專項(xiàng)突破空間重構(gòu)講義筆記

1、授課時(shí)間：2018.04.04粉筆公考·官方專項(xiàng)-空間重構(gòu)主講教師：專項(xiàng)-空間重構(gòu)（講義）空間重構(gòu)（四面體、八面體）一、四面體例1（2017江蘇C）左邊給定的是紙盒外表面的展開圖，右邊哪一項(xiàng)能由它折疊而成？請(qǐng)把它找出來。（）例2（2014江蘇A）左邊給定的是紙盒外表面的展開圖，右邊哪一項(xiàng)能由它折疊而成？請(qǐng)把它找出來。（）例3（2014江蘇A）左邊給定的是紙盒外表面的展開圖，右邊哪一項(xiàng)能由它折疊而成？請(qǐng)把它找出來。（）1例4（2013江蘇）左邊給定的是紙盒外表面的展開圖，右邊哪一項(xiàng)能由它折疊而成？請(qǐng)把它找出來。（）例5（2016江蘇C）上邊這個(gè)圖形是由下邊四個(gè)圖形中的某一個(gè)作為外表面折

2、疊而成，請(qǐng)指出它是哪一個(gè)。（）二、八面體例1（2013江蘇B）左邊給定的是紙盒外表面的展開圖，右邊哪一項(xiàng)能由它折疊而成？請(qǐng)把它找出來。（）2例2（2014河南）左邊給定的是紙盒外表面的展開圖，右邊哪一項(xiàng)能由它折疊而成？請(qǐng)把它找出來。（）例3（2014江蘇A）左邊給定的是紙盒外表面的展開圖，右邊哪一項(xiàng)能由它折疊而成？請(qǐng)把它找出來。（）3專項(xiàng)-空間重構(gòu)（筆記）空間重構(gòu)（四面體、八面體）【注意】空間重構(gòu)：本節(jié)課講解的四面體與八面體事實(shí)上并不難，且知識(shí)點(diǎn)相對(duì)較少，不需要過于擔(dān)心。一、四面體4圖1圖21. 展開圖中一條直線的兩條邊，折合之后是同一條邊。2. 平行四邊形展開圖中兩條短邊折合之后也是同一條邊

3、?！咀⒁狻克拿骟w：由四個(gè)正三角形面。1. 展開圖有三角形（圖1）和平行四邊形（圖2）兩種形式。2. 展開圖中一條直線的兩條邊，折合之后是同一條邊。（1） 如圖1所示，兩條藍(lán)色邊一條直線，折合之后是同一條邊；兩條綠色邊折合之后是同一條邊，兩條黃色邊折合之后是同一條邊。（2） 如圖2所示，兩條綠色邊與兩條黃色邊折合之后分別是同一條邊。 3.平行四邊形展開圖中，最外側(cè)兩條平行的短邊折合之后也是同一條邊。如圖2所示，平行四邊形最外側(cè)左右兩條藍(lán)色邊折合之后是同一條邊。解題思維：排除錯(cuò)誤選項(xiàng)解題：箭頭法對(duì)題干和選項(xiàng)中同一個(gè)面畫箭頭；箭頭方向要一致。5圖1圖2圖3【注意】1.解題思維：排除錯(cuò)誤選項(xiàng)。2.解題

4、 ：箭頭法。（1） 在題干和選項(xiàng)的同一個(gè)面中畫箭頭。如圖2所示，題干在半黑半白面中畫箭頭，選項(xiàng)也 半黑半白面中畫箭頭，而不能在全黑面或 面中畫箭頭。（2） 選項(xiàng)與題干的箭頭方向應(yīng)保持一致。如圖2所示，題干中由白色梯形向黑色三角形畫箭頭，選項(xiàng)中應(yīng)由白色梯形向下面的黑色三角形畫箭頭。3.在一個(gè)面上畫箭頭之后，箭頭是觀察的“主角”， 其上、下、左、右對(duì)應(yīng)的面，若選項(xiàng)和題干對(duì)應(yīng)的面不一致，則可以排除該選項(xiàng)。如圖3所示， 觀察箭頭的方向（箭頭的方向和人的方向無關(guān)），箭頭的上面是面，箭頭的左 面?？焖俳忸}小技巧：可優(yōu)先找選項(xiàng)中出現(xiàn)次數(shù)最多的面畫?！咀⒁狻?.練習(xí)：（1）如圖1所示，“月亮”面在箭頭的上面，

