固體物理習(xí)題解答

1、固體物理學(xué)部分習(xí)題解答1.3 證明：體心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是體心立方 。解 由倒格子定義 體心立方格子原胞基矢倒格子基矢同理 可見由為基矢構(gòu)成的格子為面心立方格子面心立方格子原胞基矢倒格子基矢 同理 可見由為基矢構(gòu)成的格子為體心立方格子1.4 證明倒格子原胞的體積為，其中為正格子原胞體積證 倒格子基矢 倒格子體積 1.5 證明：倒格子矢量垂直于密勒指數(shù)為的晶面系。證： 容易證明與晶面系正交。1.6 如果基矢構(gòu)成簡單正交系證明晶面族的面間距為說明面指數(shù)簡單的晶面，其面密度較大，容易解理證 簡單正交系 倒格子基矢 倒格子矢量晶面族的面間距面指數(shù)越簡單的晶面，其晶面的間

2、距越大晶面上格點(diǎn)的密度越大，這樣的晶面越容易解理1.9 指出立方晶格(111)面與(100)面，(111)面與(110)面的交線的晶向解 (111)面與(100)面的交線的ABAB平移，A與O重合。B點(diǎn)位矢（111）與（100）面的交線的晶向 晶向指數(shù)(111)面與(110)面的交線的AB 將AB平移，A與原點(diǎn)O重合，B點(diǎn)位矢(111)面與(110)面的交線的晶向晶向指數(shù)2.1證明兩種一價(jià)離子組成的一維晶格的馬德隆常數(shù)為. 證 設(shè)想一個(gè)由正負(fù)兩種離子相間排列的無限長的離子鍵，取任一負(fù)離子作參考離子（這樣馬德隆常數(shù)中的正負(fù)號可以這樣取，即遇正離子取正號，遇負(fù)離子取負(fù)號），用r表示相鄰離子間的距離

3、，于是有 前邊的因子2是因?yàn)榇嬖谥鴥蓚€(gè)相等距離的離子，一個(gè)在參考離子左面，一個(gè)在其右面，故對一邊求和后要乘2，馬德隆常數(shù)為當(dāng)X=1時(shí)，有 2.3 若一晶體的相互作用能可以表示為求 1）平衡間距 2）結(jié)合能W（單個(gè)原子的） 3）體彈性模量 4）若取 ，計(jì)算值。解 1）晶體內(nèi)能 平衡條件 2) 單個(gè)原子的結(jié)合能 3) 體彈性模量晶體的體積 A為常數(shù)，N為原胞數(shù)目晶體內(nèi)能 體彈性模量 由平衡條件 體彈性模量 （） 4） 2.6用林納德瓊斯(LennardJones)勢計(jì)算Ne在bcc（球心立方）和fcc（面心立方）結(jié)構(gòu)中的結(jié)合能之比值解 2.7對于，從氣體的測量得到LennardJones勢參數(shù)為計(jì)

4、算結(jié)合成面心立方固體分子氫時(shí)的結(jié)合能（以KJ/mol單位），每個(gè)氫分子可當(dāng)做球形來處理結(jié)合能的實(shí)驗(yàn)值為0.751kJmo1，試與計(jì)算值比較解 以為基團(tuán)，組成fcc結(jié)構(gòu)的晶體，如略去動(dòng)能，分子間按LennardJones勢相互作用，則晶體的總相互作用能為：因此，計(jì)算得到的晶體的結(jié)合能為2.55KJmol，遠(yuǎn)大于實(shí)驗(yàn)觀察值0.75lKJmo1對于的晶體，量子修正是很重要的，我們計(jì)算中沒有考慮零點(diǎn)能的量子修正，這正是造成理論和實(shí)驗(yàn)值之間巨大差別的原因3.1已知一維單原子鏈，其中第個(gè)格波，在第個(gè)格點(diǎn)引起的位移為，為任意個(gè)相位因子，并已知在較高溫度下每個(gè)格波的平均能量為，具體計(jì)算每個(gè)原子的平方平均位移。

