計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)重點(diǎn)筆記第二講

1、一、 基本概念：估計(jì)量與估計(jì)值所謂估計(jì)量就是指估計(jì)總體參數(shù)的一種方法。在該方法下，給定一個(gè)樣本，我們可以獲得一個(gè)具體的估計(jì)結(jié)果，該結(jié)果就是所謂的估計(jì)值。例如，基于一個(gè)樣本容量為N的樣本，其中為第i次觀測(cè)值，我們用樣本均值來作為對(duì)總體均值的估計(jì)。在這里，就屬于估計(jì)量，由于其取值隨著樣本的變化而變化，因此它是隨機(jī)的?，F(xiàn)在假設(shè)我們持有A、B兩個(gè)樣本：與，則基于這兩個(gè)樣本，可以計(jì)算出：分別是估計(jì)量可能的取值，它們就是估計(jì)值。既然估計(jì)量是隨機(jī)變量，那么它一定服從某種分布，由于估計(jì)量與抽樣相聯(lián)系，因此我們把估計(jì)量所服從的分布稱為抽樣分布。有關(guān)統(tǒng)計(jì)學(xué)的一些基本知識(shí)請(qǐng)參見本講附錄一。筆記：觀測(cè)值是隨機(jī)變量的一

2、個(gè)可能的取值。我們用樣本均值來估計(jì)總體均值，實(shí)際上就是用來估計(jì)。在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，這被稱為矩估計(jì)，因?yàn)楸环Q為樣本（一階）矩，而被稱為總體（一階）矩。矩估計(jì)其要點(diǎn)可以歸結(jié)為，符號(hào)與符號(hào)E相對(duì)應(yīng)。我們?cè)賮砜纯淳毓烙?jì)思想的一個(gè)應(yīng)用。為了估計(jì)隨機(jī)變量的方差E- E()2（也即總體方差），在矩估計(jì)法下，則方差估計(jì)量將是：。應(yīng)該注意到，這個(gè)方差估計(jì)量是有偏估計(jì)，而才是方差的無偏估計(jì)。如果樣本容量很大，這兩個(gè)估計(jì)量相差無幾，事實(shí)上兩者都是方差的一致估計(jì)量。這個(gè)例子暗示，矩估計(jì)并不一定會(huì)獲得一個(gè)無偏的估計(jì)量，但將獲得一個(gè)一致的估計(jì)量。關(guān)于估計(jì)量無偏性與一致性的基本含義見附錄1二、 高斯-馬爾科夫假定對(duì)于模型：，則

3、、相應(yīng)的OLS估計(jì)量就是：在一些重要的假定下，OLS估計(jì)量表現(xiàn)出良好的性質(zhì)。我們把這些假定稱為高斯-馬爾科夫假定。假定一：真實(shí)模型是：。有三種情況屬于對(duì)該假定的違背：（1）遺漏了相關(guān)的解釋變量或者增加了無關(guān)的解釋變量；（2）y與x間的關(guān)系是非線性的；（3）并不是常數(shù)。筆記：1、遺漏了的解釋變量將進(jìn)入誤差項(xiàng)，從而這很可能導(dǎo)致誤差項(xiàng)不在滿足下面所列舉的一些假定；如果真實(shí)模型是非線性的，但我們卻用一條直線來近似它，顯然這是南轅北轍；如果參數(shù)并不是常數(shù)，然而我們卻基于特定樣本用一些常數(shù)去近似它們，這顯然也不合理的。2、經(jīng)濟(jì)學(xué)理論或許很少直接認(rèn)為y與x的關(guān)系是線性的，y與x具有非線性關(guān)系可能更符合現(xiàn)實(shí)。

4、然而把模型建立成非線性形式常常會(huì)付出代價(jià)，因?yàn)榉蔷€性模型其待估計(jì)的參數(shù)可能更多，從而導(dǎo)致自由度的耗費(fèi)，帶來估計(jì)精度的下降。另外，從數(shù)學(xué)上講，利用泰勒展開，我們也常?？梢杂靡粋€(gè)線性模型去近似非線性模型。假定二：對(duì)解釋變量的N次觀測(cè)即被預(yù)先固定下來，即不會(huì)隨著樣本的變化而發(fā)生變化，是一個(gè)非隨機(jī)列向量。顯然，如果解釋變量含有隨機(jī)的測(cè)量誤差，那么該假定被違背。還存其他的違背該假定的情況。筆記：1、被假定不會(huì)隨著樣本的變化而發(fā)生變化，但這并不意味著在一個(gè)給定的樣本中。事實(shí)上，在含有一個(gè)截距與一個(gè)解釋變量的簡(jiǎn)單線性回歸模型中，將意味著OLS估計(jì)量失去意義，見高斯-馬爾科夫假定六。2、被假定為非隨機(jī)并不是一

