結(jié)構(gòu)力學(xué) 位移計(jì)算

1、Displacement of Statically Determinate StructuresxyAAFPDC CDDCFP 鐵路工程技術(shù)規(guī)范規(guī)定鐵路工程技術(shù)規(guī)范規(guī)定:(1) 剛度要求剛度要求如：如：在工程上，在工程上，吊車梁允許的撓度吊車梁允許的撓度 1/600 跨度；跨度；橋梁在豎向活載下，橋梁在豎向活載下，鋼板橋梁和鋼桁梁最大撓度鋼板橋梁和鋼桁梁最大撓度 1/700 和和1/900跨度跨度高層建筑的最大位移高層建筑的最大位移 1/1000 高度。高度。最大層間位移最大層間位移 1/800 層高。層高。（3）理想聯(lián)結(jié)）理想聯(lián)結(jié) (Ideal Constraint)。 (2) 超靜定、動(dòng)

2、力和穩(wěn)定計(jì)算超靜定、動(dòng)力和穩(wěn)定計(jì)算(3）施工要求）施工要求（principle of superposition)(1) 線彈性線彈性 (Linear Elastic),(2) 小變形小變形 (Small Deformation),一、位移計(jì)算的一般公式一、位移計(jì)算的一般公式 (General Formula of Displacements) 下面從虛功方程入手，討論桿系結(jié)構(gòu)位下面從虛功方程入手，討論桿系結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式。移計(jì)算的一般公式。 設(shè)待求的實(shí)際廣義設(shè)待求的實(shí)際廣義位移為位移為K實(shí)際位移狀態(tài)實(shí)際位移狀態(tài)P?BxKABC虛設(shè)的力狀態(tài)虛設(shè)的力狀態(tài)PKABC ，與，與K對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)的的廣

3、義力為廣義力為P。 設(shè)僅在水平力設(shè)僅在水平力PK作用下，與之平衡的軸作用下，與之平衡的軸力、剪力和彎矩分別為力、剪力和彎矩分別為MQN,MQN, 若結(jié)構(gòu)有已知支座位移為若結(jié)構(gòu)有已知支座位移為ci實(shí)際位移狀態(tài)實(shí)際位移狀態(tài)P?KABC虛設(shè)的力狀態(tài)虛設(shè)的力狀態(tài)PKABCd、d和和dRc ，與其對(duì)應(yīng)與其對(duì)應(yīng)的由廣義力的由廣義力 PK 引起的支座反力為引起的支座反力為R 又設(shè)與內(nèi)力又設(shè)與內(nèi)力 對(duì)應(yīng)的微段實(shí)際對(duì)應(yīng)的微段實(shí)際變形分別為變形分別為d、d和和d。MQN,MQN, CRdQdMdNK 外力虛功外力虛功W外虛外虛 =Ri Ci+PKK 由虛功方程由虛功方程 dQdMdNW內(nèi)虛內(nèi)虛 內(nèi)力虛功內(nèi)力虛功令

4、令PK=1W外虛外虛 = W內(nèi)虛內(nèi)虛 則結(jié)構(gòu)虛功方程改寫為則結(jié)構(gòu)虛功方程改寫為 CRdQdMdNK RQMN,由單位載荷由單位載荷Pk=1引起的內(nèi)力和反力引起的內(nèi)力和反力Cddd, 實(shí)際狀態(tài)中的微段變形、支座位移實(shí)際狀態(tài)中的微段變形、支座位移k 實(shí)際狀態(tài)中擬求的位移實(shí)際狀態(tài)中擬求的位移單位載荷法單位載荷法馬克斯威爾馬克斯威爾-莫爾莫爾（Maxwell-Mohr）法）法k 計(jì)算結(jié)果為正，所求的位移與單位力指向一致，計(jì)算結(jié)果為正，所求的位移與單位力指向一致，否則相反否則相反公式的普遍性表現(xiàn)在：公式的普遍性表現(xiàn)在：2. 結(jié)構(gòu)類型：梁、剛架、桁架、拱、組合結(jié)構(gòu)；結(jié)構(gòu)類型：梁、剛架、桁架、拱、組合結(jié)構(gòu)；

