選修2-31.3.2楊輝三角與二項式系數的性質

1、1.3.2 楊輝三角楊輝三角 和二項式系數性質和二項式系數性質精選課件2復習回顧復習回顧: :二項式定理及展開式二項式定理及展開式: :011()()nnnkn k kn nnnnna bC aC a bC abC b n N 二項式系數二項式系數1kn kkknTC ab (0,1, )knCkn 通通 項項精選課件3計算計算(a+b)n展開式的二項式系數并填入下表展開式的二項式系數并填入下表: 通過計算填表，你發(fā)現(xiàn)了什么？通過計算填表，你發(fā)現(xiàn)了什么？ n (a+b)n展開式的二項式系數展開式的二項式系數 1 2 3 4 5 61 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5

2、10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 每一行的系數具有每一行的系數具有對稱性對稱性, ,除此以外還有什么規(guī)律呢除此以外還有什么規(guī)律呢?精選課件41 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1()ab 2()ab 3()ab 4()ab 5()ab 6()ab 上表寫成如下形式上表寫成如下形式: :1 7 21 35 35 21 7 17()ab 1 Cn-11 Cn-12 Cn-1k-1 Cn-1k Cn-1n-2 1 能借助上面的表示形式發(fā)現(xiàn)一些新的規(guī)律嗎能借助上面的表示形式發(fā)現(xiàn)一些新的規(guī)律嗎?1 1

3、1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1()ab 2()ab 3()ab 4()ab 5()ab 6()ab 上表寫成如下形式上表寫成如下形式: :精選課件61 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1()ab 2()ab 3()ab 4()ab 5()ab 6()ab 上表寫成如下形式上表寫成如下形式: :在同一行中在同一行中,每行兩端都是每行兩端都是1,與這兩個與這兩個1等距等距離的項的系數相等離的項的系數相等.在相鄰的兩行中在相鄰的兩行中,除

4、除1以外的每一個數都等于以外的每一個數都等于它它“肩上肩上”兩個數的和兩個數的和.mn mnnCC 11rrrnnnCCC 這樣的二項式系這樣的二項式系數表，早在我國南數表，早在我國南宋數學家楊輝宋數學家楊輝1261 年所著的年所著的詳解九詳解九章算法章算法一書里就一書里就已經出現(xiàn)了，在這已經出現(xiàn)了，在這本書里，記載著類本書里，記載著類似下面的表：似下面的表： 展開式的二項式系展開式的二項式系數依次是：數依次是： ()nab 012C ,C ,C ,Cnnnnn 從函數角度看，從函數角度看， 可看可看成是以成是以r為自變量的函數為自變量的函數 , ,其定義域是：其定義域是： Crn( )f r

5、 0,1,2,n 當當n= 6時時,其圖象是其圖象是7個孤立點個孤立點f（r）63O6152011.對稱性對稱性 與首末兩端與首末兩端“等距離等距離”的兩個的兩個二項式系數二項式系數相相等等 這一性質可直接由公式這一性質可直接由公式 得到得到CCmn mnn 圖象的對稱軸：圖象的對稱軸：2nr f（r）63O6152012.增減性與最大值增減性與最大值 1(1)(2)(1)1CC(1)!kknnn nnn kn kk kk 所以所以 相對于相對于 的增減情況由的增減情況由 決定決定 Ckn1Ckn 1nkk由由：1112n knkk 12nk 可知，當可知，當 時，時， 二項式系數二項式系數是

6、逐漸增大是逐漸增大的，由對稱性可知它的的，由對稱性可知它的后半部分后半部分是逐漸減小的是逐漸減小的, ,且且中間項中間項取得最大值。取得最大值。 精選課件11f（r）rnO2n2n122n Onf（r）n為奇數為奇數122n n為偶數為偶數當當n是偶數是偶數時，中間的時，中間的一一項項 取得取得最大最大值值.2nnC當當n是奇數是奇數時，中間的時，中間的兩兩項項 和和 相等相等,且同時取得且同時取得最大最大值值12nnC 12nnC 3.各二項式系數的和各二項式系數的和 在二項式定理中，令在二項式定理中，令 ，則：，則： 1ab 012CCCC2nnnnnn 這就是說，這就是說， 的展開式的各

