3.1空間向量及其運(yùn)算測(cè)試題(答案)

1、精心整理新課標(biāo)高二數(shù)學(xué)同步測(cè)試（21 第三章 3.1 ）一、選擇題 ：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把正確答案的代號(hào)填在題后的括號(hào)內(nèi)（每小題 5 分，共 50 分）1在平行六面體 ABCDA1B1C1D1 中， M為 AC與 BD的交點(diǎn)，若 A1B =a ，A1 D1 =b ， A1 A =c . 則下列向量中與 B1 M 相等的向量是（）A1 a1 b cB 1 a1 b c2222圖C 1 a1 b cD1 a1 b c22222在下列條件中，使 M與 A、B、C一定共面的是（）A OM2OA OBOCB OM1 OA1 OB1 OC532C MAMBMC0D OM

2、OAOBOC03已知平行六面體 ABCD A BC D 中， AB=4，AD=3， AA5， BAD900 ，BAADAA600 ，則 AC 等于（）A85B 85C5 2D504 與向量 a(1,3, 2) 平行的一個(gè)向量的坐標(biāo)是（）A（ 1 ，1，1） B （ 1， 3， 2）3C（ 1 ， 3 ，1）D（2， 3，2 2）225已知 A（ 1， 2， 6）， B（ 1， 2， 6）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則向量 OA,與OB 的夾角是（）A0BCD 3226已知空間四邊形 ABCD中，a，OB b，OCc，點(diǎn) M在 OA上，且 OM=2MA，N為 BC中點(diǎn)，則MN=OA（）A 1 a2 b1 cB

3、2 a1 b1 c232322C 1 a1 b1 cD 2 a2 b1 c2223327設(shè) A、B、 C、D 是空間不共面的四點(diǎn)，且滿足 AB AC0，ACAD0，AB AD0 ，則 BCD是（）A鈍角三角形B銳角三角形C直角三角形D不確定0OA，BC=（ ）8空間四邊形 OABC中， OB=OC， AOB=AOC=60，則 cos精心整理A 1B 2C 1D02229已知 A（1，1，1）、B（2，2，2）、C（3，2，4），則ABC的面積為（）A 3B2 3C 6D6210已知 a(1t,1 t, t ), b (2, t, t) ，則 | a b |的最小值為（）A 5B 55C3 5D

4、 115555二、填空題： 請(qǐng)把答案填在題中橫線上（每小題 6 分，共 24 分）11若 a(2,3,1) ， b ( 2,1,3) ，則 a,b 為鄰邊的平行四邊形的面積為12已知空間四邊形 OABC，其對(duì)角線為 OB、 AC，M、N 分別是對(duì)邊 OA、 BC的中點(diǎn)，點(diǎn) G在線段 MN上，且 MG2GN ，現(xiàn)用基組 OA,OB,OC 表示向量 OG ，有 OG =x OA yOBzOC ，則 x、y、z 的值分別為13已知點(diǎn) A(1， 2，11) 、B(4，2，3) ，C(6， 1，4) ，則 ABC的形狀是14已知向量 a(2, 3,0) ， b(k,0,3) ，若 a, b 成 1200

5、 的角，則 k=三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟(共 76分) 15（ 12 分）如圖，已知正方體ABCDAB C D 的棱長(zhǎng)為 a，M為 BD 的中點(diǎn)，點(diǎn) N 在 AC 上，且 | A N |3| NC | ，試求 MN的長(zhǎng)zDCONAB16（ 12 分）如圖在空間直角坐標(biāo)系中BC ，原點(diǎn) O是 BC的=2點(diǎn) A 的坐標(biāo)是(3 , 1 ,0) ，點(diǎn) D在平面 yOz上，且 BDC=90， DCB=30 .22（1）求向量 OD 的坐標(biāo)；（2）設(shè)向量 AD 和 BC 的夾角為 ，求 cos的值M中點(diǎn)，DCyABx17（ 12分）若四面體對(duì)應(yīng)棱的中點(diǎn)間的距離都相等，證明這個(gè)棱兩