5、個(gè)標(biāo)準(zhǔn)假定，然而在該假定下數(shù)學(xué)處理要簡(jiǎn)單得多，而且OLS基本的涵義也并未喪失。是隨機(jī)的情況更一般化，此時(shí)，高斯-馬爾科夫假定二被更改為：對(duì)任意與，與不相關(guān)，此即所謂的解釋變量具有嚴(yán)格外生性。顯然，當(dāng)非隨機(jī)時(shí)，與必定不相關(guān)。事實(shí)上，假定二其最終目的在于保證與不相關(guān)。3、在建立模型時(shí)，我們總是希望誤差項(xiàng)是由一些不重要、沒有任何信息價(jià)值的成分所構(gòu)成。如果與相關(guān)，這意味著誤差項(xiàng)還具有一定的信息價(jià)值，因此在某種程度上可以認(rèn)為，我們預(yù)先建立的模型是不完備的。應(yīng)該注意到，如果模型遺漏了解釋變量，而這些被遺漏的解釋變量又與已存在的解釋變量是相關(guān)的，那么這將導(dǎo)致誤差項(xiàng)與已存在的解釋變量是相關(guān)的。4、為了理解非隨

6、機(jī)性的假定，我們考慮如下一個(gè)例子。我們?cè)噲D考察受教育年限（x）對(duì)收入（y）的影響。假定我們預(yù)先知道總體中有1%的人口接受了22年的學(xué)校教育；有3%的人口接受了19年的學(xué)校教育；有10%的人口接受了16年的學(xué)校教育?，F(xiàn)在，我們進(jìn)行一個(gè)樣本容量為1000的抽樣調(diào)查。為了使樣本盡量反映總體的情況，我們要求樣本中有10人接受了22年的教育；有30人接受了19年的教育；有100人接受了16年的教育。這種抽樣技術(shù)被稱為分層隨機(jī)抽樣（Stratified random sample）。在抽樣中，設(shè)定前10次觀測(cè)對(duì)象是那些接受了22年的教育的人，接下來是那些接受了19年教育的人。在這種方法下我們可以獲得多個(gè)樣

7、本，但被預(yù)先固定下來，即它不會(huì)隨著樣本的變化而發(fā)生變化。假定三：誤差項(xiàng)期望值為0，即。筆記：1、當(dāng)隨機(jī)時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)假定是：根據(jù)迭代期望定律有：,因此，如果成立，必定有：。另外，根據(jù)迭代期望定律也有：而。故有： 因此，在是隨機(jī)的情況下，假定二、三可以修正為一個(gè)假定：。2、所謂迭代期望定律是指：如果信息集，則有。無條件期望所對(duì)應(yīng)的信息集是空集，因此按照迭代期望定律必有：。本講義第十講對(duì)該定律進(jìn)行了更為詳細(xì)的介紹。3、回憶第一講，對(duì)模型，在OLS法下我們一定能保證：(1)殘差均值為零；(2)殘差與x樣本不相關(guān)。我們希望殘差是對(duì)誤差的良好近似，但如果假定二、三不成立，即，誤差項(xiàng)期望值不為零，誤差項(xiàng)與解釋變

8、量相關(guān)，顯然此時(shí)殘差并不是對(duì)誤差項(xiàng)的良好近似。由于，因此，如果殘差并不是對(duì)誤差項(xiàng)的良好近似，那么參數(shù)的OLS估計(jì)量就不是對(duì)真實(shí)參數(shù)良好的近似。由此看來，為保證OLS估計(jì)量具有良好的性質(zhì)，假定二、三的成立非常重要。4、當(dāng)假定成立時(shí)，必有；，進(jìn)而（在這里對(duì)各隨機(jī)變量未加注腳標(biāo)，這是因?yàn)闊o論腳標(biāo)是什么，相關(guān)等式都成立?，F(xiàn)在我們來利用所謂的矩估計(jì)思想。誤差項(xiàng)觀測(cè)不到，故我們不得不把殘差當(dāng)做是對(duì)誤差的觀測(cè)。于是按照矩估計(jì)思想有：；，而這兩個(gè)式子正是OLS估計(jì)法中的兩個(gè)正規(guī)方程，由正規(guī)方程就可以得到參數(shù)的OLS估計(jì)量。由此看來，當(dāng)假定成立時(shí)，OLS估計(jì)不過是矩估計(jì)的特例。如果知道了這一點(diǎn)，我們就會(huì)很快地記