5、“五角星”面在箭頭的左邊， “閃電”面在箭頭的右邊。例1（2017江蘇C）左邊給定的是紙盒外表面的展開圖，右邊哪一項(xiàng)能由它折疊而成？請(qǐng)把它找出來。（）【】1.將題干各個(gè)面依次標(biāo)記為1-4，如下圖。選項(xiàng)中面3出現(xiàn)次數(shù)較多，優(yōu)先在面3中畫箭頭（如果找出現(xiàn)較多的面比較慢，可以按照選項(xiàng)順序畫箭頭）。在題干的面3中，從底邊出發(fā)，沿著虛線向尖角畫箭頭（保證題干和選項(xiàng)的箭頭方向一致即可），在A、C、D項(xiàng)的面3中畫箭頭，如下圖藍(lán)色箭頭所示。A項(xiàng)可以看到藍(lán)色箭頭的左面1，展開圖藍(lán)色箭頭的左邊也是面1；在面1中由尖角向底邊畫箭頭（紅色箭頭），展開圖和選項(xiàng)紅色箭頭的左邊均為面3，保留。B項(xiàng)紅色箭頭的左實(shí)線面（面4）

6、，展開圖紅色箭頭的左面3，排除。C項(xiàng)藍(lán)色箭頭的左面4，展開圖藍(lán)色箭頭的左面1，排除。D項(xiàng)藍(lán)色箭頭的下面2，展開圖藍(lán)色箭頭下邊也是面2；在面2中由梯形向尖角畫箭頭，選項(xiàng)紅色箭頭的右面3，展開圖紅色箭頭的右面4，排除?！具xA】6（2） 如圖2所示，“愛心”面在箭頭的右邊，“五角星”面在箭頭的左邊（標(biāo)藍(lán)的兩條邊折合之后是同一條邊），“閃電”面在箭頭的上面（標(biāo)綠的兩條邊折合之后是同一條邊）。（3） 如圖3所示，面3在箭頭的下邊，面4在箭頭的左邊（平行四邊形展開圖中，最外側(cè)兩條平行的藍(lán)色短邊折合之后是同一條邊）。（4） 如圖4所示，面1在箭頭的上面，面2在箭頭的左邊，箭頭的右面3。2.快速解題小技巧：可

7、優(yōu)先找選項(xiàng)中出現(xiàn)次數(shù)最多的面畫箭頭，畫的次數(shù)比較少，性價(jià)比較高。例2（2014江蘇A）左邊給定的是紙盒外表面的展開圖，右邊哪一項(xiàng)能由它折疊而成？請(qǐng)把它找出來。（）【】2.將題干各個(gè)面依次標(biāo)記為1-4，如下圖。選項(xiàng)中面3出現(xiàn)的次數(shù)最多，在面3中由底邊出發(fā)，沿著實(shí)線向尖角方向畫箭頭（藍(lán)色箭頭）。A項(xiàng)藍(lán)色箭頭的右面2，展開圖面2在藍(lán)色箭頭的左邊，排除。B項(xiàng)藍(lán)色箭頭的下面4，展開圖藍(lán)色箭頭的下邊也是面4；在面4中由底邊向尖角方向畫箭頭（紅色箭頭），選項(xiàng)與展開圖中紅色箭頭的右邊均為面3，保留。C項(xiàng)藍(lán)色箭頭的下面2，展開圖藍(lán)色箭頭的下面4，排除。D項(xiàng)藍(lán)色箭頭的左面1，展開圖藍(lán)色箭頭的左面2，排除?！具xB】

8、例3（2014江蘇A）左邊給定的是紙盒外表面的展開圖，右邊哪一項(xiàng)能由它折疊而成？請(qǐng)把它找出來。（）7【】3.本題較特殊，題干給出的是平行四邊形展開圖，雖然形式變化，但、思路不變。將題干各個(gè)面依次標(biāo)記為1-4，如下圖，面1與面2相似（半格半白），面3與面4相似（半黑半白），需要仔細(xì)觀察。選項(xiàng)中面1出現(xiàn)的次數(shù)較多，在面1中畫箭頭，由格紋三角形向空白梯形畫箭頭，畫箭頭時(shí)選項(xiàng)與題干的箭頭方向一致。A項(xiàng)可以看到面1藍(lán)色箭頭的右面4，展開圖面1藍(lán)色箭頭的右面2，排除。C項(xiàng)可以看到面1藍(lán)色箭頭的左面3，展開圖面1中藍(lán)色箭頭的左邊也是面3；在面3中由黑色三角形向白色梯形畫箭頭（紅色箭頭），選項(xiàng)與展開圖紅色箭頭

