論接觸體間牛頓第三定律的可演繹性

1、論接觸體間牛頓第三定律的可演繹性Discussion on deductibility of Newton's Third Law of contact bodies關(guān)鍵詞：經(jīng)典力學(xué)、牛頓定律、基礎(chǔ)性、演繹摘要：就相互接觸的物體而言，經(jīng)典力學(xué)體系下的牛頓第三定律不具有獨(dú)立性，它可以由牛頓第二定律通過(guò)演繹得出；同樣地，可以用演繹的方法推導(dǎo)出在非慣性系以及在高速運(yùn)動(dòng)物體下的作用力與反作用力的關(guān)系。經(jīng)典力學(xué)體系下的牛頓第三定律是作為基礎(chǔ)性定律出現(xiàn)的，即該定律具有完全的獨(dú)立性（不可演繹性）。然而在仰慕牛頓力學(xué)魅力的同時(shí),我們發(fā)現(xiàn)，牛頓第三定律即便在經(jīng)典力學(xué)體系框架內(nèi)注1，同樣不具有基礎(chǔ)性的地位

2、，因?yàn)榫徒佑|體而言（非接觸體間的作用是通過(guò)“場(chǎng)”的形式實(shí)現(xiàn)的，本文不作討論），牛頓第三定律完全可以用演繹的方法由牛頓第二定律推理得出。用演繹推理而不是用個(gè)案歸納，其益處不僅在于找出了牛頓二、三定律之間的聯(lián)系，更重要的還體現(xiàn)在對(duì)實(shí)際問(wèn)題的解決上。因?yàn)橄旅嫖覀儠?huì)看到，在探討非慣性參考系以及在探討相對(duì)論條件下的牛頓第三定律是否成立的問(wèn)題時(shí)，演繹法所突顯出的縝密性和簡(jiǎn)便性。顯然，演繹法對(duì)于防止因采用歸納的方法所帶來(lái)的主觀(guān)臆斷注2具有重要意義。一、牛頓第三定律在慣性參考系中的可演繹性牛頓定律是對(duì)宏觀(guān)低速物體的表述，因此我們談?wù)摰膶?duì)象只就固體和液體，而不包括氣體，于是便可分為三種：、固體與固體之間的作用；

3、、固體與液體之間的作用；、液體與液體之間的作用。1、固體與固體之間的作用1.1、保持同步運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的相互作用（兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)相互接觸且沒(méi)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)及趨勢(shì)）與經(jīng)典力學(xué)研究的方法相同，我們先在質(zhì)點(diǎn)的范圍內(nèi)討論牛頓第三定律的可演繹性，然后再推廣到一般的物體上去。注1：用現(xiàn)代物理方法，也可以推出牛頓三定律，見(jiàn)文獻(xiàn)1中P119。注2：文獻(xiàn)1中得出牛頓第三定律在非慣性參考系中不成立的結(jié)論，見(jiàn)P44、P54。 圖1、保持同步運(yùn)動(dòng)的兩質(zhì)點(diǎn)之間的作用力不失一般性，設(shè)A、B質(zhì)點(diǎn)作變速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡為任一曲線(xiàn)（見(jiàn)圖1）。并設(shè)兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)作用的外力為、， A作用在B上的力為，B作用在A上的力為，且外力、一定作用在同一條

4、直線(xiàn)上（否則兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間一定有相對(duì)運(yùn)動(dòng)或運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)）。由于質(zhì)點(diǎn)A、B之間沒(méi)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，因此二者應(yīng)具有共同的加速度（由于兩個(gè)接觸的質(zhì)點(diǎn)組成的單元仍然為質(zhì)點(diǎn)，因此不考慮由旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的加速度），設(shè)加速度為。分別以質(zhì)點(diǎn)A、質(zhì)點(diǎn)B、質(zhì)點(diǎn)組AB為研究對(duì)象，由第二定律得（參見(jiàn)圖1）：；所以：，即這表明，在變速運(yùn)動(dòng)中，質(zhì)點(diǎn)A與質(zhì)點(diǎn)B的作用力與反作用力遵守牛頓第三定律。1.2、兩個(gè)物體保持同步的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（兩個(gè)物體的接觸面之間沒(méi)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)及趨勢(shì)）圖2、兩個(gè)物體同步運(yùn)動(dòng)時(shí)的作用力如圖2，設(shè)物體A與物體B相互接觸，接觸面為C-C，在C-C面上任取一點(diǎn)Q，然后在Q點(diǎn)左邊的物體A上取一左單元體，在Q點(diǎn)右邊的物體B上也取一右

