圓的有關(guān)證明與計(jì)算題專(zhuān)題

1、圓的證明與計(jì)算專(zhuān)題研究圓的證明與計(jì)算是中考中的一類(lèi)重要的問(wèn)題，此題完成情況的好壞對(duì)解決后面問(wèn)題的發(fā)揮有重要的影響，所以解決好此題比較關(guān)鍵。一、考點(diǎn)分析：1.圓中的重要定理：(1)圓的定義：主要是用來(lái)證明四點(diǎn)共圓.(2)垂徑定理：主要是用來(lái)證明一一弧相等、線段相等、垂直關(guān)系等等(3)三者之間的關(guān)系定理：主要是用來(lái)證明一一弧相等、線段相等、圓心角相等(4)圓周角性質(zhì)定理及其推輪：主要是用來(lái)證明一一直角、角相等、弧相等(5)切線的性質(zhì)定理：主要是用來(lái)證明一一垂直關(guān)系.(6)切線的判定定理：主要是用來(lái)證明直線是圓的切線.(7)切線長(zhǎng)定理：線段相等、垂直關(guān)系、角相等.2.圓中幾個(gè)關(guān)鍵元素之間的相互轉(zhuǎn)化：

2、弧、弦、圓心角、圓周角等都可以通過(guò)相等來(lái)互相轉(zhuǎn)化.這在圓中的證明和計(jì)算中經(jīng)常用到.二、考題形式分析：主要以解答題的形式出現(xiàn)，第1問(wèn)主要是判定切線；第2問(wèn)主要是與圓有關(guān)的計(jì)算：求線段長(zhǎng)(或面積)；求線段比；求角度的三角函數(shù)值(實(shí)質(zhì)還是求線段比)。三、解題秘笈：1、判定切線的方法：(1)若切點(diǎn)明確，則“連半徑，證垂直”。常見(jiàn)手法有：全等轉(zhuǎn)化；平行轉(zhuǎn)化；直徑轉(zhuǎn)化；中線轉(zhuǎn)化等；有時(shí)可通過(guò)計(jì)算結(jié)合相似、勾股定理證垂直；(2)若切點(diǎn)不明確，則“作垂直，證半徑”。常見(jiàn)手法：角平分線定理；等腰三角形三線合一，隱藏角平分線；總而言之，要完成兩個(gè)層次的證明：直線所垂直的是圓的半徑(過(guò)圓上一點(diǎn))；直線與半徑的關(guān)系是

3、互相垂直。在證明中的關(guān)鍵是要處理好弧、弦、角之間的相互轉(zhuǎn)化，要善于進(jìn)行由此及彼的聯(lián)想、要總結(jié)常添加的輔助線.例：(1)如圖，AB是。的直徑，BdABAD/OC交。于D點(diǎn)，求證：CD為。的切線；(2)如圖，以RtABC勺直角邊AB為直徑作。Q交余邊AC于D,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連結(jié)DE求證：DE是。O的切線.(3)如圖，以等腰ABC勺一腰為直徑作。Q交底邊BC于D,交另一腰于F,若DELAC于E(或E為CF中點(diǎn))，求證：DE是OO的切線.(4)如圖，AB是。的直徑，AE平分/BAE交OO于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作直線EDLAF,交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q求證：CD是OO的切線.2、與圓有關(guān)的

4、計(jì)算：計(jì)算圓中的線段長(zhǎng)或線段比，通常與勾股定理、垂徑定理與三角形的全等、相似等知識(shí)的結(jié)合，形式復(fù)雜，無(wú)規(guī)律性。分析時(shí)要重點(diǎn)注意觀察已知線段間的關(guān)系，選擇定理進(jìn)行線段或者角度的轉(zhuǎn)化。特別是要借助圓的相關(guān)定理進(jìn)行弧、弦、角之間的相互轉(zhuǎn)化，找出所求線段與已知線段的關(guān)系，從而化未知為已知，解決問(wèn)題。其中重要而常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想方法有：(1)構(gòu)造思想：如：構(gòu)建矩形轉(zhuǎn)化線段；構(gòu)建“射影定理”基本圖研究線段(已知任意兩條線段可求其它所有線段長(zhǎng))；構(gòu)造垂徑定理模型：弦長(zhǎng)一半、弦心距、半徑；構(gòu)造勾股定理模型；構(gòu)造三角函數(shù).(2)方程思想：設(shè)出未知數(shù)表示關(guān)鍵線段，通過(guò)線段之間的關(guān)系，特別是發(fā)現(xiàn)其中的相等關(guān)系建立方程，