6、兩垂直（12分）四棱錐 P ABCD中，底面 ABCD是一個(gè)平行四邊形，181， 4 ， AD =4 ， 2， 0 ， AP = 1，2， 1.圖PAABCD（1）求證： 底面；（2）求四棱錐 PABCD的體積；ABC A1B1 C1 中， CA CB ， BCA，棱19（ 14分）如圖所示，直三棱柱= =1=90A1B1、A1A的中點(diǎn) .（1）求 BN 的長(zhǎng)；（ 2）求 cos的值；（3）求證： A1BC1M.20（ 14 分）如圖，已知平行六面體 ABCDA1B1C1D1 的底面 ABCD 菱形且 C1CB= C1CD=BCD=60.四面體的對(duì)AB =2 ，AA1=2，M、N 分別是是精心

7、整理（ ）證明： C1CBD；（ ）假定 CD ，CC13 ，記面 C1BD為，面 CBD為 ，求二面角 BD12=2=2的平面角的余弦值；（3）當(dāng)CD的值為多少時(shí)，能使A1CC1 BDCC1平面？請(qǐng)給出證明 .參考答案一、 1 A ；解析： B1MB1BBMA1 A1 (BA BC) = c +1 （ ab ）= 1a +1b + c 評(píng)2222述：用向量的方法處理立體幾何問(wèn)題， 使復(fù)雜的線面空間關(guān)系代數(shù)化， 本題考查的是基本的向量相等，與向量的加法 .考查學(xué)生的空間想象能力 .2A ；解析：空間的四點(diǎn) P、A 、B、C 共面只需滿足 OPxOA yOBzOC, 且 xy z1 既可只有選項(xiàng)

8、 A3B；解析：只需將 ACAB ADAA ，運(yùn)用向量的內(nèi)即運(yùn)算即可， | AC |AC24 C ；解析：向量的共線和平行使一樣的，可利用空間向量共線定理寫成數(shù)乘的形式即b 0,a / bab 5C；解析： cosa b，計(jì)算結(jié)果為 1| a | | b |6B；解析：顯然 MNONOM1 (OB OC)2OA237B；解析：過(guò)點(diǎn) A 的棱兩兩垂直，通過(guò)設(shè)棱長(zhǎng)應(yīng)用余弦定理可得三角形為銳角三角形8D；解析：建立一組基向量 OA, OB, OC ，再來(lái)處理 OA BC 的值9D；解析：應(yīng)用向量的運(yùn)算，顯然cosAB, ACAB ACsin AB, AC，|AB|AC |從而得 S1 | AB |

9、AC | sin AB, AC10C；2二、11 65 ；解析： cos a,ba b2 ，得 sina, b3 5 ，可得結(jié)果| a | b |7712 1 OA1 OB1OC ；633解析：13直角三角形；解析：利用兩點(diǎn)間距離公式得：|AB|2|BC|2| AC |21439；解析： cosa,ba b2k1 ，得 k39 | a | | b |13 9 k 22三、精心整理15解：以 D 為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系因?yàn)檎襟w棱長(zhǎng)為a，所以 B（a，a，0）， A（a，0，a）， C （ 0， a， a）， D （0，0， a）由于 M 為 BD 的中點(diǎn)，取 AC 中點(diǎn) O，所以 M（

10、 a ，a ，a ），O（ a ，a ，a）因?yàn)?| A N |3| NC |，22222所以 N 為 AC 的四等分，從而 N 為 O C 的中點(diǎn)，故 N（ a ，3a， ）44a根據(jù)空間兩點(diǎn)距離公式，可得 | MN | ( aa )2( a3a) 2( aa)26a 24242416解：（ 1）過(guò) D 作 DEBC，垂足為 E，在 RtBDC 中,由 BDC=90, DCB=30， BC=2，得 BD=1，CD= 3 ， DE=CDsin30=3.OE=OBBE=OB BD cos60=1 11.222D 點(diǎn)坐標(biāo)為（ 0， 1 ,3 ），即向量 ODTX 的坐標(biāo)為 0 ， 1 ,3.222