5、單元體，只要單元體的體積足夠小，就可以將單元體當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)來(lái)對(duì)待。以這兩個(gè)單元體為研究對(duì)象，進(jìn)行受力分析（參見(jiàn)圖2），其中物體A對(duì)左單元體上所有力的合力為，物體B對(duì)右單元體上所有力的合力為，因兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)（單元體）沒(méi)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)及趨勢(shì)，于是運(yùn)用1.1中得到的結(jié)論，即可得出在Q這一點(diǎn)上，物體A、B之間力的作用力符合牛頓第三定律?？梢韵胂螅粼贑-C面選出無(wú)數(shù)個(gè)這樣的點(diǎn)，并將所有點(diǎn)處的作用力與反作用力分別求合力，也就自然會(huì)得出物體A、B之間的作用力與反作用力遵守牛頓第三定律的結(jié)論。這里要注意，在推導(dǎo)這個(gè)結(jié)論時(shí)，我們并沒(méi)有對(duì)物體進(jìn)行剛體的假設(shè)，因此這個(gè)結(jié)論對(duì)變形體還是非變形體（剛體）都是適用的。 需要說(shuō)明的是

6、，這里的單元體具有如下的意義范圍：就微觀(guān)來(lái)說(shuō)，單元體比起分子或是原子來(lái)足夠大，這樣可以滿(mǎn)足牛頓定律在宏觀(guān)適用上的范圍；就宏觀(guān)來(lái)說(shuō)，比起宏觀(guān)上的物體來(lái)在尺度上又是足夠的?。ㄟ@也是質(zhì)點(diǎn)的概念，即質(zhì)點(diǎn)概念實(shí)際上就是物體的大小可以忽略不計(jì)的結(jié)果。例如衛(wèi)星在太空中飛行即可看作質(zhì)點(diǎn)來(lái)對(duì)待），能滿(mǎn)足單元體組上各點(diǎn)的加速度相等的條件。1.3、兩個(gè)物體的相互碰撞之所以將碰撞獨(dú)立于相互作用的物體之外進(jìn)行討論，是因?yàn)槲矬w的碰撞過(guò)程短暫且復(fù)雜，并與1.2所述的情況不同，因?yàn)榕鲎策^(guò)程中的物體形狀每時(shí)每刻都在變化。為了清楚了解物體之間的作用力與反作用力之間的關(guān)系，應(yīng)對(duì)碰撞的過(guò)程進(jìn)行描述。為此我們把物體A和物體B看成是兩個(gè)

7、變形體，并設(shè)二者碰撞時(shí)的作用面為C-C（如圖3a）。圖3、兩個(gè)物體碰撞時(shí)的作用力按碰撞時(shí)作用面之間產(chǎn)生的作用力的不同，可分為正碰撞和一般碰撞，前者是在作用面上僅產(chǎn)生了正壓力，后者在作用面上既產(chǎn)生了正壓力也產(chǎn)生了摩擦力,其中正壓力是物體接觸面之間直接碰撞作用的結(jié)果（此時(shí)物體在作用面上沒(méi)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)及趨勢(shì)）。我們先來(lái)討論正碰撞。1.3.1、兩物體正碰撞時(shí)的相互作用力兩物體正碰撞的全過(guò)程可分為兩個(gè)階段： 、壓縮階段：當(dāng)兩個(gè)物體A、B正碰撞時(shí)，在作用面C-C的兩邊都發(fā)生了向C-C面靠攏的壓縮變形（彈性或塑性）。、恢復(fù)階段：在壓縮量達(dá)到最大狀態(tài)后，作用面C-C兩邊的變形開(kāi)始復(fù)原，即相對(duì)于作用面C-C的兩邊

8、都發(fā)生了變形的恢復(fù)，當(dāng)變形恢復(fù)結(jié)束時(shí)，物體A、B的作用面分開(kāi)，正碰撞的全過(guò)程結(jié)束。以下我們僅研究壓縮階段，對(duì)于正碰撞的恢復(fù)階段，推導(dǎo)的過(guò)程完全類(lèi)同。首先，在物體A距離作用面C-C的處取一微段（參見(jiàn)圖3b），對(duì)于正碰撞過(guò)程的任一時(shí)刻，由于變形的存在，物體A上各點(diǎn)相對(duì)于作用面C-C上的位移量（壓縮量）是不一樣的，值越大，同一時(shí)刻微段處的位移量也越大。顯然，位移量是參數(shù)的連續(xù)遞增函數(shù)，即，其中函數(shù)隨著的增大而增大，隨著的減小而減小。當(dāng)微段足夠靠近C-C作用面時(shí)，有：，即此時(shí)微段位移量趨于為零，因此它與C-C的作用面應(yīng)視為同步的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。同理也可以得出，位于C-C作用面上右側(cè)的物體B應(yīng)該具有相同的情況