9、住OLS估計(jì)量公式：當(dāng)時(shí)，。用樣本協(xié)方差與樣本方差代替總體協(xié)方差與總體方差，則有：。我們以后在學(xué)習(xí)工具變量估計(jì)法時(shí)，將再次體會(huì)到矩估計(jì)思想的重要性。 可以發(fā)現(xiàn)，矩估計(jì)僅僅涉到了x與同期不相關(guān)的假定，從這個(gè)意義上講，這個(gè)條件過于強(qiáng)了，但只有在這個(gè)條件下OLS估計(jì)量的無偏性才能保證成立，這可參見更高級(jí)的教科書。假定四：，即所謂的同方差假定。筆記：1、 在是隨機(jī)的情況下，該假定修訂為：2、如果誤差項(xiàng)是異方差的，那么N個(gè)誤差項(xiàng)將具有N個(gè)不同的分布。如果把殘差近似為對(duì)誤差的觀測(cè)，則此時(shí)每一個(gè)分布下只有一次觀測(cè)，顯然僅憑一次觀測(cè)我們很難對(duì)隨機(jī)變量的分布性質(zhì)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。假定五：，即所謂的序列不相關(guān)假定。筆

10、記：1、在是隨機(jī)的情況下，該假定修訂為：2、如果誤差項(xiàng)序列相關(guān)，這表明誤差項(xiàng)還含有系統(tǒng)性的、可資利用的信息。但如果我們已建立的線性模型是完備的，那么假定誤差項(xiàng)序列不相關(guān)就顯得相當(dāng)自然了。假定六：，在多元回歸中，該假定演變?yōu)榈哪娲嬖冢淳仃嚵邢蛄烤€性無關(guān)。筆記：1、假定六是最基本的，因?yàn)檫`背該假定則OLS估計(jì)量的相關(guān)公式就失去了意義。但假定六在實(shí)踐中最不值得擔(dān)心，因?yàn)楫?dāng)該假定被違背時(shí)，計(jì)量軟件將立即告訴我們此時(shí)無法進(jìn)行計(jì)算。2、在模型含有截距的情況下，矩陣列向量線性無關(guān)這個(gè)條件要強(qiáng)于各解釋變量線性無關(guān)這個(gè)條件。高斯-馬爾科夫假定二、三、四、五都可以被歸結(jié)為對(duì)誤差項(xiàng)性質(zhì)的假定，而假定一部分可以認(rèn)為

11、是對(duì)誤差項(xiàng)性質(zhì)的假定。假定六是關(guān)于參數(shù)可識(shí)別的假定。結(jié)合OLS的代數(shù)性質(zhì)，我們是不是可以直接感覺到假定一、二、三的重要性？但不幸的是，初級(jí)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)經(jīng)常把重心放在了假定四、五上了。怎么讓我們相信假定一至五是成立的呢？首先我們應(yīng)盡量利用經(jīng)濟(jì)學(xué)理論來判斷相關(guān)假定的合理性，其次我們可以進(jìn)行一系列計(jì)量經(jīng)濟(jì)檢驗(yàn)。應(yīng)該注意到，假定一至五基本上都涉及到對(duì)誤差項(xiàng)分布性質(zhì)的假定，因此計(jì)量經(jīng)濟(jì)檢驗(yàn)可以說就是檢驗(yàn)誤差項(xiàng)的分布性質(zhì)。不過困難之處在于，誤差項(xiàng)不可觀測(cè)。但如果高斯-馬爾科夫假定成立，殘差將是對(duì)誤差的良好近似，于是，我們可以通過分析殘差的性質(zhì)來間接推斷誤差項(xiàng)的分布性質(zhì)。三、 高斯-馬爾科夫定理當(dāng)高斯-馬爾科

