高一數(shù)學(xué)必修四平面向量知識(shí)與題型歸類

1、一向量有關(guān)概念：1、向量的概念：既有大小又有方向的量，2、零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，記作：，注意零向量的方向不確定；3、單位向量：長(zhǎng)度為一個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量；的單位向量：與同方向且長(zhǎng)度等于1的向量，記作并且；與共線的單位向量：與方向相同或相反且長(zhǎng)度等于1的向量，可表示為。4、相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量；5、平行向量（也叫共線向量）：向量的基線平行或重合，稱為向量共線或平行，記作：；即共線的向量方向相同或相反；規(guī)定：零向量和任意向量平行。6、相反向量：長(zhǎng)度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是。二向量的表示方法：1幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如

2、，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后；2符號(hào)表示法：用一個(gè)小寫的英文字母來表示，如，等；3坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量，為基底，則平面內(nèi)的任一向量可表示為，稱為向量的坐標(biāo)，叫做向量的坐標(biāo)表示。如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同。三向量的運(yùn)算：1幾何運(yùn)算：（1）向量加法運(yùn)算：三角形法則的特點(diǎn)：首尾相連 平行四邊形法則的特點(diǎn)：共起點(diǎn)（2）向量的減法：三角形法則的特點(diǎn)：共起點(diǎn)，方向指向被減向量2、向量的數(shù)乘運(yùn)算：實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作，它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：當(dāng)>0時(shí)，的方向與的方向相同，當(dāng)<0時(shí)，的方向與的方向相反，當(dāng)0時(shí)，3、

3、向量的坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，則：向量的加減法運(yùn)算：，。實(shí)數(shù)與向量的積：。若，則，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)。向量的模：四平面向量的數(shù)量積：1兩個(gè)向量的夾角：對(duì)于非零向量，作，稱為向量，的夾角，記作，當(dāng)0時(shí)，同向，當(dāng)時(shí)，反向，當(dāng)時(shí)，垂直。2平面向量的數(shù)量積：如果兩個(gè)非零向量，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積或點(diǎn)積），記作：，即。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0，注意數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不再是一個(gè)向量。3在方向上的正射影的數(shù)量為，它是一個(gè)實(shí)數(shù)，但不一定大于0。4向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個(gè)非零向量，其夾角為，則：；當(dāng)，同向時(shí)，特別地，；當(dāng)與反向時(shí)，；。為銳角

4、0，且不同向，；為鈍角0，且不反向；高一數(shù)學(xué)必修四平面向量基礎(chǔ)知識(shí)與題型歸類（2）5、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)兩個(gè)非零向量，則若，則，或設(shè)，則設(shè)、都是非零向量，是與的夾角，則五向量的運(yùn)算律：1交換律：，；2結(jié)合律：，；3分配律：，。提醒：（1）向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別：對(duì)于一個(gè)向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊平方、兩邊同乘以一個(gè)實(shí)數(shù)，兩邊同時(shí)取模，兩邊同乘以一個(gè)向量，但不能兩邊同除以一個(gè)向量，即兩邊不能約去一個(gè)向量，切記兩向量不能相除(相約)；（2）向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即。六、向量共線與垂直的條件平行向量基本定理：若，反之，若（其中是唯一的實(shí)數(shù)）向量共線的坐標(biāo)表示：設(shè)兩個(gè)向量

5、，三點(diǎn)共線：不重合的三點(diǎn)共線存在實(shí)數(shù)使得且.向量垂直的條件：.七、平面向量的基本定理：如果和是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使。其中不共線向量叫做一組基底，記作。八、向量中一些常用的結(jié)論：（1）一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運(yùn)用；（2），特別地，前面等號(hào)成立的條件是同向或有；后面等號(hào)成立的條件是反向或有（3）在中，重心：中線的交點(diǎn)且重心將中線分成2：1兩段； 外心：中垂線的交點(diǎn)；垂心：高線的交點(diǎn)； 內(nèi)心：角平分線的交點(diǎn)。為的重心；為的垂心；;若向量=,則點(diǎn)P的軌跡一定過的內(nèi)心；高一數(shù)學(xué)必修四平面向量基礎(chǔ)知識(shí)與題型歸類（3）經(jīng)典題型：

6、一、 基本概念判斷正誤：（1）共線向量就是在同一條直線上的向量。（2）若兩個(gè)向量不相等，則它們的終點(diǎn)不可能是同一點(diǎn)。（3）與已知向量共線的單位向量是唯一的。（4）若與不共線，則與都不是零向量。（5）若A、B、C、D四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，則。（6）若，則A、B、C、D四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形。（7）若，則。（8）若，則。（9）若，則（10）（11）若，則。（12）若，則。（13）若，則或（14）若，則。（15）二、向量的運(yùn)算1、化簡(jiǎn)：_；_；_2、若O是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則的形狀為_3、若為的邊的中點(diǎn)，所在平面內(nèi)有一點(diǎn)，滿足，設(shè)，則的值為_4、若點(diǎn)是的外心，且，則的內(nèi)角為_5、若M（-3，-2），

7、N（6，-1），且，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_三、向量的夾角與數(shù)量積1、ABC中，則_2、已知，與的夾角為，則等于_3、已知平面向量滿足且，則的夾角為4、已知是兩個(gè)非零向量，且，則的夾角為_5、 設(shè)非零向量、滿足，則6、已知的夾角，則向量在向量上的正射影的數(shù)量為7、已知，且，則向量在向量上的正射影的數(shù)量為_8、已知與為互相垂直的單位向量，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_9、如圖，等邊中，求10、如圖，在矩形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，若，求的值高一數(shù)學(xué)必修四平面向量基礎(chǔ)知識(shí)與題型歸類（4）四、向量共線與垂直1、若向量，當(dāng)_時(shí)與共線且方向相同2、已知不共線，如果，那么k=,與的方向關(guān)系是3、，4、設(shè)，

8、則k_時(shí)，A,B,C共線5、以原點(diǎn)O和A(4,2)為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形OAB，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是_ 6、平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn),若點(diǎn)滿足,其中且,則點(diǎn)的軌跡方程是_7、若，求的單位向量；與共線的單位向量；與垂直的單位向量。8、已知=（1，2），=（-3，2），若k+2與2-4共線，求實(shí)數(shù)k的值；若k+2與2-4垂直，求實(shí)數(shù)k的值五、向量的模1、設(shè)向量，滿足及，則的值為2、 設(shè)向量，滿足3、已知向量?jī)蓛芍g的夾角為60°，其模長(zhǎng)都為1，則= .4、已知向量的最大值為5、設(shè)點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在直線BC外，六、平面向量基本定理的應(yīng)用問題1、下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是 A. B. C. D.2、(A)(B)(C)(D)3、已知分別是的邊上的中線,且,則可用向量表示為_4、已知中，點(diǎn)在邊上，且，則的值是_5、如圖,在中,是上的一點(diǎn),若,求實(shí)數(shù)的值6、如圖中，,，若，求高一