高3數(shù)學(xué)12復(fù)數(shù)的向量表示及復(fù)數(shù)的三角形式

1、基礎(chǔ)概念一、基礎(chǔ)知識(shí)概述由于解方程的需要，我們引進(jìn)了復(fù)數(shù)和及其四則運(yùn)算，并建立了復(fù)數(shù)集和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)構(gòu)成的集合之間的一一對(duì)立，我們還學(xué)過向量及其運(yùn)算，在些基礎(chǔ)上，我們現(xiàn)在一起來學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的向量表示、復(fù)數(shù)的三角形式及其運(yùn)算、復(fù)數(shù)的指數(shù)形式、復(fù)數(shù)的運(yùn)算的幾何意義二、重點(diǎn)知識(shí)歸納及講解1、復(fù)數(shù)的向量表示：復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)的向量集合（為原點(diǎn)）一一對(duì)應(yīng)說明：（1）零向量表示復(fù)數(shù)0，相等的向量表示同一個(gè)復(fù)數(shù)；（2）向量的模就是復(fù)數(shù)（、）的模，即2、復(fù)數(shù)的三角形式及運(yùn)算：（1）復(fù)數(shù)的幅角：設(shè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)向量，以軸的正半軸為始邊，向量所在的射線（起點(diǎn)為）為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)的輻角，記作，其中適合的輻角的值，叫做

2、輻角的主值，記作說明：不等于零的復(fù)數(shù)的輻角有無限多個(gè)值，這些值中的任意兩個(gè)相差的整數(shù)倍（2）復(fù)數(shù)的三角形式：叫做復(fù)數(shù)的三角形式，其中，說明：任何一個(gè)復(fù)數(shù)均可表示成的形式其中為的模，為的一個(gè)輻角（3）復(fù)數(shù)的三角形式的運(yùn)算：設(shè)，則 1）乘法：； 2）除法：； 3）乘方：； 4）開方：3、復(fù)數(shù)的幾何意義：（1）復(fù)數(shù)模的幾何意義：，即點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，一般地即點(diǎn)到點(diǎn)的距離（2）復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義：圖中給出的平方四邊形，可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義即，（3）復(fù)數(shù)乘、除法的幾何意義：設(shè)，則的幾何意義是把的對(duì)應(yīng)向量按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角（如果，就要把按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角，再把它的模變?yōu)樵瓉淼谋?/p>

3、，所得向量即表示積，如圖，的幾何意義是把的對(duì)應(yīng)向量按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角（如果，就要把按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角，再把它的模變?yōu)樵瓉淼谋?，所得的向量即表示?、復(fù)數(shù)的指數(shù)形式：把模為1，輻角為（以弧度為單位）的復(fù)數(shù)用記號(hào)表示，即，由此任何一個(gè)復(fù)數(shù)就可以表示為形式，我們把這一表達(dá)式叫做復(fù)數(shù)的指數(shù)形式3、 難點(diǎn)知識(shí)剖析復(fù)數(shù)的幾何意義的理解是本講的難點(diǎn)由于復(fù)數(shù)集與平面點(diǎn)集間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，使得復(fù)數(shù)問題常常可用幾何方法來解決，幾何問題常?？捎脧?fù)數(shù)語言來表述，要善于運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的解題思想來思考，分析這類問題，找出最簡(jiǎn)捷的解題方法復(fù)數(shù)的模可以幫助我們表示出一些常用曲線方程如圓：；線段中垂線：；橢圓：；雙曲

4、線：典型例題例1、已知，且，復(fù)數(shù)（1）求的三角形式；（2）若，求的取值范圍解析：（1）， 1）當(dāng)時(shí)，則， 而，此時(shí)三角形式為 2）當(dāng)時(shí)，則， 而，此時(shí)三角形式為（2）當(dāng)， 而，；當(dāng)， 而，評(píng)析：化含三角函數(shù)關(guān)系的復(fù)數(shù)為三角形式時(shí)，應(yīng)把握概念，準(zhǔn)確運(yùn)用有關(guān)三角公式例2、設(shè)，且，（1）存在實(shí)數(shù)、，使成立，求、；（2）若，求解析：（1）依題意可設(shè)，則，且， 即，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，（2）若，則，即，例3、復(fù)數(shù)與滿足：，且，問：當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值和最小值？并求出這一最大值和這一最小值解析： 設(shè)，則，且，即，（顯然），即當(dāng)時(shí)，解得或；當(dāng)時(shí)，即或時(shí)，而時(shí)，例4、設(shè)復(fù)數(shù)、滿足：，其中，若、在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

5、分別是、，求的面積解析：由復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)乘法的幾何意義，點(diǎn)在單位圓上，設(shè)其輻角主值為，點(diǎn)是，其輻角主值是，點(diǎn)是將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角后對(duì)應(yīng)向量的終點(diǎn)，同理向量則是由向量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，再將模伸長(zhǎng)為模的3倍而得到如圖所示：例5、已知復(fù)數(shù)滿足，求復(fù)數(shù)的模的最大、小值及對(duì)應(yīng)的解析：方法一：、， 而當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；而當(dāng)時(shí)，方法二： 設(shè)，且當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，高考中對(duì)復(fù)數(shù)的考查多集中在復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算，對(duì)復(fù)數(shù)的三角形式的考查不多有時(shí)可能采取一題多法，即設(shè)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式和復(fù)數(shù)的三角形式均可解，只不過運(yùn)用三角形式解答時(shí)較方便基礎(chǔ)練習(xí)1、 選擇題1、復(fù)數(shù)的輻角主值是（）A BCD2、設(shè)，給出復(fù)數(shù)：，其中能確定為復(fù)數(shù)的

6、三角形式的有（）A3個(gè)B2個(gè)C1個(gè)D0個(gè)3、已知，（，），則（）A BCD4、若，則復(fù)數(shù)的輻角主值是（）A BCD5、若，則（）2、 BC0D16、設(shè)，若，則最小的正整數(shù)（）A1B2C5D77、在復(fù)平面內(nèi)，把復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是（）4、 BCD8、是兩個(gè)非零復(fù)數(shù)，且分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)、，則的充要條件是（）A B的實(shí)部為0 CD的虛部為09、復(fù)數(shù)滿足條件：，則的最大值是（）A BCD10、設(shè)（、），且，則復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是（）A 圓B拋物線C橢圓D雙曲線2、 綜合題11、已知和均為復(fù)數(shù)，且，為純虛數(shù)，求和的取值范圍12、設(shè)復(fù)數(shù)、分別對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的、點(diǎn)，、的輻角分別為、，且的面積為定