12、夫假定成立時(shí)，在所有線性無偏估計(jì)量中，OLS估計(jì)量方差最小，即OLS估計(jì)量是最有效的。換句話說，當(dāng)高斯-馬爾科夫假定成立時(shí)，OLS估計(jì)量是最優(yōu)線性無偏估計(jì)量（Best linear unbiased estimator, BLUE），此即高斯-馬爾科夫定理。筆記：1、對(duì)一個(gè)估計(jì)量，我們希望它具有什么樣的性質(zhì)？(1)簡(jiǎn)單實(shí)用。隨著計(jì)量軟件的發(fā)展，這一點(diǎn)可能不那么重要了；(2)不同的人利用不同的樣本得到不同的估計(jì)結(jié)果，但我們希望平均來看，估計(jì)結(jié)果將是準(zhǔn)確的，此即估計(jì)量的無偏性；(3) 不同的人利用不同的樣本得到不同的估計(jì)結(jié)果，但我們希望這些結(jié)果差異不要太大，事實(shí)上差異越小越好，即估計(jì)量的方差越小越

13、好，此即估計(jì)量的有效性；(4)如果把總體全部展示在我們面前，則我們希望所利用的估計(jì)量能夠得到真實(shí)的參數(shù)值，此即估計(jì)量的一致性。顯然一致性是一個(gè)合理的估計(jì)量應(yīng)該滿足的最低要求。如果把事情的真相都告訴你了，你卻依據(jù)一估計(jì)方法得到錯(cuò)誤的結(jié)果，那么這個(gè)估計(jì)方法一定是一個(gè)垃圾！2、我們很希望一個(gè)無偏估計(jì)量也是有效的。下面一個(gè)調(diào)侃計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)家的笑話或許有助于我們理解這一點(diǎn)。三個(gè)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)家去森林中打獵。一個(gè)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)家一槍擊到一頭野豬前面五米處，一個(gè)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)家一槍擊到這頭野豬后面五米處，第三個(gè)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)家高興得跳起來喊道，“擊中了！擊中了！我們平均擊中了！”。3、一個(gè)估計(jì)量可能是有偏的、無效的，但如果滿

14、足一致性，它也是有用的。因?yàn)楫?dāng)我們手中的樣本容量確實(shí)很大時(shí)，那么基于這個(gè)一致估計(jì)量的估計(jì)結(jié)果應(yīng)該是對(duì)真實(shí)參數(shù)良好的近似。我們?cè)谇懊娴墓P記中曾提到，如果假定二、三不成立，則殘差并不是對(duì)誤差項(xiàng)的良好近似，進(jìn)而參數(shù)的OLS估計(jì)量就不是對(duì)真實(shí)參數(shù)良好的近似。由此看來假定二、三的成立對(duì)于保證OLS估計(jì)量的一致性非常重要。（一）OLS估計(jì)量是線性估計(jì)量所謂OLS估計(jì)量是線性估計(jì)量，是指它能夠被表示為的線性函數(shù)。例如：在這里我們定義。應(yīng)該注意到，在假定二下，ki是非隨機(jī)的。練習(xí)：把表示成的線性函數(shù)：，其中。筆記：可以從數(shù)學(xué)上驗(yàn)證：另外一種簡(jiǎn)單的驗(yàn)證方式是：（1）假定被解釋變量與解釋變量都是x，那么回歸直線的

15、斜率將為1，截距將為0，即有：（2）假定被解釋變量取值恒為1，那么回歸直線的斜率將為0，截距將為1，即有：（二）OLS估計(jì)量具有無偏性：；證明：注意到；，再利用高斯-馬爾科夫假定三：，于是有：。筆記：1、在是隨機(jī)的情況下，我們需證：2、我們?cè)谧C明無偏性實(shí)際上應(yīng)用了高斯-馬爾科夫假定一、二、三。練習(xí)：證明（三）在所有線性無偏估計(jì)量中，OLS估計(jì)量方差最小1、OLS估計(jì)量的方差利用高斯-馬爾科夫假定五：與高斯-馬爾科夫假定四：有：。注意到：因此有：筆記：1、，當(dāng)N趨于無窮大時(shí)，樣本方差收斂于總體方差，故當(dāng)N趨于無窮大時(shí)，趨于0。由于，因此，當(dāng)N趨于無窮大時(shí)，在概率上收斂于，即是的一致估計(jì)量。你能夠