5、 解 任意一個(gè)原子的位移是所有格波引起的位移的疊加，即 （1）由于數(shù)目非常大為數(shù)量級，而且取正或取負(fù)幾率相等，因此上式得第2項(xiàng)與第一項(xiàng)相比是一小量，可以忽略不計(jì)。所以由于是時(shí)間的周期性函數(shù)，其長時(shí)間平均等于一個(gè)周期內(nèi)的時(shí)間平均值為 （2）已知較高溫度下的每個(gè)格波的能量為kT，的動(dòng)能時(shí)間平均值為其中L是原子鏈的長度，使質(zhì)量密度，為周期。所以 （3）因此將此式代入（2）式有所以每個(gè)原子的平均位移為 3.2 討論N個(gè)原胞的一維雙原子鏈(相鄰原子間距為a)，其2N個(gè)格波解，當(dāng)M=m時(shí)與一維單原子鏈結(jié)果一一對應(yīng) 解 質(zhì)量為M的原子位于 2n-1， 2n+1， 2n+3 。 質(zhì)量為m的原子位于 2n， 2

6、n+2， 2n+4 。 牛頓運(yùn)動(dòng)方程 體系有N個(gè)原胞，有2N個(gè)獨(dú)立的方程方程的解A , B有 非零解 兩種不同的格波的色散關(guān)系 對應(yīng)一個(gè)q有兩支格波：一支聲學(xué)波和一支光學(xué)波 總的格波數(shù)目為2N M=m 長波極限情況下 與一維單原子晶格格波的色散關(guān)系一致3.3考慮一雙原子鏈的晶格振動(dòng)，鏈上最近鄰原子間力常數(shù)交錯(cuò)的等于c和10 c令兩種原子質(zhì)量相同，且最近鄰間距為求在和處的大略地畫出色散關(guān)系本題模擬雙原子分子晶體，如。解 a/2 C 10c ， 將代入上式有 是U，v的線性齊次方程組，存在非零解的條件為 =0，解出當(dāng)K=0時(shí)， 當(dāng)K=時(shí) 與的關(guān)系如下圖所示這是一個(gè)雙原子(例如)晶體3.6 計(jì)算一維

7、單原子鏈的頻率分布函數(shù) 解 設(shè)單原子鏈長度波矢取值 每個(gè)波矢的寬度狀態(tài)密度 dq間隔內(nèi)的狀態(tài)數(shù) 對應(yīng)取值相同，間隔內(nèi)的狀態(tài)數(shù)目 一維單原子鏈色散關(guān)系 令 兩邊微分得到 代入一維單原子鏈的頻率分布函數(shù)3.7設(shè)三維晶格的光學(xué)振動(dòng)在q=0附近的長波極限有求證：頻率分布函數(shù)為;. 解 依據(jù)，并帶入上邊結(jié)果有所以3.8有N個(gè)相同原子組成的面積為S的二維晶格，在德拜近似下計(jì)算比熱，并論述在低溫極限比熱正比于。證明：在到間的獨(dú)立振動(dòng)模式對應(yīng)于平面中半徑到間圓環(huán)的面積，且則3.9寫出量子諧振子系統(tǒng)的自由能，證明在經(jīng)典極限下，自由能為證明:量子諧振子的自由能為經(jīng)典極限意味著（溫度較高）應(yīng)用所以因此其中3.10

8、設(shè)晶體中每個(gè)振子的零點(diǎn)振動(dòng)能為，使用德拜模型求晶體的零點(diǎn)振動(dòng)能。證明:根據(jù)量子力學(xué)零點(diǎn)能是諧振子所固有的，與溫度無關(guān)，故T=0K時(shí)振動(dòng)能就是各振動(dòng)模零點(diǎn)能之和。和代入積分有，由于一股晶體德拜溫度為，可見零點(diǎn)振動(dòng)能是相當(dāng)大的，其量值可與溫升數(shù)百度所需熱能相比擬3.11一維復(fù)式格子求（1），光學(xué)波，聲學(xué)波。（2），相應(yīng)聲子能量是多少電子伏。（3），在300k時(shí)的平均聲子數(shù)。（4），與相對應(yīng)的電磁波波長在什么波段。解 （1）， （2）（3）（4）4.1根據(jù)狀態(tài)簡并微擾結(jié)果，求出與及相應(yīng)的波函數(shù)及。說明它們都代表駐波，并比較兩個(gè)電子云分布（即）說明能隙的來源(假設(shè)=)。解 令，簡并微擾波函數(shù)為 取 帶

