選修2-31.3.2楊輝三角與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

1、1.3.2 楊輝三角楊輝三角 和二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)和二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)精選課件2復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧: :二項(xiàng)式定理及展開(kāi)式二項(xiàng)式定理及展開(kāi)式: :011()()nnnkn k kn nnnnna bC aC a bC abC b n N 二項(xiàng)式系數(shù)二項(xiàng)式系數(shù)1kn kkknTC ab (0,1, )knCkn 通通 項(xiàng)項(xiàng)精選課件3計(jì)算計(jì)算(a+b)n展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)并填入下表展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)并填入下表: 通過(guò)計(jì)算填表，你發(fā)現(xiàn)了什么？通過(guò)計(jì)算填表，你發(fā)現(xiàn)了什么？ n (a+b)n展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù) 1 2 3 4 5 61 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5

2、10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 每一行的系數(shù)具有每一行的系數(shù)具有對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)性, ,除此以外還有什么規(guī)律呢除此以外還有什么規(guī)律呢?精選課件41 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1()ab 2()ab 3()ab 4()ab 5()ab 6()ab 上表寫(xiě)成如下形式上表寫(xiě)成如下形式: :1 7 21 35 35 21 7 17()ab 1 Cn-11 Cn-12 Cn-1k-1 Cn-1k Cn-1n-2 1 能借助上面的表示形式發(fā)現(xiàn)一些新的規(guī)律嗎能借助上面的表示形式發(fā)現(xiàn)一些新的規(guī)律嗎?1 1

3、1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1()ab 2()ab 3()ab 4()ab 5()ab 6()ab 上表寫(xiě)成如下形式上表寫(xiě)成如下形式: :精選課件61 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1()ab 2()ab 3()ab 4()ab 5()ab 6()ab 上表寫(xiě)成如下形式上表寫(xiě)成如下形式: :在同一行中在同一行中,每行兩端都是每行兩端都是1,與這兩個(gè)與這兩個(gè)1等距等距離的項(xiàng)的系數(shù)相等離的項(xiàng)的系數(shù)相等.在相鄰的兩行中在相鄰的兩行中,除

4、除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于以外的每一個(gè)數(shù)都等于它它“肩上肩上”兩個(gè)數(shù)的和兩個(gè)數(shù)的和.mn mnnCC 11rrrnnnCCC 這樣的二項(xiàng)式系這樣的二項(xiàng)式系數(shù)表，早在我國(guó)南數(shù)表，早在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝宋數(shù)學(xué)家楊輝1261 年所著的年所著的詳解九詳解九章算法章算法一書(shū)里就一書(shū)里就已經(jīng)出現(xiàn)了，在這已經(jīng)出現(xiàn)了，在這本書(shū)里，記載著類(lèi)本書(shū)里，記載著類(lèi)似下面的表：似下面的表： 展開(kāi)式的二項(xiàng)式系展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)依次是：數(shù)依次是： ()nab 012C ,C ,C ,Cnnnnn 從函數(shù)角度看，從函數(shù)角度看， 可看可看成是以成是以r為自變量的函數(shù)為自變量的函數(shù) , ,其定義域是：其定義域是： Crn( )f r

5、 0,1,2,n 當(dāng)當(dāng)n= 6時(shí)時(shí),其圖象是其圖象是7個(gè)孤立點(diǎn)個(gè)孤立點(diǎn)f（r）63O6152011.對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)性 與首末兩端與首末兩端“等距離等距離”的兩個(gè)的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)二項(xiàng)式系數(shù)相相等等 這一性質(zhì)可直接由公式這一性質(zhì)可直接由公式 得到得到CCmn mnn 圖象的對(duì)稱(chēng)軸：圖象的對(duì)稱(chēng)軸：2nr f（r）63O6152012.增減性與最大值增減性與最大值 1(1)(2)(1)1CC(1)!kknnn nnn kn kk kk 所以所以 相對(duì)于相對(duì)于 的增減情況由的增減情況由 決定決定 Ckn1Ckn 1nkk由由：1112n knkk 12nk 可知，當(dāng)可知，當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 二項(xiàng)式系數(shù)二項(xiàng)式系數(shù)是

6、逐漸增大是逐漸增大的，由對(duì)稱(chēng)性可知它的的，由對(duì)稱(chēng)性可知它的后半部分后半部分是逐漸減小的是逐漸減小的, ,且且中間項(xiàng)中間項(xiàng)取得最大值。取得最大值。 精選課件11f（r）rnO2n2n122n Onf（r）n為奇數(shù)為奇數(shù)122n n為偶數(shù)為偶數(shù)當(dāng)當(dāng)n是偶數(shù)是偶數(shù)時(shí)，中間的時(shí)，中間的一一項(xiàng)項(xiàng) 取得取得最大最大值值.2nnC當(dāng)當(dāng)n是奇數(shù)是奇數(shù)時(shí)，中間的時(shí)，中間的兩兩項(xiàng)項(xiàng) 和和 相等相等,且同時(shí)取得且同時(shí)取得最大最大值值12nnC 12nnC 3.各二項(xiàng)式系數(shù)的和各二項(xiàng)式系數(shù)的和 在二項(xiàng)式定理中，令在二項(xiàng)式定理中，令 ，則：，則： 1ab 012CCCC2nnnnnn 這就是說(shuō)，這就是說(shuō)， 的展開(kāi)式的各

