德蒙德行列式等于這個(gè)數(shù)所有可能的差的乘積.即.證明 首先對(duì)作歸納法.當(dāng)時(shí),結(jié)果是正確的.設(shè)對(duì)于級(jí)的范德蒙德行列式結(jié)論成立.在(9)中,第行減去第行的倍,第行減去第行的倍.也就是由上而下依次地從每一行減去它上一行的倍,有后面這行列式是級(jí)的范德蒙德行列式,根據(jù)歸納法假設(shè),它等于所有可能差的乘積;而包含的差全在前面出現(xiàn)了.故結(jié)論對(duì)級(jí)范德蒙德行列式也成立.推論

16、2范德蒙德行列式為零的充分必要條件是這個(gè)數(shù)中至少有兩個(gè)相等.利用范德蒙德行列式的結(jié)論計(jì)算并不復(fù)雜,難的是如何將給定的行列式化成范式的標(biāo)準(zhǔn)形式.所給行列式各列(或各行) 都是某元素的不同次冪,但其冪次數(shù)的排列與范德蒙德行列式不完全相同,需利用行列式性質(zhì)(如提取公因式,調(diào)換各行(或各列) 的次序,拆項(xiàng)等).例6計(jì)算階行列式.解 顯然此行列式與范德蒙行列式是相似的,但還是有所不同,所以要首先利用行列式的性質(zhì)把它化成范德蒙行列式的類(lèi)型.首先將行列式的第行依次與第行,行,行,行兌換,再將得到的新的行列式的第行與第行,行,行進(jìn)行對(duì)換,直至最后將第行與第行進(jìn)行對(duì)換,如此,共經(jīng)過(guò)次行對(duì)換之后,得到上面式子右端

17、的行列式已經(jīng)是范德蒙行列式,所以利用范德蒙行列式的結(jié)果得.例7 計(jì)算行列式解 由,可得2.6 拉普拉斯定理法定義9在一個(gè)級(jí)行列式中任意選定行列.位于這些行和列的交點(diǎn)上的個(gè)元素按照原來(lái)的次序組成一個(gè)級(jí)行列式,稱(chēng)為行列式的一個(gè)級(jí)子式.當(dāng)時(shí),在中劃去這行列后余下的元素按照原來(lái)的次序組成的級(jí)行列式稱(chēng)為級(jí)子式的余子式.定理2(拉普拉斯定理)設(shè)在行列式中任意取定了個(gè)行,由這行元素組成的一切級(jí)子式與它們的代數(shù)余子式的乘積的和等于行列式.(證明見(jiàn)高等代數(shù)).拉普拉斯定理,在計(jì)算行列式的時(shí)候,主要應(yīng)用的是的情形,很少用到一般的形式,不過(guò)當(dāng)行列式的里面零元素很多時(shí),我們運(yùn)用一般情形的拉普拉斯定理,則會(huì)給我們的行列

18、式計(jì)算帶來(lái)很大的方便.拉普拉斯定理四種特殊情形 (i).(ii) .(iii)(iv).證明(i)在左端的行列式中,取定前行,組成的階式子中只有前列不為.根據(jù)拉普拉斯定理得 同樣的方法可以證明(ii).證明(iii) 在左端的行列式中,取定前行,組成的階式子中只有后列不為.根據(jù)拉普拉斯定理得.由于與奇偶性相同,所以 同理可證(iv).例8計(jì)算階行列式解2.7 拆行(列)法定義10 由行列式拆項(xiàng)性質(zhì)知,將已知行列式拆成若干個(gè)行列式之積,計(jì)算其值,再得原行列式值,此法稱(chēng)為拆行(列)法.由行列式的性質(zhì)4知道,若行列式的某行(列)的元素都是兩個(gè)數(shù)之和,則該行列式可拆成兩個(gè)行列式的和,這兩個(gè)行列式的某行(列)分別以這兩數(shù)之一為該行(列)的元素,而其他各行(列)的元素與原行列式的對(duì)應(yīng)行(列)相同,利用行列式的這一性質(zhì),有時(shí)較容易求得行列式的值.例9設(shè)n階行列式且滿足對(duì)任意數(shù),求階行列式.解.,且,有.因,也為反對(duì)稱(chēng)矩陣.又為的元素.故.從而知.2.8 用構(gòu)造法解行列式構(gòu)造法是運(yùn)用數(shù)學(xué)的基本思想經(jīng)過(guò)認(rèn)真的觀察,深入的思考,移聯(lián)想,確思維,妙地、合理地構(gòu)造出某些元素,種模式,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為新元素的問(wèn)題,轉(zhuǎn)化為新元素之間的一種新的組織形式,