用導(dǎo)數(shù)求切線方程的四種類型

1、用導(dǎo)數(shù)求切線方程的四種類型浙江曾安雄求曲線的切線方程是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用之一，用導(dǎo)數(shù)求切線方程的關(guān)鍵在于求出切點(diǎn)及斜率，其求法為：設(shè)是曲線上的一點(diǎn)，則以的切點(diǎn)的切線方程為：若曲線在點(diǎn)的切線平行于軸（即導(dǎo)數(shù)不存在）時(shí)，由切線定義知，切線方程為下面例析四種常見的類型及解法類型一：已知切點(diǎn)，求曲線的切線方程此類題較為簡單，只須求出曲線的導(dǎo)數(shù)，并代入點(diǎn)斜式方程即可例1曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）解：由則在點(diǎn)處斜率，故所求的切線方程為，即，因而選類型二：已知斜率，求曲線的切線方程此類題可利用斜率求出切點(diǎn)，再用點(diǎn)斜式方程加以解決例2與直線的平行的拋物線的切線方程是（）解：設(shè)為切點(diǎn)，則切點(diǎn)的斜率為由此得到切點(diǎn)故切

2、線方程為，即，故選評(píng)注：此題所給的曲線是拋物線，故也可利用法加以解決，即設(shè)切線方程為，代入，得，又因?yàn)?，得，故選類型三：已知過曲線上一點(diǎn)，求切線方程過曲線上一點(diǎn)的切線，該點(diǎn)未必是切點(diǎn)，故應(yīng)先設(shè)切點(diǎn)，再求切點(diǎn)，即用待定切點(diǎn)法例3求過曲線上的點(diǎn)的切線方程解：設(shè)想為切點(diǎn)，則切線的斜率為切線方程為又知切線過點(diǎn)，把它代入上述方程，得解得，或故所求切線方程為，或，即，或評(píng)注：可以發(fā)現(xiàn)直線并不以為切點(diǎn)，實(shí)際上是經(jīng)過了點(diǎn)且以為切點(diǎn)的直線這說明過曲線上一點(diǎn)的切線，該點(diǎn)未必是切點(diǎn)，解決此類問題可用待定切點(diǎn)法類型四：已知過曲線外一點(diǎn)，求切線方程此類題可先設(shè)切點(diǎn)，再求切點(diǎn)，即用待定切點(diǎn)法來求解例4求過點(diǎn)且與曲線相切的

3、直線方程解：設(shè)為切點(diǎn)，則切線的斜率為切線方程為，即又已知切線過點(diǎn)，把它代入上述方程，得解得，即評(píng)注：點(diǎn)實(shí)際上是曲線外的一點(diǎn)，但在解答過程中卻無需判斷它的確切位置，充分反映出待定切點(diǎn)法的高效性例5已知函數(shù)，過點(diǎn)作曲線的切線，求此切線方程解：曲線方程為，點(diǎn)不在曲線上設(shè)切點(diǎn)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足因，故切線的方程為點(diǎn)在切線上，則有化簡得，解得所以，切點(diǎn)為，切線方程為評(píng)注：此類題的解題思路是，先判斷點(diǎn)A是否在曲線上，若點(diǎn)A在曲線上，化為類型一或類型三；若點(diǎn)A不在曲線上，應(yīng)先設(shè)出切點(diǎn)并求出切點(diǎn)2、求圓錐曲線的切線在初中數(shù)學(xué)中，曲線的切線沒有一般的定義。例如，圓的切線定義為與圓只有一個(gè)交點(diǎn)的直線，但把這一定義用

4、到其他曲線上就不行了。如直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，是的切線，但與拋物線也只有一個(gè)交點(diǎn)，但卻不是的切線，由此可見，用“一個(gè)交點(diǎn)”來定義切線并不能用于所有曲線。而學(xué)了微積分的知識(shí)后，就可以給出曲線切線的一般定義了。切線的定義：設(shè)是曲線上一定點(diǎn)，是該曲線上的一動(dòng)點(diǎn)，從而有割線，令沿著曲線無限趨近于，則割線的極限位置就是曲線在的切線（如果極限存在的話）。這一定義與初等數(shù)學(xué)中圓的切線定義是一致的（用于討論圓的切線時(shí)），用這一定義也容易證明是的切線，而不是的切線，這一切線定義可用于任何曲線。導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線在點(diǎn)的切線斜率。故運(yùn)用上述切線的一般定義和結(jié)論，可以處理與切線有關(guān)的許多問題。例6求曲線在時(shí)的