11、2（2）依題意： OA 3,1,0, OB 0,1,0, OC 0,1,0 ，22所以 ADOD OA3, 1,3, BCOCOB0,2,0 .22設(shè)向量 AD 和 BC 的夾角為 ，則AD BC30 (1)23012210 .cos=5|AD| |BC|(3 )2( 1)2( 3)20222022217證：如圖設(shè) SA r1 , SBr2 , SCr3 ，則 SE, SF, SG, SH , SM, SN 分別為 1 r1，1 (r2r3 ) ，1 (r1r2 ) ，1， 1(r1 r3 ) ， 1222r3r2 ，由條件 EH=GH=MN 得：222展開(kāi)得 r1 r2r2 r3r1 r3r

12、1(r3r2) 0，r1 ， ，0r3 r2 0 r1 （ r3r2 ）即 SABC同理可證 SB AC， SC AB 18（ 1）證明： AP AB =22+4=0， APAB.精心整理又 AP AD =4+4+0=0， APAD.AB、AD 是底面 ABCD 上的兩條相交直線，AP底面 ABCD.（2）解：設(shè) AB 與 AD 的夾角為 ，則AB AD8 23cos=4 116164105|AB| |AD|12105914116V= | AB | AD |sin| AP |=133105（3）解： |（ AB AD ） AP |=|432 4 8|=48 它是四棱錐 PABCD 體積的 3

13、倍.猜測(cè)： |（ AB AD ） AP |在幾何上可表示以 AB、AD、AP 為棱的平行六面體的體積（或以AB、AD、AP 為棱的直四棱柱的體積） .評(píng)述：本題考查了空間向量的坐標(biāo)表示、空間向量的數(shù)量積、空間向量垂直的充要條件、空間向量的夾角公式和直線與平 面垂直的判定定理、 棱錐的體積公式等 .主要考查考生的運(yùn)算能力，綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力及空間想象能力.19如圖，建立空間直角坐標(biāo)系 Oxyz.（1）依題意得 B（0，1，0）、 N（1，0，1）|BN |= (1 0)2(01)2(1 0)23 .圖（2）依題意得 A1（1，0，2）、B（0，1，0）、 C（0，0，0）、B1（0，

14、1，2） BA1 = 1， 1，2， CB1 =0 ，1，2， ， BA1 CB1 =3，| BA1 |= 6 ，|CB1 |= 5cos=BA1CB1130.10| BA1 | |CB1 |（3）證明：依題意，得 C1（0，0，2）、M（ 1 , 1 ，2）， A1B = 1，1，2 ， C1M =1,1 ，0.2222 A1BC1M =112+0=0， A1B C1M ，A1BC1M.2評(píng)述：本題主要考查空間向量的概念及運(yùn)算的基本知識(shí).考查空間兩向量垂直的充要條件 .20（ 1）證明：設(shè) CB = a ， CD = b ， CC1 = c ，則 | a |=|b |， BDCDCB = b

15、 a ， BD CC1 =（ b a ） c = b c a c =|b | c |cos60 | a | |c |cos60=0，C1CBD.（2）解：連 AC、 BD，設(shè) ACBD=O，連 OC1，則 C1OC 為二面角 BD 的平面角 .111 （ a + b ） c CO(BC CD)（ a + b ）， C1O CO CC1222精心整理1（ a +b ） 1 （ a + b ） c CO C1O22= 1 （ a 2+2 a b + b 2） 1 a c 1 b c4221 （4+2 2 2cos60 +4）1231 233=22cos6022cos60= .42則|CO |= 33CO C1O3，| C1O |= ， cosC1OC=2|CO| |C1O|3（3）解：設(shè)CD12=x，CD=2，則