5、解決問(wèn)題。（3）建模思想：借助基本圖形的結(jié)論發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中的線段關(guān)系，把問(wèn)題分解為若干基本圖形的問(wèn)題，通過(guò)基本圖形的解題模型快速發(fā)現(xiàn)圖形中的基本結(jié)論，進(jìn)而找出隱藏的線段之間的數(shù)量關(guān)系。3、典型基本圖型：圖形1：如圖1:AB是。O的直徑，點(diǎn)E、C是。O上的兩點(diǎn)，基本結(jié)論有:（1）在“AC平分/BAE;"ADLCDDC是。O的切線”三個(gè)論斷中,（2）如圖2、3,DE等于弓形BCE勺高；DCAE的弦心距OF（或弓形知二推一。BCE勺半弦EECCCCEEFABABADC&AB于CECK=CDBK=DECK=-BE=DCAE+AB=BK=2ADGABOBGLCDBBBDDDGCACAOEO

6、OEE知一推(1)55圖1(2)CG=GDCE(3)中知一推如圖(4)3CEABO1）中的線段BA4O是AC上一點(diǎn)（3）如圖（4）BC的中點(diǎn)；)DE=BE=CE/CEB2/AAD2BH=2EHAC如圖：RtABO,/ABB90°,以AB為直徑作。交AC于D,基本結(jié)論有2：如圖：RtABC,/ACB90如右圖：（1）DE切。OE是（2）若DE切OO,則：dDOB、E四點(diǎn)共圓圖形特殊化：在（1）的條件下如圖1:DE/AB/ABCCDE等腰直角三角形KB2NAD。/ACBAC=AD?AB（4）在（1）中的條件、中任選兩個(gè)條件于E時(shí)（如圖5）,則：FHDER._AE13),若BC=CE則：X

7、=1CDBCBDBABD=BC四個(gè)論斷中.圖3BO?DE=CO?CECE;2Og半徑作。O交AC于點(diǎn)E,基本結(jié)論有DE=GBDC=CGAD+BG=AB©AD?BG1DG2DDD)設(shè)如圖2:若DE的延長(zhǎng)線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,若AB=BF則:EF）。D三EF圖形4:如圖，/CB的結(jié)論重合。A圖形5:：以直角梯形 ABCD勺直腰為直徑的圓切斜腰于AFO圖3圖2圖1E,基本結(jié)論有：A D(1)如圖 1 :AD+BC= CD /COD/AEB90 ;O計(jì)分/ ADQ或O評(píng)分/ BCD；(注：在、及CD基本結(jié)論有：(1)DELACDE切OO;(2)在DELAC或DE切。O下，有：/DFO等腰三

8、角形;EF=ECD是BF的中點(diǎn)。與基本圖形1連AD,產(chǎn)生母子三角形。是。0的切線”四個(gè)論斷中，知一推三)1一2_2AD-BC=AB2=R2;4(2)如圖2,連ABCO則有：CO/AE,CeAE=2R2(與基本圖形2重合)(3)如圖3,若EF±AB于F,交AC于G,則：EGFGPRLOO的半徑O時(shí)EPQW。于QBQ交直線PQTR圖形6:如圖：直線基本結(jié)論有：知二推一(1)(2)(3)PQ=PR(力PQ碇等腰三角形)；在“PRLOB、"PQW。0'、"PQ=PR中,2PRRE=BRRQ=BE2R=aB.OD圖1o,圖2圖形7:如圖，/ABCft接于。QI為AB