7、二項式系的展開式的各二項式系數的和等于數的和等于()nab 2n同時由于同時由于 ，上式還可以寫成：，上式還可以寫成：0C1n 123CCCC21nnnnnn 這是組合總數公式這是組合總數公式 精選課件13 一般地，一般地， 展開式的二項式系數展開式的二項式系數 有如下性質：有如下性質：nba)( （1 1）nnnnCCC,10mnnmnCC （2 2） （3 3）當）當 時，時， （4 4）mnmnmnCCC1121nr1rnrnCC 當當 時，時，21nrrnrnCC1nnnnnCCC210精選課件14例例1.證明證明:在在(a+b)n 的展開式中，奇數項的二的展開式中，奇數項的二項式系數

8、的和等于偶數項的二項式系數的和項式系數的和等于偶數項的二項式系數的和01()nnnrn rrnnnnnnabC aC a bC abC b 1,1ab 令令0123(11)( 1)nnnnnnnnCCCCC 02130()()nnnnCCCC 0213nnnnCCCC =2n-1在展開式在展開式證明證明:得得即即所以所以賦值法賦值法即在即在(a+b)n 的展開式中，奇數項的二項式系數的展開式中，奇數項的二項式系數的和等于偶數項的二項式系數的和的和等于偶數項的二項式系數的和精選課件15課堂練習：課堂練習：1）已知）已知 ，那么，那么 = ；2）若）若 的展開式中的第十項和第十一的展開式中的第十項

9、和第十一項的二項式系數最大，則項的二項式系數最大，則n= ；591515,Ca Cb1016C()nab精選課件163.在在(ab)20展開式中，與第五項的系數相同的項是展開式中，與第五項的系數相同的項是( ).A 第第15項項 B 第第16項項 C 第第17項項 D 第第18項項C4.在在(ab)10展開式中，系數最大的項是展開式中，系數最大的項是( ).A 第第6項項 B 第第7項項 C 第第6項和第項和第7項項 D 第第5項和第項和第7項項A5.在在(ab)10展開式中，系數最大的項是展開式中，系數最大的項是( ).A 第第6項項 B 第第7項項 C 第第6項和第項和第7項項 D 第第5

10、項和第項和第7項項D6.在在(ab)11展開式中，系數最大的項是展開式中，系數最大的項是( ).A 第第6項項 B 第第7項項 C 第第6項和第項和第7項項 D 第第5項和第項和第7項項C7.在在(ab)11展開式中，系數最大的項是展開式中，系數最大的項是( ).A 第第6項項 B 第第7項項 C 第第6項和第項和第7項項 D 第第5項和第項和第7項項B精選課件17例例2、若若 展開式中前三項系數成等差展開式中前三項系數成等差 數列，求數列，求（1）展開式中含）展開式中含x的一次冪的項；的一次冪的項； （2）展開式中所有展開式中所有x 的有理項；的有理項； （3）展開式中系數最大的項。）展開式

11、中系數最大的項。42 xn1( x+)精選課件189.若若 的展開式中，所有的展開式中，所有奇數項的系數之和為奇數項的系數之和為1024，求它的中間項，求它的中間項.35211()nxx解：解：展開式中各項的二項式系數與該項的展開式中各項的二項式系數與該項的 的系數相等的系數相等由已知可得：由已知可得：2n-1=1024解得解得 n=11，有兩個中間項分別為有兩個中間項分別為T6=462x-4，T7=462x 1561 8.求二項式求二項式(2-3x)10展開式所有項系數的和展開式所有項系數的和精選課件19 二項展開式中的二項式系數都是一些特二項展開式中的二項式系數都是一些特殊的組合數，它有三條性質，要理解和掌握殊的組合數，它有三條性質，要理解和掌握好，同時要注意