5、 靜定和超靜定結(jié)構(gòu)；靜定和超靜定結(jié)構(gòu)；1. 位移原因：載荷、溫度改變、支座移動(dòng)等；位移原因：載荷、溫度改變、支座移動(dòng)等；3. 材料性質(zhì)：線性、非線性；材料性質(zhì)：線性、非線性；4. 變形類型：彎曲、拉變形類型：彎曲、拉(壓壓) 、剪切變形；、剪切變形；5. 位移種類：線位移、角位移；相對(duì)線位移位移種類：線位移、角位移；相對(duì)線位移 和相對(duì)角位移。和相對(duì)角位移。 CRdQdMdNK BA?AB(b)試確定指定廣義位移對(duì)應(yīng)的單位廣義力。試確定指定廣義位移對(duì)應(yīng)的單位廣義力。A?A(a)PK=1PK=1PK=1ABCd?BC(c)dPK1 dPk1 ABC2d1d(d)?ACAB11d11d21d21d試

6、確定指定廣義位移對(duì)應(yīng)的單位廣義力。試確定指定廣義位移對(duì)應(yīng)的單位廣義力。AB?AB(e)P=1P=1C(f)C左右=？P=1P=1試確定指定廣義位移對(duì)應(yīng)的單位廣義力。試確定指定廣義位移對(duì)應(yīng)的單位廣義力。P=1?A(g)A?AB(h)ABP=1P=1試確定指定廣義位移對(duì)應(yīng)的單位廣義力。試確定指定廣義位移對(duì)應(yīng)的單位廣義力。1.、載荷作用下的位移計(jì)算、載荷作用下的位移計(jì)算 dMdQdNkP對(duì)于由對(duì)于由線彈性線彈性直桿直桿組成的結(jié)構(gòu)，由材料力學(xué)有：組成的結(jié)構(gòu)，由材料力學(xué)有：EIdsMdGAdsKQdEAdsNdPPP , , CRdQdMdNK PPPMQN,結(jié)構(gòu)在載荷作用下實(shí)際狀態(tài)中微段的內(nèi)力結(jié)構(gòu)在載

7、荷作用下實(shí)際狀態(tài)中微段的內(nèi)力式中：式中：E 彈性模量；彈性模量； G 剪切模量；剪切模量；A 橫截面積；橫截面積； I 截面慣性矩；截面慣性矩；K 截面形狀系數(shù)。如：對(duì)矩形截截面形狀系數(shù)。如：對(duì)矩形截面面k=6/5; 圓形截面圓形截面k=10/9。sEIMMGAQQKEANNPPPKPd 軸向軸向剪切剪切彎曲彎曲內(nèi)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定如下：內(nèi)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定如下：軸力軸力 以拉力為正；以拉力為正；PNN,剪力剪力 使微段順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)使微段順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng) 者為正；者為正；QQP,彎矩彎矩 只規(guī)定乘積的正負(fù)只規(guī)定乘積的正負(fù)號(hào)。使桿件同側(cè)纖維受拉時(shí)，號(hào)。使桿件同側(cè)纖維受拉時(shí)，其乘積取為正。其乘積取為正。MMP,一

8、般來說，剪切變形影響很小，通常忽略不計(jì)。一般來說，剪切變形影響很小，通常忽略不計(jì)。1. 對(duì)梁和剛架：對(duì)梁和剛架： EIsMMPKPd 2. 對(duì)桁架：對(duì)桁架： EAlNNEAsNNPPkPd3. 對(duì)組合結(jié)構(gòu)：對(duì)組合結(jié)構(gòu)：sEIMMGAQQKEANNPPPKPd EAlNNEIsMMPPkPdPl/2l/2EIABx1x2求圖示等截面梁求圖示等截面梁B端轉(zhuǎn)角。端轉(zhuǎn)角。解：解：1）虛擬單位荷載）虛擬單位荷載m=12）MP 須分段寫須分段寫)20(2)(lxPxxMP)2(2)()(lxlxlPxMP)0()(lxlxxMlPBdxEIMM0llldxEIlxxlPdxEIlxPx2201)(2)(1

9、)(2EIPl162例例 ：求剛架：求剛架A點(diǎn)的豎向位移。點(diǎn)的豎向位移。解：構(gòu)造虛設(shè)狀態(tài)解：構(gòu)造虛設(shè)狀態(tài)（實(shí)際狀態(tài)）（實(shí)際狀態(tài)）分別列出實(shí)際狀態(tài)和虛擬狀態(tài)中各桿的內(nèi)力分別列出實(shí)際狀態(tài)和虛擬狀態(tài)中各桿的內(nèi)力方程（或畫出內(nèi)力圖）方程（或畫出內(nèi)力圖）（虛擬狀態(tài)）（虛擬狀態(tài)）qxxQPFqlqlPFNx221qxPM221ql載荷內(nèi)力圖載荷內(nèi)力圖xxlMx1PFQ1PFN單位內(nèi)力圖單位內(nèi)力圖將內(nèi)力方程代入公式將內(nèi)力方程代入公式 GAsQQKEAsNNEIsMMPPPAyddd)54581(85224GAlkEIAlIEIql ，有：，有：例例 2：求曲梁：求曲梁B點(diǎn)的豎向位移點(diǎn)的豎向位移 和水和水 平

