線性代數(shù)與空間解析幾何綜合練習(xí)100題

1、綜合練習(xí)100題一、填空題 1設(shè)是階矩陣，滿足，則. 2若階行列式的某一行的所有元素及其余子式都相等，則. 3在一個(gè)階行列式中，如果等于零的元素多于個(gè)，那么這個(gè)行列式. 4設(shè)是矩陣，是矩陣，若，則. 5若階方陣滿足，則. 6若階方陣滿足，則. 7若階方陣滿足，則. 8若都是階方陣，則. 9若階方陣滿足，則秩. 10設(shè)是兩個(gè)階方陣，則 2 . 11設(shè)矩陣，則. 12為階方陣，為階方陣，則. 13設(shè)矩陣滿足，其中為單位矩陣，則. 14設(shè)為階方陣，其特征值為，則100. 15已知，則 16已知階方陣的各行元素之和都等于，且，則的通解為. 17矩陣滿足，則的基礎(chǔ)解系一定由個(gè)線性無關(guān)的解向量構(gòu)成. 18

2、若矩陣滿足，則的特征值只能是或或. 19如果是方陣的一個(gè)特征向量，則；. 20已知與相似，且，則. 21已知的特征值為，則. 22已知是的一個(gè)特征值，則. 23設(shè)是維列向量，則的特征值為. 24若階方陣的行向量組線性相關(guān)，則一定是的一個(gè)特征值. 25直線的單位方向向量為. 26已知，為中第4行元素的代數(shù)余子式，則. 27設(shè)是階方陣，是維列向量，使得線性無關(guān)，且，記，則. 28若兩個(gè)非零幾何向量滿足，則與是夾角. 29直線的參數(shù)方程為 30圓的半徑.二、選擇題 1設(shè)元齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為，則有非零解的充要條件是（C）. （A）； （B）的行向量組線性無關(guān)； （C）的列向量組線性相關(guān)；

3、（D）的列向量組線性無關(guān). 2設(shè)是矩陣，是非齊次線性方程組所對應(yīng)的齊次線性方程組，則下列結(jié)論正確的是（C）. （A）若只有零解，則有唯一解； （B）若有非零解，則有無窮多解； （C）若有無窮多解，則有非零解； （D）的任兩解之和還是的解. 3設(shè)非齊次線性方程組的系數(shù)行列式為零，則（C）. （A）方程組有無窮多解； （B）方程組無解； （C）若方程組有解，則有無窮多解； （D）方程組有唯一解. 4設(shè)是矩陣，對于線性方程組，下列結(jié)論正確的是（A）. （A）若的秩等于，則方程組有解； （B）若的秩小于，則方程組有無窮多解； （C）若的秩等于，則方程組有唯一解； （D）若，則方程組無解. 5設(shè)階方陣的

4、秩是，則其伴隨矩陣的秩為（C）. （A）； （B）； （C）； （D）. 6設(shè)是階方陣，是的伴隨矩陣，則下列結(jié)論正確的是（B）. （A）； （B）若，則； （C）； （D）秩秩. 7設(shè)是階方陣，非零，且，則必有（D）. （A）； （B）； （C）； （D）. 8設(shè)有兩個(gè)平面方程 ， 如果 秩，則一定有（D） （A）與平行； （B）與垂直； （C）與重合； （D）與相交. 9設(shè)為階可逆矩陣，是的一個(gè)特征根，則的伴隨陣的特征根之一是（D）. （A）； （B）； （C）； （D）. 10階方陣有個(gè)不同的特征值是與對角陣相似的（B）. （A）充分必要條件； （B）充分而非必要條件； （C）必要而非充分

5、條件； （D）既非充分條件也非必要條件. 11已知階方陣與某對角陣相似，則（C）. （A）有個(gè)不同的特征值； （B）一定是階實(shí)對稱陣； （C）有個(gè)線性無關(guān)的特征向量； （D）的屬于不同特征值的特征向量正交. 12下列說法正確的是（D）. （A）若有全不為的數(shù)使，則向量組線性無關(guān)； （B）若有一組不全為的數(shù)使得，則向量組線性無關(guān)； （C）若存在一組數(shù)使，則向量組線性相關(guān)； （D）任意個(gè)維幾何向量一定線性相關(guān). 13設(shè)是階方陣，滿足：對任意都有，下列結(jié)論中正確的是（D）. （A）若秩秩，則； （B）若，則； （C）若，則； （D）若，則. 14設(shè)均為階正定矩陣，則必有（B）. （A）正定； （B）

