初等數(shù)論4函數(shù)方程的柯西解法

1、4函數(shù)方程的柯西解法在函數(shù)方程的發(fā)展史上，許多函數(shù)方程的建立和解法都是由柯西首先提出的. 本節(jié)我們就來(lái)研究函數(shù)方程的柯西解法.在前幾節(jié)討論的函數(shù)方程中，所涉及的函數(shù)大多數(shù)是自然數(shù)的函數(shù). 而本節(jié)中的函數(shù)，它的定義域都是在某一區(qū)間上的實(shí)數(shù).柯西解法的步驟是：依次求出對(duì)于自變量的所有自然數(shù)值、整數(shù)值、有理數(shù)值，直至所有實(shí)數(shù)值的函數(shù)方程的解.如所周知，一個(gè)函數(shù)方程的解往往并不是唯一的. 也就是說(shuō)，可能存在著不同的函數(shù)，滿足同一個(gè)函數(shù)方程. 為了保證函數(shù)方程的解的唯一性，通常需要給所求的函數(shù)附加一些條件，例如要求所求的函數(shù)必須是連續(xù)的，或者必須是單調(diào)的. 在本節(jié)里，要求函數(shù)方程的解都必須是單調(diào)函數(shù).什

2、么是單調(diào)函數(shù)呢？如果對(duì)于較大的自變量的值，函數(shù)值也較大；即當(dāng)時(shí)，有，就是說(shuō)函數(shù)單調(diào)增加. 如果對(duì)于較大的自變量的值，函數(shù)值反而較??；即當(dāng)時(shí)，有，就說(shuō)函數(shù)單調(diào)減小. 單調(diào)增加和單調(diào)減小的函數(shù)，統(tǒng)稱單調(diào)函數(shù).在后面的討論中，我們還要用到區(qū)間套原理. 這個(gè)原理是這樣的：設(shè)有一個(gè)區(qū)間序列： （78）其中每個(gè)區(qū)間都包含著后一個(gè)區(qū)間：（其中是集的包含符號(hào)）形成一個(gè)“區(qū)間套”，而且區(qū)間長(zhǎng)度可以任意地?。ň褪钦f(shuō)，不論我們事先給定一個(gè)多么小的正數(shù)，序列（78）中總存在這樣一個(gè)區(qū)間，從此以后所有的區(qū)間的長(zhǎng)度都小于）. 那末，必定存在著唯一的一個(gè)點(diǎn)，被所有（無(wú)窮多）這些區(qū)間所包含.特別是當(dāng)是無(wú)理數(shù)時(shí)，如果把和取作的

3、精確到10-n的不足近似值和過(guò)剩近似值. 那末以的不足近似值和過(guò)剩近似值為端點(diǎn)，將構(gòu)成一個(gè)區(qū)間套. 相應(yīng)的區(qū)間的長(zhǎng)度是10-n. 例如，我們知道，圓周率是一個(gè)無(wú)理數(shù)：于是，可以構(gòu)成區(qū)間套區(qū)間的長(zhǎng)度依次是3.2-3.1=10-1，3.15-3.14=10-2，3.142-3.141=10-3，. 我們注意到，每個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)都是有理數(shù)，而只有唯一的一個(gè)無(wú)理數(shù)=被包含在所有這些區(qū)間之內(nèi).有了這些準(zhǔn)備之后，我們轉(zhuǎn)入函數(shù)方程的柯西解法的討論.例19 解函數(shù)方程 （79）解 由函數(shù)方程（79）容易推得（用數(shù)學(xué)歸納法）： （80）在（80）中如果令，就得到再令（m是正整數(shù)），又有所以記常數(shù)f (1)=c.

4、于是對(duì)于任何正有理數(shù)x>0，都有 （81）當(dāng)自變量的值為零時(shí)，即令x=y=0，由函數(shù)方程（79），有 這就是說(shuō)，對(duì)于自變量的值為零的情形，函數(shù)方程（79）的解也是（81）.對(duì)于自變量為負(fù)數(shù)的情形，如x為負(fù)有理數(shù)，可設(shè)于是有所以總之，對(duì)于自變量的任何有理數(shù)值x=r，函數(shù)方程（79）的解都是（81）： （82）現(xiàn)在來(lái)討論自變量是無(wú)理數(shù)的情形. x=(是無(wú)理數(shù)). 設(shè)的精確到小數(shù)點(diǎn)后第i位的不足近似值和過(guò)剩近似值是. 根據(jù)f (x)的單調(diào)性（為確定起見，不妨設(shè)f (x)是單調(diào)增加的），推知 （83）因?yàn)橛捎值糜捎?，是有理?shù)，由（83）得 （84）比較（83）和（84），看出和處于同一個(gè)區(qū)間套之

5、內(nèi). 根據(jù)區(qū)間套原理，只有一個(gè)點(diǎn)為所有區(qū)間套公有，得知=. （85）綜合（82）和（85），即得：對(duì)于任何實(shí)數(shù)x，函數(shù)方程（79）的解是正比例函數(shù)例20 解例2中的函數(shù)方程 （9）并求出由攝氏溫度換算為華氏溫度的關(guān)系式.解 在函數(shù)方程（9）中，令y=0，就有或者 （86）用數(shù)學(xué)歸納法可以證明，事實(shí)上，設(shè)n=k時(shí)，方程（87）成立，即設(shè)于是有根據(jù)（86），得就是說(shuō)，對(duì)于n=k+1，方程（87）仍然成立. 又當(dāng)n=2時(shí)，顯然有這就證明了由函數(shù)方程（9）可以推出函數(shù)方程（87）.在（87）中，令，即得 （88）又令（m是正整數(shù)），則有就是但由（88）知代入上式即得因而記 最后有 （89）當(dāng)x=0時(shí)，