9、。于是，我們可以把C-C作用面的左右兩邊假想地分割出兩個(gè)薄片物體L和R，其各自的厚度均為，（見(jiàn)圖3c）。只要分割出的兩薄片的厚度足夠小，即微段足夠靠近C-C作用面，按照上面的理論，就可以認(rèn)為物體A、B碰撞時(shí)，兩個(gè)分離出來(lái)的薄片物體L和R，具有同步的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。運(yùn)用1.2中的結(jié)論，便可得出兩個(gè)薄片L和R間的作用力與反作用力，大小相等方向相反的結(jié)論。由于薄片之間的作用力就是物體A、B之間的正壓力，因此這就推導(dǎo)出了正碰撞時(shí)，物體之間產(chǎn)生的相互作用力符合牛頓第三定律的結(jié)論。（2）、兩物體之間的一般碰撞一般碰撞除了在接觸表面間產(chǎn)生正壓力外，還產(chǎn)生了由于碰撞面之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)（或運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)）而產(chǎn)生的摩擦力。前面

10、已經(jīng)得出正壓力符合牛頓第三定律，現(xiàn)在只要推導(dǎo)摩擦力符合牛頓第三定律就可以了。對(duì)摩擦現(xiàn)象的研究表明，摩擦力產(chǎn)生的根本原因，是物體接觸面之間由于微觀(guān)上的凸凹不平，導(dǎo)致的相互碰撞的結(jié)果，正如恩格斯所說(shuō)的那樣，“摩擦無(wú)非是碰撞的一種形式”（這里應(yīng)理解為正碰撞，見(jiàn)下面的補(bǔ)充推導(dǎo)）。由于物體之間的碰撞(即正碰撞)產(chǎn)生的作用力與反作用力遵從牛頓第三定律，因此物體接觸表面間產(chǎn)生的摩擦力一定也服從牛頓第三定律。這就得出了兩物體之間的一般碰撞同樣服從牛頓第三定律的結(jié)論。為了進(jìn)一步論證物體之間的摩擦力服從牛頓第三定律，下面進(jìn)行理論上的補(bǔ)充推導(dǎo)。圖4 物體A、B表面之間的摩擦力分析設(shè)物體A與物體B表面相互接觸，將接觸

11、處在顯微鏡下放大，可以看出物體表面接觸處的凸凹不平（見(jiàn)圖4a、4b）。設(shè)某一時(shí)刻有個(gè)點(diǎn)接觸，選擇其中的一個(gè)接觸點(diǎn)（），顯然，物體A通過(guò)點(diǎn)對(duì)物體B的作用同樣可視為一般碰撞，碰撞力自然也包括正壓力和摩擦力。將個(gè)這樣的點(diǎn)中的正壓力及摩擦力分別進(jìn)行合并，便得到了一個(gè)總的正壓力和一個(gè)總的摩擦力，我們稱(chēng)為1級(jí)正壓力，為1級(jí)摩擦力，以區(qū)別于A、B物體接觸面間的正壓力和摩擦力（實(shí)際上和都是由摩擦力分解出來(lái)的）。同樣地，我們把1級(jí)摩擦力再在顯微鏡下放大（參見(jiàn)圖4c），基于上述同樣的理由，可以得到2級(jí)正壓力和2級(jí)摩擦力，照此下去，就可以將分解為和， 于是有如下表達(dá)式： （1）由于同一級(jí)的正壓力一定大于摩擦力（摩擦