6、正定； （C）正定； （D）正定. 15設(shè)是階方陣，則（C）. （A）為正定矩陣；（B）為正交矩陣；（C）；（D）. 16設(shè)是階方陣，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（D）. （A）若都可逆，則也可逆； （B）若都是實(shí)對稱正定矩陣，則也是實(shí)對稱正定矩陣； （C）若都是正交矩陣，則也是正交矩陣； （D）若都是實(shí)對稱矩陣，則是實(shí)對稱矩陣. 17設(shè)是階方陣，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（B）. （A）若經(jīng)列的初等變換化成，則秩秩； （B）若經(jīng)行的初等變換化成，則； （C）若經(jīng)行的初等變換化成，則與同解； （D）若經(jīng)列的初等變換化成，則的列向量組與的列向量組等價(jià). 18設(shè) ，則必有（C）. （A）；（B）；（C）；（D）.

7、19若與相似，則（B）. （A）；（B）；（C）；（D）. 20若，則（D）. （A）可逆； （B）可逆； （C）或； （D）時(shí)，不可逆. 21設(shè)，則與（A）. （A）合同且相似； （B）合同但不相似； （C）不合同但相似； （D）不合同且不相似. 22實(shí)二次型為正定二次型的充要條件是（C）. （A）的負(fù)慣性指數(shù)是； （B）存在正交陣使； （C）存在可逆陣使； （D）存在矩陣使. 23設(shè)是實(shí)矩陣，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（D）. （A）線性方程組只有零解正定；（B）； （C）的特征值大于等于； （D）正定. 24設(shè)是階方陣，則等于（C）. （A）； （B）； （C）； （D）. 25設(shè)是階方陣，則

8、必有（D）. （A）； （B）; （C）； （D）. 26已知是非齊次線性方程組的兩個(gè)不同的解，是對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，為任意常數(shù)，則方程組的通解為（B）. （A）； （B）； （C）； （D）. 27設(shè)有直線與，則與的夾角為（C）. （A）； （B）； （C）； （D）. 28若都是維列向量，且階行列式 ，則階行列式等于（D）. （A）； （B）； （C）； （D）. 29設(shè)階矩陣非奇異，則（C）. （A）； （B）； （C）； （D）. 30設(shè)矩陣的秩是，則直線與直線（A）. （A）相交于一點(diǎn)； （B）重合； （C）平行但不重合； （D）異面.三、計(jì)算題 1設(shè)，求及. 解：由故的

9、特征值為. 對，由，可解得三個(gè)線性無關(guān)的特征向量，. 對，由，可解得特征向量，令 ，由得 故 . 又. 2設(shè)， （1）滿足什么條件時(shí)，的秩是; （2）取何值時(shí)，是對稱矩陣; （3）取一組，使為正交陣. 解：（1） 當(dāng)時(shí)，的秩是. （2），要想成為對稱矩陣，應(yīng)滿足，即. （3）要想為正交陣，應(yīng)滿足，即. 解得 . 3設(shè)有三維列向量 問取何值時(shí)， （1）可由線性表示，且表達(dá)式唯一； （2）可由線性表示，但表達(dá)式不唯一； （3）不能由線性表示. 解法1： 設(shè), 由 （1）當(dāng)且時(shí)，此時(shí)可由線性表示，且表達(dá)式唯一. （2）當(dāng)時(shí)，可由線性表示，且表達(dá)式不唯一. （3）當(dāng)時(shí)，不能由線性表示. 解法2： 當(dāng)且

10、時(shí)，可由線性表示，且表達(dá)式唯一, 當(dāng)時(shí)，可由線性表示，且表達(dá)式不唯一， 當(dāng)時(shí)，不能由線性表示. 4設(shè)階矩陣的特征值為，對應(yīng)的特征向量依次為，又， 求(n為正整數(shù)). 解：由于 又由于 ，.所以 . 5設(shè)， （1）求的特征值；（2）求的特征值. 解：（1）得的特征值為. （2）由是對稱陣，的特征值是，存在可逆陣使于是 , ，故的特征值為. 6已知是的逆陣的特征向量，試求常數(shù)的值. 解：設(shè)為的特征值為的特征向量，則.即 .即 解得 ，即或. 7設(shè)，已知線性方程組有無窮多解，試求： （1）的值；（2）正交陣，使為對角陣. 解：（1） 要使有無窮多解，必須，因此. （2）此時(shí)，得的特征值. 對于，由，