5、切線方程。解：當(dāng)時(shí)，又當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所求的切線方程為：即反思：由此可見，用微積分法解此類問題是多么的簡單容易，可是在初等數(shù)學(xué)中，曲線的切線定義都難得給出，更別說討論與的切線有關(guān)的問題了。例7已知函數(shù)在處取得極值，過點(diǎn)作曲線的切線，求此切線方程。解：由例4，曲線方程為，點(diǎn)不在曲線上。設(shè)切點(diǎn)為則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，由于，故切線的方程為.注意到點(diǎn)在切線上,有化簡得,解得.因此,切點(diǎn)為,切線方程為.要點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)是如何定義2.如何求曲線在點(diǎn)處的切線方程與法線方程。第三章導(dǎo)數(shù)與微分§3.1導(dǎo)數(shù)的概念由于機(jī)器制造，遠(yuǎn)洋航海，天象觀測(cè)等大量實(shí)際問題給數(shù)學(xué)家提出了許多課題。其中求曲邊梯形面積的研究導(dǎo)致了積分

6、學(xué)的產(chǎn)生，而求變速運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度，求曲線上一點(diǎn)的切線，求函數(shù)的極大值和極小值等問題的研究導(dǎo)致了微分學(xué)的產(chǎn)生。歷史上，Newton從瞬時(shí)速度出發(fā)，Leibniz從曲線的切線出發(fā)，分別給出導(dǎo)數(shù)的概念，并明確給出計(jì)算導(dǎo)數(shù)的步驟，而且建立了有關(guān)積分與微分是互為逆運(yùn)算的完整理論。一.導(dǎo)數(shù)的概念1. 平均變化率設(shè)在點(diǎn)處自變量改變，函數(shù)相應(yīng)地改變,則平均變化率是.圖3.1不難看出，平均變化率的幾何解釋是連續(xù)曲線上兩點(diǎn)的割線的斜率(如何？)2.瞬時(shí)變化率當(dāng)物體做變速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，它的速度隨時(shí)間而確定，此時(shí)平均變化率表示時(shí)刻從到這一段時(shí)間內(nèi)的平均速度，若設(shè)路程是時(shí)間的函數(shù)，則，當(dāng)很小時(shí)，可以用近似地表示物體在時(shí)刻

7、的速度，愈小，近似的程度就愈好。當(dāng)時(shí)，如果極限存在，則稱此極限為物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度，即.例1.已知自由落體的運(yùn)動(dòng)方程為.求（1）：落體從到這段時(shí)間內(nèi)的平均速度.（2）：落體在時(shí)的瞬時(shí)速度。解（1），.平均速度.（2）：落體在時(shí)的瞬時(shí)速度。瞬時(shí)速度.3.切線的斜率設(shè)有一連續(xù)函數(shù)，則平均變化率是指曲線上的兩點(diǎn)的割線的斜率。即割線的斜率是.當(dāng)時(shí),顯然,割線越來越趨于曲線在點(diǎn)處的切線.即切線是割線的極限位置，平均變化率的極限值（如果存在）則是曲線在點(diǎn)的切線的斜率。圖3.2例2求曲線在點(diǎn)處的切線斜率和切線方程.解：先計(jì)算從點(diǎn)到鄰近任意點(diǎn)的平均變化率.故曲線在點(diǎn)處的切線斜率應(yīng)為=3.而過點(diǎn)的切線方程為.

8、即.思考題如果上題中改為求過點(diǎn)的切線，此時(shí)要驗(yàn)證點(diǎn)是否在曲線上。然后求出切點(diǎn)（，再用點(diǎn)斜式求出切線方程，此時(shí)個(gè)能有左、右兩條切線。對(duì)一般曲線，既使點(diǎn)在曲線上，如果求在點(diǎn)處的切線，則切線可能有1條、2條、3條。由上面的例題可以看出，平均變化率的極限可以給出不同的解釋。一個(gè)是作為變速直線運(yùn)動(dòng)在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度，一個(gè)是看作曲線上某一點(diǎn)的切線的斜率。其實(shí)這個(gè)量或（其中）在各個(gè)不同領(lǐng)域中可以有許多不同的解釋。數(shù)學(xué)上給它一個(gè)特殊的名稱，叫做函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。4.導(dǎo)數(shù)的定義定義設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在點(diǎn)處取得改變量()時(shí)，函數(shù)取得相應(yīng)的改變量.如果當(dāng)時(shí)，改變量的比的極限存在，即存在，則稱此