9、的左邊均為面1，保留。D項(xiàng)面1藍(lán)色箭頭的上側(cè)是面3，展開圖面1藍(lán)色箭頭的上面4，排除。B面4中由黑色梯形向白色三角形畫箭頭（藍(lán)色箭頭），藍(lán)色箭頭的下邊是面2，展開圖面4中藍(lán)色箭頭的下面1，排除?！具xC】例4（2013江蘇）左邊給定的是紙盒外表面的展開圖，右邊哪一項(xiàng)能由它折疊而成？請(qǐng)把它找出來。（）8【】4.本題較難，題干面和面比較難區(qū)分，四個(gè)面較相似，且圖形線條比較多，較難區(qū)分是面內(nèi)部的線條，還是輪廓的線條，考場上可以利用不同顏色的筆勾勒出面與面之間的輪廓線，以輔助解題，如下圖黃色線條所示。若無法分辨選項(xiàng)中出現(xiàn)次數(shù)最多的是面3，依次觀察選項(xiàng)即可。本題每個(gè)選項(xiàng)均出現(xiàn)了面3，在面3中由黑色三角形向

10、小短線畫箭頭（藍(lán)色箭頭），題干和選項(xiàng)按照相同的方向畫箭頭。A項(xiàng)藍(lán)色箭頭的左面2，展開圖藍(lán)色箭頭的左邊也是面2；將面2的白色三角形當(dāng)作箭頭，選項(xiàng)紅色箭頭的右面3，展開圖紅色箭頭的右邊也是面3，保留。B項(xiàng)箭頭右邊的面在原圖中不，是無中生有的面（常見的“坑”），排除。C項(xiàng)藍(lán)色箭頭的下面1，展開圖藍(lán)色箭頭的下邊也是面1；將面1的黑色三角形當(dāng)作箭頭，選項(xiàng)紅色箭頭的左面3，展開圖紅色箭頭的左面4，排除。D項(xiàng)藍(lán)色箭頭的左側(cè)是面2，展開圖藍(lán)色箭頭的左側(cè)也是面2，與A項(xiàng)類似；將面2的白色三角形當(dāng)作箭頭，選項(xiàng)紅色箭頭的上側(cè)是面3，展開圖紅色箭頭的上側(cè)是面4，排除?！具xA】【注意】空間重構(gòu)的“坑”：無中生有的面。例

11、5（2016江蘇C）上邊這個(gè)圖形是由下邊四個(gè)圖形中的某一個(gè)作為外表面折疊而成，請(qǐng)指出它是哪一個(gè)。（）9【】5.本題形式發(fā)生變化，題干給出圖形，選項(xiàng)是展開圖，但思路不變，用箭頭法解題。在黑色面中畫箭頭，因?yàn)楹谏嬷幸粭l線，即參照物，若在白色點(diǎn)面中畫箭頭，無論選取哪個(gè)角度，看起來均一樣，無法確定箭頭的方向。在黑色面中由底邊出發(fā)，沿著實(shí)線向尖角方向畫箭頭，圖箭頭的左側(cè)是白色點(diǎn)面。A項(xiàng)箭頭的左側(cè)是白色點(diǎn)面，保留。B項(xiàng)箭頭的左側(cè)是面，排除。C項(xiàng)箭頭的左側(cè)是面，排除。D項(xiàng)箭頭的左側(cè)是面，排除?！具xA】【注意】四面體總結(jié)：101.解題思維：排除法。2.基礎(chǔ)知識(shí)：（1）展開圖中一條直線的兩條邊，折合之后是同一