9、入上式，其中 V(x)0,從上式得到B= -A,于是=取， = 由教材可知，及均為駐波 在駐波狀態(tài)下，電子的平均速度為零產(chǎn)生駐波因?yàn)殡娮硬ㄊ笗r(shí)，電子波的波長，恰好滿足布拉格發(fā)射條件，這時(shí)電子波發(fā)生全反射，并與反射波形成駐波由于兩駐波的電子分布不同，所以對應(yīng)不同代入能量。4.2寫出一維近自由電子近似，第n個(gè)能帶(n=1，2，3)中，簡約波數(shù)的0級波函數(shù)。解：第一能帶：第二能帶：第三能帶：4.3 電子在周期場中的勢能 0 ， 其中a4b，是常數(shù)(1) 試畫出此勢能曲線，求其平均值.(2) 用近自由電子近似模型求出晶體的第一個(gè)及第二個(gè)帶隙寬度解：(I)題設(shè)勢能曲線如下圖所示(2)勢能的平均值：由圖可

10、見，是個(gè)以為周期的周期函數(shù)，所以題設(shè)，故積分上限應(yīng)為，但由于在區(qū)間內(nèi)，故只需在區(qū)間內(nèi)積分這時(shí)，于是 。（3），勢能在-2b,2b區(qū)間是個(gè)偶函數(shù)，可以展開成傅立葉級數(shù)利用積分公式得第二個(gè)禁帶寬度代入上式再次利用積分公式有4.4用緊束縛近似求出面心立方晶格和體心立方晶格s態(tài)原子能級相對應(yīng)的能帶函數(shù)解 面心立方晶格 s態(tài)原子能級相對應(yīng)的能帶函數(shù)s原子態(tài)波函數(shù)具有球?qū)ΨQ性 任選取一個(gè)格點(diǎn)為原點(diǎn) 最近鄰格點(diǎn)有12個(gè)12個(gè)最鄰近格點(diǎn)的位置 類似的表示共有12項(xiàng) 歸并化簡后得到面心立方s態(tài)原子能級相對應(yīng)的能帶對于體心立方格子 任選取一個(gè)格點(diǎn)為原點(diǎn) 有8個(gè)最鄰近格點(diǎn) 最近鄰格點(diǎn)的位置 類似的表示共有8項(xiàng)歸并化

11、簡后得到體心立方s態(tài)原子能級相對應(yīng)的能帶4.7有一一維單原子鏈，間距為a，總長度為Na。（1）用緊束縛近似求出原子s態(tài)能級對應(yīng)的能帶E(k)函數(shù)。（2）求出其能態(tài)密度函數(shù)的表達(dá)式。（3）如果每個(gè)原子s態(tài)只有一個(gè)電子，求等于T=0K的費(fèi)米能級及處的能態(tài)密度。解：(2) ,(3), 4.8 (1)證明一個(gè)自由簡單晶格在第一布里淵區(qū)頂角上的一個(gè)自由電子動(dòng)能比該區(qū)一邊中點(diǎn)大2倍(2)對于一個(gè)簡單立力晶格在第一布里淵區(qū)頂角上的一個(gè)自由電子動(dòng)能比該區(qū)面心上大多少？(3)(2)的結(jié)果對于二價(jià)金屬的電導(dǎo)率可能會(huì)產(chǎn)生什么影響7解 （1）二維簡單正方晶格的晶格常數(shù)為a，倒格子晶格基矢第一布里淵區(qū)如圖所示 0 所以

12、(3)如果二價(jià)金屬具有簡單立方品格結(jié)構(gòu)，布里淵區(qū)如圖72所示根據(jù)自由電子理論，自由電子的能量為，F(xiàn)erM面應(yīng)為球面由(2)可知，內(nèi)切于4點(diǎn)的內(nèi)切球的體積，于是在K空間中，內(nèi)切球內(nèi)能容納的電子數(shù)為 其中二價(jià)金屬每個(gè)原子可以提供2個(gè)自由電子，內(nèi)切球內(nèi)只能裝下每原子1.047個(gè)電子，余下的0.953個(gè)電子可填入其它狀態(tài)中如果布里淵區(qū)邊界上存在大的能量間隙，則余下的電子只能填滿第一區(qū)內(nèi)余下的所有狀態(tài)(包括B點(diǎn))這樣，晶體將只有絕緣體性質(zhì)然而由(b)可知，B點(diǎn)的能員比A點(diǎn)高很多，從能量上看，這種電子排列是不利的事實(shí)上，對于二價(jià)金屬，布里淵區(qū)邊界上的能隙很小，對于三維晶體，可出現(xiàn)一區(qū)、二區(qū)能帶重迭這樣，處