11、得特征向量，單位化得； 對于，由，得特征向量，單位化得； 對于，由，得特征向量，單位化得; 令，此時(shí)為正交陣，并且為對角陣.8已知線性方程組（I）的一個(gè)基礎(chǔ)解系為，試求線性方程組.（II）的通解. 解：設(shè) 由為（I）的一個(gè)基礎(chǔ)解系得. 由線性無關(guān)，所以，又，所以 是的基礎(chǔ)解系，通解為為任意常數(shù). 9已知方程組有三個(gè)線性無關(guān)的解向量，求的值及方程組的通解. 解：由于該非齊次線性方程組有三個(gè)線性無關(guān)的解向量，故其中. 于是.從而. 該方程組與方程組同解. 令得該方程組的通解 其中為任意常數(shù). 10設(shè)，問當(dāng)為何值時(shí)，存在可逆陣，使得為對角陣，并求出一個(gè)及相應(yīng)的對角陣. 解：的特征方程為： .解得特征

12、根為.當(dāng)時(shí)，有個(gè)線性無關(guān)的特征向量. 當(dāng)時(shí)， 因存在可逆陣，使為對角陣，所以，從而.因此 ， 對應(yīng)于的特征向量為，由得 對應(yīng)于的特征向量為，由，得 令 且為可逆陣，相應(yīng)的對角陣. 11設(shè)，方陣滿足，求. 解：由得 由于，所以可逆，得 ， 12已知將階可逆陣的第行的倍加到第行得矩陣，求. 解：令，則，由于均可逆，故可逆，所以 . 13設(shè)有線性方程組 （不全為） （1）為何值時(shí)方程組有非零解； （2）寫出相應(yīng)的基礎(chǔ)解系及通解； （3）求解空間的維數(shù). 解：（1）齊次方程組有非零解的充要條件是系數(shù)行列式即 故，或時(shí)，方程組有非零解. （2）當(dāng)時(shí)，方程組為，即.其基礎(chǔ)解系為，通解為為任意常數(shù). 當(dāng)時(shí)，

13、方程組為，解得基礎(chǔ)解系為，通解為為任意常數(shù). （3）當(dāng)時(shí)，解空間維數(shù)為；當(dāng)時(shí)，解空間維數(shù)為1. 14設(shè)二次型經(jīng)正交變換化成，其中是階正交矩陣，求及滿足上述條件的一個(gè). 解：正交變換前后，二次型的矩陣分別為， 故二次型可以寫成和，且. 由相似知，即 ， 比較系數(shù)得：. 由，知的特征值是. 解方程組，得，單位化得 解方程組，得， 解方程組，得，單位化得 故. 15求直線與的公垂線方程. 解：與的標(biāo)準(zhǔn)式及參數(shù)形式分別為：與與的方向向量為的方向向量為. 設(shè)與公垂線垂足為，則應(yīng)有，且，. 解得 所以，故公垂線方程為 . 16求直線在平面上投影的方程. 解：點(diǎn)坐標(biāo)為. 設(shè)通過直線垂直于平面的平面的方程為.

14、的法向量為. 平面的法向量為. 由，知，得 解得.從而得方程為 所以所求直線方程為 17設(shè)矩陣與相似，且， （1）求的值； （2）求一個(gè)可逆陣，使. 解：（1）因?yàn)榕c相似，所以有， 比較兩式系數(shù)可得：解得. （2）因與相似，所以的特征值為. 解得的對應(yīng)于特征值2的特征向量，. 解得的對應(yīng)于特征值6的特征向量.令，則有. 18已知階實(shí)對稱陣的特征值為及分別是的對應(yīng)于特征值的特征向量， （1）求的屬于特征值的一個(gè)特征向量； （2）求正交變換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形. 解：（1）設(shè)對應(yīng)的特征向量為，則有，可取 . （2）把特征向量規(guī)范正交化后得：.令 ，則在正交變換下化為 . 19已知二次型的秩為，求及此

15、二次型對應(yīng)矩陣的特征值，指出代表三維幾何空間中何種幾何曲面. 解：二次型所對應(yīng)的矩陣為, 因的秩為，即的秩為，故有，所以. ，得特征值為. 與特征值相對應(yīng)的單位特征向量分別為，取正交變換陣，則在正交線性變換下，方程化為橢圓柱面. 20設(shè)有數(shù)列，求. 解法1： 由, 得. 記 得的特征值為，并且 分別是的對應(yīng)于特征值的特征向量. 記，于是則 所以. 解法2： 設(shè) 將按第一行展開可得 （1） 由的對稱性可得 （2） 若，（1）、（2）聯(lián)立解之 （3） 若，由（1） （4） 考察 令 補(bǔ)充定義，則于是 解：, 得 ，由（3）知 .四、證明題 1證明，（為正整數(shù)）. 證： 時(shí)， 假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，當(dāng)時(shí)