10、位移平位移 。(EI、EA、GA已知已知)Bx By ROBAFP解：構(gòu)造虛設(shè)的力狀態(tài)如圖示解：構(gòu)造虛設(shè)的力狀態(tài)如圖示FP=1R sinRMyFP =1R)cos1( RMxFPRPM sinPRFMPlPPByEIPRREIMMsEIMM0203)(4dd )(23EIPRBx 同理有：同理有：將內(nèi)力方程代入位移計(jì)算公式將內(nèi)力方程代入位移計(jì)算公式,可得可得三鉸拱的分析三鉸拱的分析同此類似，但一般同此類似，但一般要考慮要考慮軸力對(duì)位移的貢獻(xiàn)軸力對(duì)位移的貢獻(xiàn)，也即，也即EAsFFEIsMMPPPddNN 例例 3：求對(duì)稱桁架：求對(duì)稱桁架D點(diǎn)的豎向位移點(diǎn)的豎向位移 。圖中。圖中 右半部各括號(hào)內(nèi)數(shù)值

11、為桿件的截面積右半部各括號(hào)內(nèi)數(shù)值為桿件的截面積A ，設(shè)，設(shè) E=210GPa。)m10(21Dy FN解：解： 構(gòu)造虛擬狀態(tài)并求出實(shí)際和虛擬狀構(gòu)造虛擬狀態(tài)并求出實(shí)際和虛擬狀態(tài)中各桿的內(nèi)力態(tài)中各桿的內(nèi)力代入公式得：代入公式得：)(mm 8 EAlNNPDyN(Analysis of Displacements in a Statically Determinate Structures Induced by Support Movement)1c2c3cKKKC實(shí)際位移狀態(tài)實(shí)際位移狀態(tài)虛擬力狀態(tài)虛擬力狀態(tài)1K1RF2RF3RF靜定結(jié)構(gòu)由于支座移動(dòng)并不產(chǎn)生內(nèi)力，材靜定結(jié)構(gòu)由于支座移動(dòng)并不產(chǎn)生內(nèi)力，

12、材料（桿件）也不產(chǎn)生變形，只發(fā)生剛體位料（桿件）也不產(chǎn)生變形，只發(fā)生剛體位移。（該位移也可由幾何關(guān)系求得）。移。（該位移也可由幾何關(guān)系求得）。 0ddd iicCR CRdQdMdNK 例例1：求：求?CxCBAFP=11AxF1CyF1AyF虛擬力狀態(tài)虛擬力狀態(tài)解：構(gòu)造虛設(shè)力狀態(tài)解：構(gòu)造虛設(shè)力狀態(tài)1c2c3c實(shí)際位移狀態(tài)實(shí)際位移狀態(tài)CBAll)()111 (321321CCCCCCCx解：構(gòu)造虛設(shè)力狀態(tài)解：構(gòu)造虛設(shè)力狀態(tài)RAyRAx例例 2：已知：已知 l=12 m , h=8 m , m 04. 0Bx m 06. 0By ?A , 求求( ) rad 0075. 0)211(BxByii

13、AhlcR iiNdN3.制造誤差引起的位移制造誤差引起的位移 制造誤差制造誤差 4 . 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時(shí)的位移計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時(shí)的位移計(jì)算 (Analysis of Displacements in a Statically Determinate Structures Induced by Temperature Changes) CRdQdMdNK 一般公式一般公式 dMdNt圖示結(jié)構(gòu)，設(shè)外側(cè)溫度升高圖示結(jié)構(gòu)，設(shè)外側(cè)溫度升高 ，內(nèi)側(cè)溫，內(nèi)側(cè)溫度升高度升高 ，求，求K點(diǎn)的豎向位移點(diǎn)的豎向位移 。tKy)( 2t1t設(shè)溫度沿桿件截面厚度為線性分布設(shè)溫度沿桿件截面厚度為線性分布，桿軸，桿

