(完整版)小學(xué)奧數(shù)：格點(diǎn)型面積(畢克定理)

1、小學(xué)奧數(shù)：格點(diǎn)型面積（畢克定理）板塊一正方形格點(diǎn)問題在一張紙上， 先畫出一些水平直線和一些豎直直線，并使任意兩條相鄰的平行線的距離都相等( 通常規(guī)定是 1 個(gè)單位 ) ，這樣在紙上就形成了一個(gè)方格網(wǎng)，其中的每個(gè)交點(diǎn)就叫做一個(gè)格點(diǎn)在方格網(wǎng)中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫出的多邊形叫做格點(diǎn)多邊形，例如，右圖中的鄉(xiāng)村小屋圖形就是一個(gè)格點(diǎn)多邊形那么，格點(diǎn)多邊形的面積如何計(jì)算？它與格點(diǎn)數(shù)目有沒有關(guān)系？如果有，這兩者之間的關(guān)系能否用計(jì)算公式來表達(dá)？下面就讓我們一起來探討這些問題吧！用 N 表示多邊形內(nèi)部格點(diǎn)，L 表示多邊形周界上的格點(diǎn)， S 表示多邊形面積， 請(qǐng)同學(xué)們分析前幾個(gè)例題的格點(diǎn)數(shù)我們能發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：SNL1

2、這個(gè)規(guī)律就是畢克定理2畢克定理若一個(gè)格點(diǎn)多邊形內(nèi)部有N 個(gè)格點(diǎn)，它的邊界上有L 個(gè)格點(diǎn)，L1 則它的面積為 S N2【例 1】 用 9 個(gè)釘子釘成相互間隔為1 厘米的正方陣 ( 如右圖 ) 如果用一根皮筋將適當(dāng)?shù)娜齻€(gè)釘子連結(jié)起來就得到一個(gè)三角形，這樣得到的三角形中，面積等于 1 平方厘米的三角形的個(gè)數(shù)有多少？面積等于2 平方厘米的三角形有多少個(gè)？【例 2】 如圖， 44 的方格紙上放了16 枚棋子，以棋子為頂點(diǎn)的正方形有個(gè)【例 3】 判斷下列圖形哪些是格點(diǎn)多邊形？【例4】 如圖，計(jì)算各個(gè)格點(diǎn)多邊形的面積【鞏固】如果兩格點(diǎn)之間的距離是2，能利用剛計(jì)算的結(jié)果說出相應(yīng)面積么？( 教師總結(jié)：面積數(shù)值均

3、擴(kuò)大4倍 )【例 5】 如圖 ( a) ，計(jì)算這個(gè)格點(diǎn)多邊形的面積IIIIII(a)(b)(c)【例 6】 ( “新加坡小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克”競賽試題) 右圖是一個(gè)方格網(wǎng)，計(jì)算陰影部分的面積DAF1cmCE B1cm【例 7】 分別計(jì)算圖中兩個(gè)格點(diǎn)多邊形的面積【鞏固】求下列各個(gè)格點(diǎn)多邊形的面積【例 8】 我們開始提到的“鄉(xiāng)村小屋”的面積是多少？【例 9】 右圖是一個(gè)8 12 面積單位的圖形求矩形內(nèi)的箭形ABCDEFGH 的面積HGFAECBD【例 10】右圖中每個(gè)小正方形的面積都是1，那么圖中這只“狗”所占的面積是多少？【鞏固】如圖，每一個(gè)小方格的面積都是1 平方厘米，那么用粗線圍成的圖形的面積是

4、多少平方厘米？【例 11】( “小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克”競賽試題) 55 的方格紙，小方格的面積是1 平方厘米，小方格的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)請(qǐng)你在圖上選7 個(gè)格點(diǎn)，要求其中任意3 個(gè)格點(diǎn)都不在一條直線上，并且使這7 個(gè)點(diǎn)用直線連接后所圍成的面積盡可能大那么，所圍圖形的面積是平方厘米【例 12】( “保良局亞洲區(qū)城市小學(xué)數(shù)學(xué)”競賽試題) 第一屆保良局亞洲區(qū)城市小學(xué)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽在7 月 21日開幕， 下面的圖形中，每一個(gè)小方格的面積是1，那么 7、2、1 三個(gè)數(shù)字所占的面積之和是多少？【例 13】( 第六屆“從小愛數(shù)學(xué)” 邀請(qǐng)賽試題 ) 兩個(gè)邊長相等的正方形各被分成25 個(gè)大小相同的小方格 現(xiàn)將這兩個(gè)正方形的一部

5、分重疊起來，若左上角的陰影部分( 塊狀 ) 面積為 5.12cm2 ，右下角的陰影部分 ( 線狀 ) 面積為 7.4cm2 ，求大正方形的面積【例 14】 ( 第六屆“華杯賽”試題 ) 圖中正六邊形 ABCDEF 的面積是 54， AP=2PF ， CQ=2BQ，求陰影四邊形 CEPQ 的面積APFAPFBEBEQQCDCD板塊二三角形格點(diǎn)問題所謂三角形格點(diǎn)多邊形是指：每相鄰三點(diǎn)成“”或“”，所形成的三角形都是等邊三角形規(guī)定它的面積為 1，以這樣的點(diǎn)為頂點(diǎn)畫出的多邊形為三角形格點(diǎn)多邊形關(guān)于三角形格點(diǎn)多邊形的面積同樣有它的計(jì)算公式：如果用S 表示面積， N 表示圖形內(nèi)包含的格點(diǎn)數(shù)，L 表示圖形周

6、界上的格點(diǎn)數(shù)，那么有S2 N L 2 ，就是格點(diǎn)多邊形面積等于圖形內(nèi)部所包含格點(diǎn)數(shù)的2 倍與周界上格點(diǎn)數(shù)的和減去 2【例 15】如圖 ( a) ，有 21個(gè)點(diǎn)，每相鄰三個(gè)點(diǎn)成“”或“”，所形成的三角形都是等邊三角形計(jì)算三角形 ABC 的面積AAECFDCBB(b)(a)【鞏固】如圖，每相鄰三個(gè)點(diǎn)所形成的三角形都是面積為1 的等邊三角形，計(jì)算 V ABC 的面積ACB【例 16】求下列格點(diǎn)多邊形的面積( 每相鄰三個(gè)點(diǎn)“”或“”成面積為1 的等邊三角形) 【例 17】把大正三角形每邊八等分，組成如右圖所示的三角形網(wǎng)如果大三角形的面積是128，求圖中粗線所圍成的三角形的面積【例 18】如圖，如果每一個(gè)小三角形的面積是1 平方厘米，那么四邊形ABCD 的面積是多少平方厘米？【例19】把同一個(gè)三角形的三條邊分別5 等分、 7 等分(如圖1，圖2) ，然后適當(dāng)連接這些等分點(diǎn)，便得到了若干個(gè)面積相等的小三角形已知圖1 中陰影部分面積是294 平方分米，那么圖2 中陰影部分的面積是_平方分米【例 20】將圖中的圖形分割成面積相等的三塊【例 21】如圖涂陰影部分的小正六角星形面積是16 平方厘米， 問：大正六角星形面積是多少平方厘米？【例 22】( 第五屆“華杯賽”試題) 正六邊形 ABCDEF 的面積是6平方厘米 M是AB中點(diǎn)，N是