16、，若，由知命題成立.若，將按第一行展開得 由數(shù)學(xué)歸納法，對一切自然數(shù)結(jié)論都成立. 2設(shè)為階方陣，證明：若存在大于等于的自然數(shù)使，則. 證：因，所以，又為階方陣，故.所以經(jīng)初等變換可以化為，于是存在可逆陣，使，取，則. 令，則 由知， 或者，故. 3設(shè)是冪等陣，試證 （1）的特征值只能是或， （2）， （3）可相似對角化； （4）. 證：（1）設(shè)是的任一特征值，則存在使. 于是.由知，. 由得，故或. （2）由知，于是 （1）由知 （2）綜合（1），（2）可得 （3）記. 當(dāng)或時(shí)，或，命題顯然成立. 以下設(shè)，由知，. 取為的基礎(chǔ)解系是的基礎(chǔ)解系，則是的屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量，是的屬于特征

17、值1的線性無關(guān)的特征向量，故由知有個(gè)線性無關(guān)的特征向量. 從而可相似對角化. （4）由（1）、（3）可知存在可逆陣使于是. 4設(shè)是階正定矩陣，證明：的特征值全大于0. 證：因正定，則存在可逆陣，使 因可逆，則可逆，從而正定，它的特征值全大于， 因與相似，從而的特征值全大于. 5設(shè)為階方陣，試證： （1）若且，則線性無關(guān)； （2）的解一定是的解； （3）. 證：（1）反證法若線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)，使， 設(shè)是第一個(gè)不等于零的系數(shù)，即，則 ，兩邊乘以矩陣，得， 由于，故對任意都有，從而由上式得，但，故與假設(shè)矛盾. （2）證明：假設(shè)是的解，但不是的解，即有 但. 由（1）知線性無關(guān)，與個(gè)維向量

18、線性相關(guān)矛盾，故是的解. （3）由（2）知的解一定是的解，且易知的解一定是的解，所以方程與同解，所以. 6已知向量組線性無關(guān)，試證：向量組 線性無關(guān). 證：假設(shè)有一組數(shù)使得.則有，即有由于線性無關(guān)，所以，所以.故線性無關(guān). 7設(shè)線性無關(guān)，為奇數(shù)，試證：線性無關(guān). 證：假設(shè)存在一組數(shù)使，則有，即又由于線性無關(guān)，所以，因?yàn)槭瞧鏀?shù)，所以線性方程組（1）的系數(shù)行列式， （1）故（1）只有零解，所以，故線性無關(guān). 8設(shè)階矩陣的個(gè)列向量為，階矩陣的個(gè)列向量為，問齊次線性方程組是否有非零解，證明你的結(jié)論.證：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，齊次線性方程組，沒有非零解. 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，有非零解. 由于，所以階矩陣的個(gè)列向量線性無關(guān)

19、， 由上題知，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，也線性無關(guān)，所以，因此齊次線性方程組沒有非零解， 但當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，因，線性相關(guān)，所以. 因此，齊次線性方程組有非零解. 9設(shè)是階方陣的分別屬于不同特征值的特征向量，. 試證：線性無關(guān). 證：設(shè)的個(gè)互不相同的特征值為，對應(yīng)的特征向量依次為，則 . 設(shè)有一組數(shù)，使得即.可得. 由于線性無關(guān)，所以 即 又由于.所以，即線性無關(guān). 10已知是兩個(gè)階實(shí)對稱矩陣，試證與相似的充要條件是的特征多項(xiàng)式相等. 證：（1）若與相似，記，則. （2）若的特征多項(xiàng)式相等，則有相同的特征值. 因都是實(shí)對稱矩陣，存在正交陣使于是.即故與相似. 11設(shè)是階實(shí)矩陣，證明當(dāng)時(shí)，正定. 證：，即是實(shí)對稱陣. 對任意維非零實(shí)列向量，有由于，所以，又，所以.即正定. 12設(shè)是實(shí)矩陣，證明：，并舉例說明是復(fù)矩陣時(shí)，結(jié)論未必成立. 證：考察方程組， （1） （2）顯然（2）的解均為（1）的解，因而，即有 （3） 另一方面，對任意如果，則，即 （4） 設(shè)，由（4）知，因?yàn)闉閷?shí)矩陣，為實(shí)向量，故均為實(shí)數(shù)，所以，即，由于（2）的解也是（1）的解，故有，即 （5）綜合（3），（5）式知由知故有. 令，則，于是，即是復(fù)矩陣，結(jié)論不