12、系數(shù)遠(yuǎn)小于1），于是：（指絕對(duì)值），即（1）式是一個(gè)遞減級(jí)數(shù)，且，因此摩擦力=。這表明：A、B物體之間的摩擦力可看成是由一系列正碰撞產(chǎn)生的正壓力（）所構(gòu)成的，由于正碰撞遵守牛頓第三定律，因此摩擦力同樣遵守牛頓第三定律。這里應(yīng)注意，我們并沒(méi)有對(duì)碰撞體進(jìn)行限制，因此得到的結(jié)論對(duì)于碰撞的各種情形都是適用的。1.4、兩個(gè)物體之間的復(fù)合作用（各做任一運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)物體產(chǎn)生的相互作用）兩個(gè)物體之間的復(fù)合作用，是指兩個(gè)物體各自處于任一運(yùn)動(dòng)，在相互接觸的作用面之間產(chǎn)生的作用力與反作用力。顯然，這是物體之間作用的最一般情況。由于兩個(gè)物體各為任一運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，故通常情況下，在相互作用的表面之間也會(huì)產(chǎn)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)或具有相對(duì)運(yùn)

13、動(dòng)的趨勢(shì)。參見(jiàn)圖5，（a）為A、B兩物體相互作用的一般情況。以物體B為研究對(duì)象，作受力分析圖（b），顯然在接觸面處 B受到A的兩個(gè)作用力：正壓力和摩擦力。根據(jù)力的獨(dú)立作用原理，可以將正壓力和摩擦力對(duì)物體B的作用情況分開(kāi)進(jìn)行研究（因?yàn)檫@并不改變它們之間的作用結(jié)果）。圖5、作復(fù)合運(yùn)動(dòng)兩物體間的作用力（1）、物體B受正壓力的作用見(jiàn)圖5（c），顯然，此時(shí)接觸面處的B相對(duì)于A沒(méi)有運(yùn)動(dòng)及趨勢(shì)（否則物體B就會(huì)受到A的摩擦力的作用），于是兩物體之間為同步運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。參照1.2中的結(jié)論，因此物體A、B之間的正壓力一定遵守牛頓第三定律。（2）、物體B受摩擦力的作用顯然，運(yùn)用1.3中的結(jié)論可知，摩擦力也必定遵守牛頓第

14、三定律。于是將其A、B各自的正壓力和摩擦力合并為一個(gè)力，自然得出此種情況下的作用力與反作用力同樣遵守牛頓第三定律的結(jié)論。2、物體與液體以及液體與液體之間的作用只要將液體看成變形體，就不難得出以上同樣的結(jié)論，這里從略。二、牛頓第三定律在非慣性參考系和相對(duì)論條件下的可演繹性這里不作全面闡述，僅就部分情況進(jìn)行推導(dǎo)1、牛頓第三定律在非慣性參考系的可演繹性1.1、作為高等學(xué)校教材，文獻(xiàn)2是這樣定義慣性系的：“凡是牛頓運(yùn)動(dòng)定律適用的參照系，稱(chēng)為慣性參照系，而牛頓運(yùn)動(dòng)定律不適用的參照系，稱(chēng)為非慣性參照系” 2。即非慣性參考系中，牛頓定律不適用。對(duì)于牛頓定律為什么在非慣性系中不適用，現(xiàn)有教材都只對(duì)第二定律的進(jìn)

15、行了說(shuō)明，對(duì)第三定律并沒(méi)有給出明確的表述。在文獻(xiàn)1中，除了與文獻(xiàn)2對(duì)牛頓第二定律進(jìn)行同樣的解釋外，又特別指出牛頓第三定律只適用于慣性參考系，在非慣性參考系中并不適用3。那么在非慣性系中牛頓第三定律是否適用呢？現(xiàn)在我們來(lái)進(jìn)行分析。首先，牛頓第一定律不適用于非慣性系是顯而易見(jiàn)的，因?yàn)橛傻诙刹贿m用于非慣性系，自然會(huì)得出第一定律也一定不適用于非慣性系（就數(shù)值而言，只要令加速度，就可以得到牛頓第一定律）。對(duì)第三定律，情況就不那么簡(jiǎn)單了。原因是第三定律是對(duì)作用力與反作用力之間關(guān)系的一種定性描述，且是作為一條基礎(chǔ)定律而獨(dú)立存在的，這就隱含著第三定律是否成立，只能用實(shí)驗(yàn)觀(guān)測(cè)的方法。即在非慣性參考系中，要用