9、C勺內(nèi)心。基本結(jié)論有:(1)如圖1,BD=CD=IDDI2=DE-DA1/A舊=90+'/ACB2(2)如圖2,若/BA(=60,貝U:BD+CE=BC.BG圖形8:已知，AB是。的直徑，C是中點(diǎn)，CDLAB于D。BGixCDACBC=CG=AG于E、F?；窘Y(jié)論有：1(1) CD=LbGBE=EF=ccEGF=2DE2(反之，由CD=1BGBE=EFT得：C是BG女)2，一一1一一一，一(2) OE=_AF,OE/ACOD中AGF2(3) BE-BG=BDBA(4) 若D是OB的中點(diǎn)，則：/CEW等邊三角形；四、范例講解：垂足為 M MC勺延長(zhǎng)線DBE1 .4ABP中，/ABP=90

10、°,以AB為直徑作。O交AP于C點(diǎn)，弧CF=CB,過(guò)C作AF的垂線,交BPD.(1)求證：CM。的切線；(2)連BF交AP于E,若BE=6,EF=2,求變的值。AF2 .直角梯形ABCDK/BCD90°,AB=AD+BCAB為直徑的圓交BC于E,連OCBD交于F.求證：CD為。的切線若BE3,求空的值A(chǔ)B5DF3 .如圖，AB為直徑，PB為切線，點(diǎn)C在。0上，ACOP(1)求證：PC為。的切線。(2)過(guò)D點(diǎn)作DHAB,E為垂足，連AD交BC于GCC=3,DE=4,求變的值。DB4。如圖，已知ABC中，以邊BC為直徑的。O與邊AB交于點(diǎn)D,點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，AF為ABC勺角平

11、分線，且AHEC(1)求證：AC1。0相切；(2)若AO6,BO8,求EC的長(zhǎng)E(1)求證：DE=DF(2)連結(jié) AE 若 OF=1, BF=3,求 tan A 的值.O5 .如圖，RtAAB(C以AB為直徑作。O交AC于點(diǎn)D,6=企，過(guò)D作AE的垂線,(1)求證：DF為。的切線；(2)若DF=3,。的半徑為5,求tanBAC的值.6 .如圖，AB為。的直徑，CD為。O上的兩點(diǎn)，AD=DC,過(guò)D作直線BC的垂線交直線AB于點(diǎn)E,F為垂足.(1)求證：EF為。的切線；(2)若AO6,BD=5,求sinE的值.7 .如圖，AB為。的直徑，半徑OCLABD為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)D作。的切線，E為切點(diǎn)

12、，連結(jié)CE交AB于點(diǎn)F.A,直線0F交8 .如圖，RtAABC,/0=90°,BD平分/ABC以AB上一點(diǎn)O為圓心過(guò)B、D兩點(diǎn)作。0,。交AB于點(diǎn)一點(diǎn)EEFLA0于點(diǎn)F.(1)求證：O0與A0相切；(2)若EF=3,B0=4,求tanA的值.9 .如圖，等腰ABC,AB=A0以AB為直徑作。0交B0于點(diǎn)D,DELA0于E.(1)求證：DE為。0的切線；(2)若BG4J5,AE=1,求cosAEO的值.10 .如圖，BD為。0的直徑，A為B0的中點(diǎn)，A改B0于點(diǎn)E,F為B0延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且FD=FE.(1)求證：DF為。0的切線；(2)若AE=2,DE=4,BDF的面積為84,求tan

13、EDF的值.11、如圖，AB是。0的直徑，M是線段0A上一點(diǎn)，過(guò)M作AB的垂線交A0于點(diǎn)N交b0的延慶0.于:EN于點(diǎn)F,且/E0=ZE.(1)求證：0F是。0的切線；(2)設(shè)。0的半徑為1,且A0=0E寸,求AM的長(zhǎng).12、如圖，AB是。0的直徑，BdAB過(guò)點(diǎn)0作。0的切線0E,點(diǎn)D是0EM長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連結(jié)AQ且AD+B0=0D(1)求證：AD是。0的切線；(2)設(shè)0五A0于F,若0F=3,EF=2,求線段B0的長(zhǎng).13、如圖，ABO43,AB=B0以AB為直徑的。0交A0于點(diǎn)D,且0D=BD(1)求證：B0是。0的切線；BM延長(zhǎng)線交。O于E, EF/ AC分另1J交 BDD BN的延長(zhǎng)線于 H、F,若