14、軸溫度溫度 與上、下邊緣的溫差與上、下邊緣的溫差 為：為：tt 121221ttthththt stdd hththtthhtt21121211 )( d d另外，溫度變化時(shí)，桿件不引起剪應(yīng)變，另外，溫度變化時(shí)，桿件不引起剪應(yīng)變，微段軸向伸長和截面轉(zhuǎn)角為：微段軸向伸長和截面轉(zhuǎn)角為：hststdddd 線線膨膨脹脹系系數(shù)數(shù) FP=1NN 圖面積圖面積M hsMtsNthstMstNMNtKydddddd)( 對(duì)等對(duì)等 截截 面面 直直 桿桿 MNhtt 圖面積圖面積NF將溫度引起的變形代入公式，可得將溫度引起的變形代入公式，可得上式中的正、負(fù)號(hào)：上式中的正、負(fù)號(hào)：若溫度以升高為正，則軸力以拉為正

15、；若溫度以升高為正，則軸力以拉為正；若若 和和 使桿件的同一邊產(chǎn)生拉伸使桿件的同一邊產(chǎn)生拉伸變形，其乘積為正。變形，其乘積為正。 Mt 對(duì)梁和剛架：對(duì)梁和剛架：對(duì)桁架：對(duì)桁架： MNthtt lNtt 幾種情況：幾種情況：溫度引起的軸向溫度引起的軸向變形影響不能少。變形影響不能少。例：例： 剛架施工時(shí)溫度為剛架施工時(shí)溫度為20 ，試求冬季，試求冬季外側(cè)溫度為外側(cè)溫度為 -30 ，內(nèi)側(cè)溫度為，內(nèi)側(cè)溫度為-20 時(shí)時(shí)A點(diǎn)的豎向位移點(diǎn)的豎向位移 。已知。已知 l=4 m, ,各桿均為矩形截面桿，高度各桿均為矩形截面桿，高度 h=0.4 mC0C0C0Ay 510 實(shí)際狀態(tài)實(shí)際狀態(tài)解：構(gòu)造虛擬狀態(tài)解：

16、構(gòu)造虛擬狀態(tài)虛擬狀態(tài)虛擬狀態(tài)單位荷載內(nèi)力圖為：單位荷載內(nèi)力圖為：M圖圖N圖圖CtCt0010)30(20,252)20()30( )(005. 0 mhttMNAy 等于等于0溫度溫度支座支座 dddMQNcRii多種因素下的位移計(jì)算一般公式多種因素下的位移計(jì)算一般公式 )d()d()d()d()d()d(tPtPtPiiMQNcR ttPPPiiMNMQNcR)d()d()d()d()d( tPCMNPPPiihttsEIMMsGAQQksEANNcR ddd 例例 3：求：求?Cx 1c2c3c實(shí)際位移狀態(tài)實(shí)際位移狀態(tài)CBAllPC010解：構(gòu)造虛設(shè)力狀態(tài)解：構(gòu)造虛設(shè)力狀態(tài))1(10)(1

17、63213hllCCCEIPlCx CBA1AxF1CyF1AyF虛擬力狀態(tài)虛擬力狀態(tài)Pk=1同時(shí)考慮載荷、溫度和支座位移的影響同時(shí)考慮載荷、溫度和支座位移的影響已有基礎(chǔ)：1. 靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算；靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算；2. 利用位移計(jì)算公式求靜定結(jié)構(gòu)的位移；利用位移計(jì)算公式求靜定結(jié)構(gòu)的位移；3. 桿件結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算公式桿件結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算公式,即即: GAsQQkEAsNNEIsMMPPPPddd (Graphic Multiplication Method and its Applications)梁、剛架結(jié)構(gòu)梁、剛架結(jié)構(gòu) GAsQQkEAsNNEIsMMPPPPddd

18、 EIsMMPPdsEIMMPdsMMEIPd1xMxEIPdtan1 xxMEIPdtan ccyEIxEI 1tan必須注意必須注意適用條件適用條件圖乘法是圖乘法是Vereshagin于于1925年提出的，他當(dāng)時(shí)年提出的，他當(dāng)時(shí)為莫斯科鐵路運(yùn)輸學(xué)院的學(xué)生。為莫斯科鐵路運(yùn)輸學(xué)院的學(xué)生。二、幾種常見圖形的面積和形心位置的二、幾種常見圖形的面積和形心位置的確定方法確定方法指曲指曲線切線與線切線與桿軸重合桿軸重合或平行或平行C2nl2)1(nln1nhl h三、注意事項(xiàng)：三、注意事項(xiàng)：1. 圖乘法的應(yīng)用條件：圖乘法的應(yīng)用條件：（1）等截面直桿，）等截面直桿，EI為常數(shù)；為常數(shù)；（2）兩個(gè)）兩個(gè)M圖