6、顯然有 （90）如果令，就有所以總之，由（89），（90），（91）得，對(duì)于任何有理數(shù)x=r，函數(shù)方程（9）的解是現(xiàn)在，討論自變量是無(wú)理數(shù)的情形：x=（是無(wú)理數(shù)）. 設(shè)的精確到小數(shù)點(diǎn)后第i位的不足近似值和過(guò)剩近似值是i和i. 根據(jù)f (x)的單調(diào)性不妨假定f (x)是單調(diào)增加的. 單調(diào)減小情形的論證類似推知， （93）同樣根據(jù)單調(diào)增加性，得知所以由可得而由于，是有理數(shù)，所以（93）又可寫成 （94）（93）和（94）表明和處于同一個(gè)區(qū)間套之內(nèi). 根據(jù)區(qū)間套原理，就有=. （95）綜合（92），（95），可知對(duì)于任何實(shí)數(shù)x，函數(shù)方程（9）的解是一次函數(shù) （96）現(xiàn)在來(lái)求由攝氏溫度換算為華氏溫度的

7、關(guān)系式.由（10）知此外，由（10）還知所以最后得例21 解例4中的函數(shù)方程 （10）解 由（16）容易推得（用數(shù)學(xué)歸納法）：如果令，對(duì)于任何實(shí)數(shù)x和自然數(shù)n，就有 （97）在（97）中，令（m是自然數(shù)），便有記f (1)=c. 就得 （98）令y=0. 對(duì)于任何實(shí)數(shù)x，由（16）各因?yàn)閒 (x)是單調(diào)的，所以f (x)不恒等于零. 從而 （99）如果令那末由（16）又得所以 （100）（98），（99），（100）表明，對(duì)于任何有理數(shù)r，滿足函數(shù)方程（16）的是指數(shù)函數(shù)對(duì)于自變量為無(wú)理數(shù)的情形，推證方法和例19，20類似，這里從略.總之，函數(shù)方程（16）的解是指數(shù)函數(shù)由此可見，放射性物質(zhì)的衰

8、變規(guī)律服從指數(shù)函數(shù). 進(jìn)一步研究得知，1克的放射性物質(zhì)經(jīng)過(guò)時(shí)間x年后，剩余的放射性物質(zhì)為就是說(shuō)，指數(shù)的底 而是一個(gè)與具體放射性物質(zhì)有關(guān)的常數(shù).例22 解函數(shù)方程 （101）函數(shù)的定義域是正實(shí)數(shù).解 在（101）中，如果令y=1，就有 f (1)=0. （102）又由（101）容易推得令即得 （103）在上式中，以代x，又得 （104）設(shè)是正有理數(shù)（p，q是正整數(shù)）. 由（103），（104）就有 （105）在函數(shù)方程（101）中，如果令，就得 或者 （106）仍設(shè)r是正有理數(shù). 于是由（106），（103）有 （107）此外 （108）綜合（105），（107），（108）所得結(jié)果，證明了對(duì)于

9、任何有理數(shù)r，都有當(dāng)指數(shù)為無(wú)理數(shù)時(shí)，仿照例19，20那樣，可以證明 （109）因而有 （110）其中y是任何實(shí)數(shù).因?yàn)閒 (x)是單調(diào)的，所以不能恒等于零. 從而存在著值x=c，使得. 在（110）中，令可得記=那末有于是令，可得.這就是說(shuō)，函數(shù)方程（101）的解是對(duì)數(shù)函數(shù).值得指出的是，例19所討論的函數(shù)方程（79）是一個(gè)很重要的方程. 這方程是由柯西最早加以研究的，后來(lái)就叫做柯西函數(shù)方程. 我們立即就會(huì)看到，柯西函數(shù)方程在解函數(shù)方程上的作用：有許多其它函數(shù)方程，都可以通過(guò)適當(dāng)方法轉(zhuǎn)化為柯西函數(shù)方程，從而獲得解答. 試看以下例子.例23 用柯西方程解例20中的函數(shù)方程解 設(shè)f (0)=a.

10、由所給的函數(shù)方程得由此又有 （111）設(shè)，就有代入（111），即得 （112）這方程正是柯西函數(shù)方程. 所以有這和我們?cè)诶?0中所獲得的結(jié)果是一致的，但解答過(guò)程卻簡(jiǎn)短多了.例24 用柯西方程解例21中的函數(shù)方程解 我們首先證明由所給的函數(shù)方程得知這就是說(shuō)，對(duì)于x的任何實(shí)數(shù)值，f (x)的值是非負(fù)數(shù). 我們進(jìn)一步證明，對(duì)于x的任何實(shí)數(shù)值，f (x)不能是零. 實(shí)際上，一旦存在某個(gè)x0，能使f (x0)=0. 那末f (x)將恒等于零. 這是因?yàn)檫@樣一來(lái)，就與我們?cè)诒竟?jié)初對(duì)f (x)的單調(diào)性要求相矛盾了. 總之，對(duì)于任何實(shí)數(shù)x，總有在所給的函數(shù)方程兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，即得設(shè)，就有這樣就把原函數(shù)方程化成了柯西方程. 柯西方程的解是正比例函數(shù) 即這里，. 所得的結(jié)果和例21相同.練習(xí)與解答練習(xí)13 用柯西方程解函數(shù)方程解 由原方程得設(shè) 就有這是柯西方程. 這里，所給函數(shù)方程