12、條邊。（2）平行四邊形展開圖中，最外側(cè)的兩條平行短邊折合之后是同一條邊。3.解題：箭頭法。原則：（1）選取題干和選項(xiàng)的同一個(gè)面畫箭頭。（2）題干和選項(xiàng)箭頭方向要一致。二、八面體11圖1圖2圖31.展開圖中，“V”字形的兩條邊，折合之后是同一條邊【注意】八面體：無需拘泥于展開圖的形式，展開圖形式有多種。1. 八面體的展開圖中，“V”字形的兩條邊，折合之后是同一條邊。2. 如圖1所示，兩條藍(lán)色邊“V”（120°）字形，折合之后是同一條邊；兩條紅色邊“V”（120°）字形，折合之后是同一條邊；兩條黃色邊、綠色邊均“V”（120°）字形，折合之后分別是同一條邊。同理，圖2

13、和圖3中標(biāo)紅的邊、標(biāo)黃的邊、標(biāo)藍(lán)的邊折合之后分別是同一條邊。3. 圖2中，左下側(cè)兩條標(biāo)黑的邊折合后不是同一條邊，因?yàn)椤癡”字形的開口應(yīng)朝外，而這兩條黑色邊的開口是朝內(nèi)的，不是同一條邊。121. 展開圖中，“V”字形的兩條邊，折合之后是同一條邊2. 每個(gè)頂點(diǎn)只發(fā)出四個(gè)面3. 每個(gè)面只有3個(gè)相鄰面【注意】1.八面體的每個(gè)頂點(diǎn)只發(fā)出四個(gè)面。如圖2所示，紅點(diǎn)發(fā)出的四個(gè)面分別是面2、面6、面7、面8；藍(lán)點(diǎn)發(fā)出的四個(gè)面分別是面4、面5、面7、面8（“V”字形的兩條邊折合之后是同一條邊，則兩條標(biāo)藍(lán)的同一條邊， 因此兩個(gè)藍(lán)色的點(diǎn)是同一個(gè)點(diǎn)）。2.八面體中，每個(gè)面只有3個(gè)相鄰面。八面體的每個(gè)面均為三角形，三角形

14、有3條邊，每條邊對(duì)應(yīng)1個(gè)面，則每個(gè)面只有3個(gè)相鄰面。解題思維：排除錯(cuò)誤選項(xiàng)解題：1. 箭頭法2. 公共點(diǎn)法【注意】1.解題思維：類似六面體和四面體，排除錯(cuò)誤選項(xiàng)。2.解題：（1） 先用箭頭法（同四面體的）。（2） 公共點(diǎn)法。若箭頭法無法排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，使用公共點(diǎn)法。例1（2013江蘇B）左邊給定的是紙盒外表面的展開圖，右邊哪一項(xiàng)能由它折疊而成？請(qǐng)把它找出來。（）【】1.將題干各面依次標(biāo)記為1-8，如下圖。在面4中（帶有黑色尖角具有，且在4個(gè)選項(xiàng)中均出現(xiàn)）由白色部分向黑色尖角畫箭頭。A項(xiàng)可以看到藍(lán)色箭頭的左面，右?guī)б粭l線的面，展開圖藍(lán)色箭頭的左帶一條線的面，排除。13【注意】解題 ：優(yōu)先使用箭頭法

15、，再使用公共點(diǎn)法。1. 箭頭法：在面2中由白色梯形向黑色尖角畫箭頭。A項(xiàng)箭頭的左 空白面，箭頭的下 黑色面，題干箭頭的左 面（面3），箭頭的下 全白面面6（ “V”字形的兩條邊折合后是同一條邊），排除。B項(xiàng)箭頭的下邊和右邊均為 面，題干箭頭的下邊和右邊也均為 面，無法排除。2. 公共點(diǎn)法：先在選項(xiàng)中找面的公共點(diǎn)，B 的點(diǎn)為四個(gè)面的公共頂點(diǎn)，該點(diǎn)位于面2中箭頭的右下側(cè)，對(duì)應(yīng)題干展開圖的點(diǎn)a。B項(xiàng)紅色頂點(diǎn)共發(fā)出3個(gè) 面和1個(gè)面2，題干點(diǎn)a共發(fā)出1個(gè)面2、2個(gè) 面和1個(gè)全黑面，選項(xiàng)與展開圖不一致，排除。B項(xiàng)藍(lán)色箭頭的左側(cè)是帶線的面，右側(cè)是面，與展開圖一致，無法排除，此時(shí)可以利用箭頭法驗(yàn)證剩余選項(xiàng)，若