16、表明是的一致估計(jì)量嗎？2、我們得到上述方差公式時(shí)實(shí)際上利用了高斯-馬爾科夫假定一、二、四、五。當(dāng)上述假定不成立時(shí)，上述公式無意義。練習(xí)：（1）證明在高斯-馬爾科夫假定下：（2）證明在高斯-馬爾科夫假定下：2、OLS估計(jì)量的有效性任意一種線性估計(jì)量都可表示為，當(dāng)時(shí)，該估計(jì)量即為的OLS估計(jì)量。現(xiàn)在我們將證明：在所有無偏的的線性估計(jì)量中，OLS估計(jì)量具有最小的方差?！霸谒袩o偏的的線性估計(jì)量中”是一個(gè)前提條件。我們的任務(wù)是，在給定前提下（約束條件），證明OLS估計(jì)量所對(duì)應(yīng)的權(quán)數(shù)使方差（目標(biāo)函數(shù)）取最小值。首先分析前提條件：線性估計(jì)量的表達(dá)是為了保證的無偏性，那么下面的等式應(yīng)該恒成立：因此，。其次分

17、析方差表示：在高斯-馬爾科夫假定四、五下，有：。最后，形成數(shù)學(xué)問題：常數(shù)只影響目標(biāo)函數(shù)值但不影響的選擇，因此在求解上述優(yōu)化問題時(shí)可以省去。對(duì)上述極值問題，其拉格朗日函數(shù)是：相應(yīng)的一階條件是：把（3group）中各式相加并利用（4）有：把（3group）中第i式兩邊同時(shí)乘以后再各式相加，然后利用（5），有：由（6）、（7）有：于是我們已知道這個(gè)權(quán)數(shù)正是的OLS估計(jì)量所對(duì)應(yīng)的權(quán)數(shù)，故問題得證。練習(xí)：證明在所有的線性無偏估計(jì)量中OLS估計(jì)量其方差是最小的。筆記：線性性質(zhì)不過是OLS估計(jì)量在假定一下所具有的代數(shù)性質(zhì)，無偏性與有效性才是高斯-馬爾科夫定理所強(qiáng)調(diào)的。高斯-馬爾科夫定理為OLS的廣泛應(yīng)用提供

18、了理論依據(jù)。當(dāng)然問題是，該定理涉及到如此眾多的假定，這些假定同時(shí)成立實(shí)屬罕見！從而這涉及到兩個(gè)問題：(1)如何檢驗(yàn)這些假定？(2)如果一些假定并不成立，那么OLS估計(jì)量具有什么性質(zhì)？此時(shí)我們應(yīng)該采取何種估計(jì)方法？本講義后續(xù)章節(jié)將討論這些問題。在附錄二中，本講義提供了很多教科書對(duì)高斯-馬爾科夫的另外一種證明形式。四、 補(bǔ)充知識(shí)點(diǎn)（一）估計(jì)誤差的方差模型中的誤差項(xiàng)其方差經(jīng)常未知而有待估計(jì)。可以證明，在高斯-馬爾科夫假定下，對(duì)誤差項(xiàng)的一個(gè)無偏估計(jì)是：為簡(jiǎn)單計(jì)，考慮一元線性回歸模型的情況，此時(shí)k=1。我們需要證明。證明：在高斯馬爾科夫假定下，有：因此，故。注意到：而因此有：故：因此，筆記：1、實(shí)際上是

19、殘差的樣本方差在含截距的簡(jiǎn)單線性回歸模型中，殘差的自由度是N-2。誤差是觀測(cè)不到的，但我們能利用樣本得到殘差。直觀來看，我們可以利用殘差的樣本方差來作為對(duì)誤差方差的估計(jì)。上述證明結(jié)果表明，這個(gè)估計(jì)還是無偏的。2、在第一講談到自由度調(diào)整時(shí)，我們?cè)?jīng)舉個(gè)一例：當(dāng)計(jì)算樣本方差時(shí)如果注意自由度調(diào)整，我們將得到一個(gè)對(duì)總體方差的無偏估計(jì)。3、只有殘差是對(duì)誤差的良好近似時(shí)，基于殘差的樣本方差來估計(jì)誤差的方差才是合理的。因此，高斯-馬爾科夫假定非常重要的。例如，如果違背假定四，即誤差項(xiàng)是異方差的，那么我們利用一個(gè)不會(huì)隨著i的變化而變化的數(shù)（會(huì)隨著i的變化而變化嗎？）去估計(jì)一系列隨i而變化的參數(shù)（誤差項(xiàng)方差隨i