13、于第一區(qū)角頂附近的高能態(tài)的電子可以“流向”第二區(qū)中的能量較低的狀態(tài)，并形成橫跨一、二區(qū)的球形Ferm面因此，一區(qū)中有空態(tài)存在，而二區(qū)中有電子存在，從而具有導(dǎo)電功能實(shí)際上，多數(shù)的二價(jià)金屆具有六角密堆和面心立方結(jié)構(gòu)，能帶出現(xiàn)重達(dá)，所以可以導(dǎo)電4.9 半金屬交疊的能帶其中為能帶1的帶頂，為能帶2的帶底由于能帶的交疊，能帶1中的部分電子轉(zhuǎn)移到能帶2中，而在能帶1中形成空穴，討論T=0K的費(fèi)密能級解 半金屬的能帶1和能帶2能帶1的能態(tài)密度 同理能帶2的能態(tài)密度如果不發(fā)生能帶重合，電子剛好填滿一個(gè)能帶由于能帶交疊，能帶1中的電子填充到能帶2中，滿足 4.12設(shè)有二維正方晶格，晶體勢為用近自由電子近似的微擾

14、論，近似求出布里淵區(qū)頂角處的能隙解：以表示位置矢量的單位矢量，以表示倒易矢量的單位矢量，則有，晶體勢能。這樣基本方程求布里淵區(qū)角頂，即處的能隙，可利用雙項(xiàng)平面波近似來處理。當(dāng)時(shí)依次有而其他的，所以在雙項(xiàng)平面波近似下上式中只有，因?yàn)?2)簡單立方晶格的晶格常數(shù)為a，倒格子基矢為第一布里淵區(qū)如圖72所示5.1 設(shè)一維晶體的電子能帶可以寫成其中a為晶格常數(shù)，計(jì)算1） 能帶的寬度2） 電子在波矢k的狀態(tài)時(shí)的速度3） 能帶底部和能帶頂部電子的有效質(zhì)量解 1) 能帶的寬度的計(jì)算能帶底部 能帶頂部 能帶寬度2）電子在波矢k的狀態(tài)時(shí)的速度電子的速度 3) 能帶底部和能帶頂部電子的有效質(zhì)量電子的有效質(zhì)量能帶底部

15、 有效質(zhì)量能帶頂部 有效質(zhì)量5.5 設(shè)電子等能面為橢球外加磁場B相對于橢球主軸方向余弦為1） 寫出電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)方程2） 證明電子繞磁場回轉(zhuǎn)頻率為。其中解 恒定磁場中電子運(yùn)動(dòng)的基本方程電子的速度 電子能量 電子的速度磁感應(yīng)強(qiáng)度 電子運(yùn)動(dòng)方程 應(yīng)用關(guān)系 電子運(yùn)動(dòng)方程 令 有非零解，系數(shù)行列式為零 無意義旋轉(zhuǎn)頻率 其中6.2 在低溫下金屬鉀的摩爾熱容量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可寫成如果一個(gè)摩爾的金屬鉀有個(gè)電子，求鉀的費(fèi)米溫度解 一摩爾的電子對熱容的貢獻(xiàn) 與實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較 費(fèi)米溫度6.3 若將銀看成具有球形費(fèi)米面的單價(jià)金屬，計(jì)算以下各量 1) 費(fèi)密能量和費(fèi)密溫度2） 費(fèi)米球半徑3） 費(fèi)米速度4） 費(fèi)米球面的橫截面積5） 在室溫以及低溫時(shí)電子的平均自由程解 1）費(fèi)密能量 費(fèi)密溫度 2) 費(fèi)密球半徑 3) 費(fèi)密速度 4) 費(fèi)密球面的橫截面積 是與z軸間夾角 5) 在室溫以及低溫時(shí)電子的平均自由程電導(dǎo)率 馳豫時(shí)間平均自由程 0 K到室溫之間的費(fèi)密半徑變化很小平均自由程 將 代入6.4 設(shè)N個(gè)電子組成簡并電子氣，