16、無法排除再運(yùn)用公共點(diǎn)法，保留。C項(xiàng)藍(lán)色箭頭的左面，展開圖藍(lán)色箭頭的左帶線的面，排除。D項(xiàng)藍(lán)色箭頭的左面，展開圖藍(lán)色箭頭的左帶線的面，排除?！具xB】例2（2014河南）左邊給定的是紙盒外表面的展開圖，右邊哪一項(xiàng)能由它折疊而成？請(qǐng)把它找出來。（）【】2.將題干各面依次標(biāo)記為1-8，如下圖。面5的三個(gè)頂點(diǎn)長相相同，不易區(qū)分方向，無法畫箭頭；面2和面8二者長相相同，畫出的箭頭不唯一。面4是唯一的面，方向確定，好辨識(shí)，且在A、B、D項(xiàng)中均出現(xiàn)，在面4中由梯形向尖角畫箭頭。A項(xiàng)藍(lán)色箭頭的左面，下面5，展開圖藍(lán)色箭頭的左面，下側(cè)是面5，保留。B項(xiàng)藍(lán)色箭頭的左面5，展開圖藍(lán)色箭頭的下面5，排除。D項(xiàng)藍(lán)色箭頭的

17、右面5，展開圖藍(lán)色箭頭的下面5，排除。A、C項(xiàng)無法用箭頭法排除，看公共點(diǎn)。A項(xiàng)的頂點(diǎn)無法確定是面2還是面8中的點(diǎn)。C項(xiàng)的頂點(diǎn)比較特殊，同時(shí)連著面2和面8，若該選項(xiàng)正確，則題干中點(diǎn)a和點(diǎn)b折合后必須重合。題干點(diǎn)a發(fā)出面2、面3、面4、面5四個(gè)面，而每個(gè)頂點(diǎn)只能發(fā)出4個(gè)面，則點(diǎn)a無法發(fā)出面8，因此點(diǎn)a無法與點(diǎn)b重合，排除?！具xA】14【注意】思路：先畫箭頭，無法排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，再找公共點(diǎn)，要先去找比較好辨識(shí)的點(diǎn)。例3（2014江蘇A）左邊給定的是紙盒外表面的展開圖，右邊哪一項(xiàng)能由它折疊而成？請(qǐng)把它找出來。（）【】3.將題干各面依次標(biāo)記為1-8，如下圖，選項(xiàng)中均出現(xiàn)面2，且方向性明顯，在題干和選項(xiàng)的面

18、2中由白色梯形向尖角畫箭頭。A項(xiàng)藍(lán)色箭頭的左面，下黑面，展開圖藍(lán)色箭頭的左面，下面6（面），排除。B項(xiàng)藍(lán)色箭頭的右邊和下邊均為面，與展開圖一致，用箭頭法無法排除，保留。C項(xiàng)藍(lán)色箭頭下黑面，展開圖藍(lán)色箭頭的下面，排除。D項(xiàng)藍(lán)色箭頭的左邊和右邊均為面，與展開圖一致，保留。再用公共點(diǎn)法解題。B項(xiàng)的公共點(diǎn)出現(xiàn)在面2中，是面2箭頭右邊的紅色頂點(diǎn)，展開圖中該公共點(diǎn)發(fā)出1個(gè)面2、2個(gè)面和1個(gè)黑色面（面7），而選項(xiàng)中該點(diǎn)發(fā)出3個(gè)面和1個(gè)面2，排除。15若先看D項(xiàng)，D項(xiàng)中的藍(lán)點(diǎn)是面2中黑色三角形的頂點(diǎn)，選項(xiàng)中藍(lán)點(diǎn)也是發(fā)出2個(gè)面、1個(gè)黑色面和1個(gè)面2，展開圖該公共點(diǎn)發(fā)出2個(gè)面、1個(gè)黑色面和1個(gè)面2；選項(xiàng)與展開圖一致，無法排除該選項(xiàng)，需要再看B項(xiàng)?！具xD】【注意】總結(jié)：1.解題思維：排除錯(cuò)誤選項(xiàng)（排除法）。2.四面體：（1）基礎(chǔ)知識(shí)：展開圖