20、的變化而變化），顯然這是不合理的。應(yīng)該注意，盡管在高斯-馬爾科夫假定下是對(duì)的無偏估計(jì)，然而并不是對(duì)的無偏估計(jì)，不過可以證明是對(duì)的一致估計(jì)。被稱為“回歸的標(biāo)準(zhǔn)誤”（standard error of regression,SER）。筆記：1、為什么在高斯-馬爾科夫假定下是對(duì)的無偏估計(jì)，但并不能由此推出是對(duì)的無偏估計(jì)？從數(shù)學(xué)上可以表明，當(dāng)是非線性函數(shù)時(shí)，由不能推出。事實(shí)上由利用Jensen不等式有：，而所謂Jensen不等式是指:，g是凸函數(shù)（凸向原點(diǎn)）；，g是凹函數(shù)（凹向原點(diǎn)）。2、另外還可以證明是對(duì)的一致估計(jì)，即：。概率極限運(yùn)算具有如下性質(zhì)：由上述性質(zhì)，則。按照定義，是標(biāo)準(zhǔn)差，是非負(fù)的，故有：

21、，即，如果是對(duì)的一致估計(jì)，則是對(duì)的一致估計(jì)，反之亦然。（二）基于樣本回歸直線的預(yù)測(cè)假定真實(shí)模型是：，模型滿足高斯-馬爾科夫假定。利用OLS法得到：?，F(xiàn)在我們獲得一次新的觀測(cè)，然而此次觀測(cè)只獲得x的取值xf，現(xiàn)在我們考慮基于樣本回歸直線來預(yù)測(cè)yf和E(yf)。1、預(yù)測(cè)yf以作為對(duì)yf的預(yù)測(cè)。則預(yù)測(cè)誤差是：。顯然E(e1)=0；筆記：1、的隨機(jī)性來源于。與是不相關(guān)的，因此與無關(guān)。2、根據(jù)上述表達(dá)式可知，當(dāng)時(shí)，預(yù)測(cè)誤差方差最小。直覺是什么呢？以工資對(duì)教育水平回歸為例。首先你基于一個(gè)樣本得到估計(jì)結(jié)果，該樣本主要由具有初中和高中學(xué)教育水平的人構(gòu)成。想一想，如果利用已有的回歸結(jié)果去預(yù)測(cè)一位博士的收入，預(yù)測(cè)

22、精度會(huì)高嗎？如果利用已有的回歸結(jié)果去預(yù)測(cè)一位小學(xué)可能都未讀完的人的收入，預(yù)測(cè)精度會(huì)高嗎？2、預(yù)測(cè)E(yf)以作為對(duì)E(yf)的預(yù)測(cè)。此時(shí)預(yù)測(cè)誤差是：顯然，E(e2)=0。比較可知，盡管既是yf的無偏預(yù)測(cè)也是E(yf)的無偏預(yù)測(cè)，但它更適合作為對(duì)E(yf)的預(yù)測(cè)。直覺上，由于yf是隨機(jī)的而E(yf)是非隨機(jī)的，因此對(duì)yf的預(yù)測(cè)應(yīng)該難于對(duì)E(yf)的預(yù)測(cè)，即對(duì)yf的預(yù)測(cè)精度應(yīng)該低于對(duì)E(yf)的預(yù)測(cè)精度。上述兩種預(yù)測(cè)都屬于點(diǎn)預(yù)測(cè)。還有一種預(yù)測(cè)被稱為區(qū)間預(yù)測(cè)，參見第三講附錄三。附錄一：通過例子學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)（一）期望值、均值、估計(jì)量、估計(jì)值在座各位所形成的班級(jí)是一個(gè)總體，總體的平均身高()等于各位同學(xué)身高之和除以總?cè)藬?shù)。我打算利用樣本平均身高來估計(jì)總體參數(shù)?，F(xiàn)在我將從在座各位中隨機(jī)抽取N位同學(xué)以形成一個(gè)樣本容量為N的樣本。記為第i次被抽取同學(xué)的身高。在第i次抽取具體實(shí)施之前，是一個(gè)隨機(jī)變量，而各位同學(xué)的身高都是該隨機(jī)變量可能的取值。由于班級(jí)中的每位同學(xué)都等可能地被抽到，因此，這個(gè)隨機(jī)變量的