7、二項(xiàng)式系的展開(kāi)式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和等于數(shù)的和等于()nab 2n同時(shí)由于同時(shí)由于 ，上式還可以寫(xiě)成：，上式還可以寫(xiě)成：0C1n 123CCCC21nnnnnn 這是組合總數(shù)公式這是組合總數(shù)公式 精選課件13 一般地，一般地， 展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù) 有如下性質(zhì)：有如下性質(zhì)：nba)( （1 1）nnnnCCC,10mnnmnCC （2 2） （3 3）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)，時(shí)， （4 4）mnmnmnCCC1121nr1rnrnCC 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，21nrrnrnCC1nnnnnCCC210精選課件14例例1.證明證明:在在(a+b)n 的展開(kāi)式中，奇數(shù)項(xiàng)的二的展開(kāi)式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

8、的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和01()nnnrn rrnnnnnnabC aC a bC abC b 1,1ab 令令0123(11)( 1)nnnnnnnnCCCCC 02130()()nnnnCCCC 0213nnnnCCCC =2n-1在展開(kāi)式在展開(kāi)式證明證明:得得即即所以所以賦值法賦值法即在即在(a+b)n 的展開(kāi)式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的展開(kāi)式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和精選課件15課堂練習(xí)：課堂練習(xí)：1）已知）已知 ，那么，那么 = ；2）若）若 的展開(kāi)式中的第十項(xiàng)和第十一的展開(kāi)式中的第十項(xiàng)

9、和第十一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則n= ；591515,Ca Cb1016C()nab精選課件163.在在(ab)20展開(kāi)式中，與第五項(xiàng)的系數(shù)相同的項(xiàng)是展開(kāi)式中，與第五項(xiàng)的系數(shù)相同的項(xiàng)是( ).A 第第15項(xiàng)項(xiàng) B 第第16項(xiàng)項(xiàng) C 第第17項(xiàng)項(xiàng) D 第第18項(xiàng)項(xiàng)C4.在在(ab)10展開(kāi)式中，系數(shù)最大的項(xiàng)是展開(kāi)式中，系數(shù)最大的項(xiàng)是( ).A 第第6項(xiàng)項(xiàng) B 第第7項(xiàng)項(xiàng) C 第第6項(xiàng)和第項(xiàng)和第7項(xiàng)項(xiàng) D 第第5項(xiàng)和第項(xiàng)和第7項(xiàng)項(xiàng)A5.在在(ab)10展開(kāi)式中，系數(shù)最大的項(xiàng)是展開(kāi)式中，系數(shù)最大的項(xiàng)是( ).A 第第6項(xiàng)項(xiàng) B 第第7項(xiàng)項(xiàng) C 第第6項(xiàng)和第項(xiàng)和第7項(xiàng)項(xiàng) D 第第5

10、項(xiàng)和第項(xiàng)和第7項(xiàng)項(xiàng)D6.在在(ab)11展開(kāi)式中，系數(shù)最大的項(xiàng)是展開(kāi)式中，系數(shù)最大的項(xiàng)是( ).A 第第6項(xiàng)項(xiàng) B 第第7項(xiàng)項(xiàng) C 第第6項(xiàng)和第項(xiàng)和第7項(xiàng)項(xiàng) D 第第5項(xiàng)和第項(xiàng)和第7項(xiàng)項(xiàng)C7.在在(ab)11展開(kāi)式中，系數(shù)最大的項(xiàng)是展開(kāi)式中，系數(shù)最大的項(xiàng)是( ).A 第第6項(xiàng)項(xiàng) B 第第7項(xiàng)項(xiàng) C 第第6項(xiàng)和第項(xiàng)和第7項(xiàng)項(xiàng) D 第第5項(xiàng)和第項(xiàng)和第7項(xiàng)項(xiàng)B精選課件17例例2、若若 展開(kāi)式中前三項(xiàng)系數(shù)成等差展開(kāi)式中前三項(xiàng)系數(shù)成等差 數(shù)列，求數(shù)列，求（1）展開(kāi)式中含）展開(kāi)式中含x的一次冪的項(xiàng)；的一次冪的項(xiàng)； （2）展開(kāi)式中所有展開(kāi)式中所有x 的有理項(xiàng)；的有理項(xiàng)； （3）展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)。）展開(kāi)式

11、中系數(shù)最大的項(xiàng)。42 xn1( x+)精選課件189.若若 的展開(kāi)式中，所有的展開(kāi)式中，所有奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)之和為奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)之和為1024，求它的中間項(xiàng)，求它的中間項(xiàng).35211()nxx解：解：展開(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與該項(xiàng)的展開(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與該項(xiàng)的 的系數(shù)相等的系數(shù)相等由已知可得：由已知可得：2n-1=1024解得解得 n=11，有兩個(gè)中間項(xiàng)分別為有兩個(gè)中間項(xiàng)分別為T(mén)6=462x-4，T7=462x 1561 8.求二項(xiàng)式求二項(xiàng)式(2-3x)10展開(kāi)式所有項(xiàng)系數(shù)的和展開(kāi)式所有項(xiàng)系數(shù)的和精選課件19 二項(xiàng)展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)都是一些特二項(xiàng)展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)都是一些特殊的組合數(shù)，它有三條性質(zhì)，要理解和掌握殊的組合數(shù)，它有三條性質(zhì)，要理解和掌握好，同時(shí)要注意