19、中應(yīng)有一個(gè)是直線；圖中應(yīng)有一個(gè)是直線；（3） 應(yīng)取自直線圖中。應(yīng)取自直線圖中。cy2. 若若 與與 在桿件的同側(cè)，在桿件的同側(cè)， 取正值；取正值；反之，取負(fù)值。反之，取負(fù)值。cycy3. 如圖形較復(fù)雜，可分解為簡單圖形如圖形較復(fù)雜，可分解為簡單圖形.(1) 曲曲-折組合折組合jjKiyyyyxMM 332211d例如例如(2) 梯梯-梯同側(cè)組合梯同側(cè)組合122211dyyxMMKi 3)2(3)2(21dcydcy(3) 梯梯-梯異側(cè)組合梯異側(cè)組合1 1y2 2yABCDabcdKM圖圖M圖圖b c取取負(fù)負(fù)值值2211dyyxMMKi 3)2(3)2(21dcydcy(4) 階梯形截面桿階梯形

20、截面桿jjjjKiIEyIEyIEyIEyxEIMM 333322221111d例例 1. 設(shè)設(shè) EI 為常數(shù)，求為常數(shù)，求 和和 。Cy B 2l2l解：作荷載內(nèi)力圖和單位荷載內(nèi)力圖解：作荷載內(nèi)力圖和單位荷載內(nèi)力圖BAq281qlPM圖圖CABFP=1M圖圖4l)(38452)485()81232(142EIqllqllEICy 對(duì)嗎？對(duì)嗎？CABM圖圖121EIqlqllEIB3224121)8132(1 （ ）BAq281qlPM圖圖Pl/2l/2C例：求圖示梁例：求圖示梁C點(diǎn)的撓度。點(diǎn)的撓度。MPPlCP=1l/2Ml/6l6EIPl123=PlEIC212=DEIPl4853Pl65

21、llEIyC222105Pl/6？例例 2. 已知已知 EI 為常數(shù)，求剛架為常數(shù)，求剛架C、D兩點(diǎn)兩點(diǎn)距離的改變距離的改變 。CD 解：作荷載內(nèi)力圖和單位荷載內(nèi)力圖解：作荷載內(nèi)力圖和單位荷載內(nèi)力圖)(12832132EIqhlhlqlEIEIycCD hyc2p117例例 3. 已知已知 EI 為常數(shù)，求剛架為常數(shù)，求剛架A點(diǎn)的豎向位點(diǎn)的豎向位移移 ，并繪出剛架的變形曲線。，并繪出剛架的變形曲線。Ay FP解：作荷載內(nèi)力圖和單位荷載內(nèi)力圖解：作荷載內(nèi)力圖和單位荷載內(nèi)力圖在在 圖求面積，在圖求面積，在 圖取豎標(biāo)，有：圖取豎標(biāo)，有：MPM)(16423212213PPPEIlFlFllEIlFl

22、lEIEIycAy M圖圖EI2EIPM圖圖FPl/2FPl/2FPl/2FPl/4FPFPl/4繪制變形圖時(shí)，應(yīng)根據(jù)彎矩圖判斷桿件的繪制變形圖時(shí)，應(yīng)根據(jù)彎矩圖判斷桿件的凹凸方向，注意反彎點(diǎn)的利用。如：凹凸方向，注意反彎點(diǎn)的利用。如：PM圖圖FPl/2FPl/2FPl/2FPl/4FPFPl/4FP例例 4. 已知：已知： E、I、A為常數(shù)，求為常數(shù)，求 。Cy ABCFP2l2laD解：作荷載內(nèi)力圖和單位荷載內(nèi)力圖解：作荷載內(nèi)力圖和單位荷載內(nèi)力圖EAaFEIlFaFEAllFlEIsEAFFsEIMMlaPPCy4482211432)4221(2ddP3PPP00NN 請(qǐng)對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行適當(dāng)討論！ABCFP2laD4PlFPM2PNFFP2lABC12laD4lM21NF2l)121(4833PAlaIEIlFCy 4PlFPM2PPFFB 4lMABC2lk21 BF2lFP=1ABCFP2lk2lkF2PkFkFFB42PP kFFsEIMMkkPPd 例例 5. 已知已知 EI 為常數(shù)，求為常數(shù)，求 。Cy ABCq2l2l解：作荷載內(nèi)力圖和單位荷載內(nèi)力圖解：作荷載內(nèi)力圖和單位荷載內(nèi)力圖A22ql82qlBCPM圖圖A12lM圖圖一種算法：一種算法：)(1285)128364(1)2438323121282(144422EIqlql