16、大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，對(duì)牛頓第三定律是否成立進(jìn)行諸多事實(shí)上的描述。然而在非慣性系中，對(duì)牛頓第三定律進(jìn)行實(shí)驗(yàn)是非常困難的，即使得到了結(jié)論，也只能是局部觀(guān)測(cè)的結(jié)果，不能說(shuō)明全部。正因?yàn)槿绱耍F(xiàn)今的物理界對(duì)非慣性系中的牛頓第三定律是否適用，或者避而不談、或者隱晦說(shuō)明，很少像文獻(xiàn)1那樣說(shuō)得明確。然而，由于缺乏實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，又不能對(duì)牛頓第三定律這種基礎(chǔ)性定律進(jìn)行演繹，文獻(xiàn)1中得出的結(jié)論卻又確確實(shí)實(shí)是錯(cuò)誤的，實(shí)際上它是物理教材結(jié)論模糊的結(jié)果。因?yàn)槲覀儠?huì)自然認(rèn)為：“牛頓定律不適用于非慣性系，牛頓第三定律是牛頓定律，因此牛頓第三定律也就不適用于非慣性系”。那么，非慣性系中牛頓第三定律到底是否適用呢？以下我們用本篇所提出

17、的演繹的方法，試著加以解決。1.2、牛頓第三定律在非慣性系中的可演繹性首先對(duì)保持同步運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的相互作用（兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的接觸處沒(méi)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)或沒(méi)有運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)）進(jìn)行演繹。圖6 非慣性參考系中的作用力與反作用力設(shè)在非慣性參考系中，A、B質(zhì)點(diǎn)作變速運(yùn)動(dòng)，加速度為。運(yùn)動(dòng)軌跡為任一曲線(xiàn)（見(jiàn)圖6）。設(shè)非慣性系相對(duì)于慣性系作加速度為，為了簡(jiǎn)化證明過(guò)程，設(shè)非慣性系作平動(dòng)，方向與相同。按照普通物理學(xué)中的方法，可以將物體在非慣性系中的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為在慣性系中的運(yùn)動(dòng)，方法是只要將受力物體加上慣性力，該慣性力的大?。ㄆ渲袨楸晦D(zhuǎn)化物體的質(zhì)量），方向與加速度相反。設(shè)質(zhì)點(diǎn)A、B處在任一位置狀態(tài)，質(zhì)點(diǎn) A作用在質(zhì)點(diǎn)B上的力為，質(zhì)

18、點(diǎn)B作用在質(zhì)點(diǎn)A上的力為，分別以質(zhì)點(diǎn)A、質(zhì)點(diǎn)B、質(zhì)點(diǎn)組AB為研究對(duì)象，則由第二定律得（參見(jiàn)圖6）：；所以：即：又：，所以于是得：這表明在非慣性系中，該種情況下的質(zhì)點(diǎn)A與質(zhì)點(diǎn)B的作用力與反作用力仍然遵守牛頓第三定律。按照第一節(jié)的思路和證明過(guò)程，不難得出在非慣性系中，物體之間的作用力與反作用力仍然大小相等方向相反，作用在同一條直線(xiàn)上，即牛頓第三定律在非慣性系中仍然成立。2、牛頓第三定律在相對(duì)論條件下的可演繹性作為牛頓第三定律可演繹性應(yīng)用的另一個(gè)例子，我們就高速物體之間的作用力與反作用力的關(guān)系進(jìn)行演繹。由于這類(lèi)問(wèn)題的復(fù)雜性，我們僅就兩個(gè)沒(méi)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)物體的平動(dòng)情況進(jìn)行討論。同樣地，由于對(duì)牛頓第三定律停留在基礎(chǔ)定律的層面上，現(xiàn)今的教材并沒(méi)有對(duì)相對(duì)論條件下的牛頓第三定律是否成立進(jìn)行明確的說(shuō)明（理由或許是因?yàn)榛A(chǔ)定律只能用事實(shí)說(shuō)話(huà)，即是否成立只能在高速運(yùn)動(dòng)的論條件下進(jìn)行檢驗(yàn)，這等于說(shuō)無(wú)法檢驗(yàn)）。在各類(lèi)物理教材的相對(duì)論一節(jié)中，給出了作用力與物體速度、質(zhì)量的關(guān)系式：，這里質(zhì)量是速度的函數(shù)，即。于是有：圖7 相對(duì)論條件下的作用力與反作用力參見(jiàn)圖7，不妨設(shè)物體A、B兩端分別作用兩個(gè)力和，現(xiàn)分別就物體A和物體B，以及物體A、B在相對(duì)論條件下的作用力與反作用力的情況進(jìn)行分析。仍然采用整體、個(gè)體的分析方法分別列平衡方程式，得出如下式子（式中代表質(zhì)量，代表速度，由于物