9、極限值為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)（或叫微商）。記作,或是從到的平均變化率，而則稱函數(shù)在點(diǎn)處的變化率?？梢妼?dǎo)數(shù)是函數(shù)在一點(diǎn)處的局部性質(zhì)。如果在點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù)，則稱在點(diǎn)處可導(dǎo)，否則稱在點(diǎn)處不可導(dǎo)。如果在某區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則稱在內(nèi)可導(dǎo).設(shè)在內(nèi)可導(dǎo)，則對(duì)于區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)導(dǎo)數(shù)值，因此就定義了內(nèi)的一個(gè)新函數(shù)，稱為導(dǎo)函數(shù)，簡稱為導(dǎo)數(shù)，記作,利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，瞬時(shí)速度就是路程對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，即.而曲線在點(diǎn)處的切線斜率應(yīng)為.而過點(diǎn)（的切線方程應(yīng)為.當(dāng)是或（此時(shí)極限不存在，故導(dǎo)數(shù)不存在）在幾何上則表示曲線在點(diǎn)處有一條垂直的切線。（所以“曲線函數(shù)在此點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)不存在,則曲線在此點(diǎn)就沒有切線”的說法是錯(cuò)誤的）。例3求線性函

10、數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解求導(dǎo)數(shù)的步驟是：（1） 計(jì)算函數(shù)的相應(yīng)的改變量=.（2） 計(jì)算改變量的比值（3） 求極限.即.例4求的導(dǎo)數(shù)。解，.即例5求的導(dǎo)數(shù)，并算出.解,（型）.即因此.前面所采用的導(dǎo)數(shù)定義是如下形式.但有時(shí)為方便，也可以換一種形式：若記，則有.另外一種形式是：若令，即，則有.以下要點(diǎn)1.左導(dǎo)數(shù)，右導(dǎo)數(shù)2.分段點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)要用定義求例6用定義討論函數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)性與可導(dǎo)性。解，故知在處連續(xù)。因?yàn)樵邳c(diǎn)處函數(shù)的改變量.（不存在，上下振蕩）。所以在處不可導(dǎo)。此例說明在處連續(xù)未必可導(dǎo)。*思考題討論在點(diǎn)處（1）連續(xù)；（2）可導(dǎo)；（3）連續(xù)。（答例設(shè)，求.解其中，而.5.左，右導(dǎo)數(shù)的概念定義設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)

11、有定義，如果存在，則稱此極限值為函數(shù)在點(diǎn)處的左導(dǎo)數(shù)。記作.如果存在，則稱此極限值為函數(shù)在點(diǎn)處的右導(dǎo)數(shù)。記作由極限的性質(zhì)可知，當(dāng)且僅當(dāng)在點(diǎn)處的左導(dǎo)數(shù)，右導(dǎo)數(shù)都存在且相等時(shí)，函數(shù)在該點(diǎn)才是可導(dǎo)的。所以函數(shù)在上可導(dǎo)，是指在開區(qū)間內(nèi)處處可導(dǎo)，且存在與.在求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)時(shí)，就需要研究分段點(diǎn)處的左，右導(dǎo)數(shù)。例8.設(shè)，求.解（去掉絕對(duì)值符號(hào)）,是分段點(diǎn)。（已講過，復(fù)習(xí)）令，則.同理.故不存在，因此在處不可導(dǎo)。例9.討論函數(shù)在處的連續(xù)性與可導(dǎo)性。解連續(xù)性：.圖3.3.在處連續(xù)?？蓪?dǎo)性：，故在處不可導(dǎo)。此例再一次說明函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，未必在該點(diǎn)可導(dǎo)。6.可導(dǎo)必連續(xù)定理如果在點(diǎn)處可導(dǎo)，則它在該點(diǎn)必連續(xù)。

12、證在點(diǎn)可導(dǎo)，=.由，可知即在點(diǎn)處連續(xù)。根據(jù)此定理，如果已經(jīng)判斷出函數(shù)在某一點(diǎn)不連續(xù)，則立即可以得出函數(shù)在該點(diǎn)不可導(dǎo)的結(jié)論。例10.討論函數(shù)在分段點(diǎn)及處的連續(xù)性與可導(dǎo)性。解（1）在點(diǎn)處.不存在；故在不連續(xù)，從而在處也不可導(dǎo)。（2）在點(diǎn)處.且.因此在處連續(xù)。進(jìn)一步研究在處的可導(dǎo)性，因?yàn)槭欠侄吸c(diǎn)，所以要考慮.故在處可導(dǎo)，且.(3) 在點(diǎn)的連續(xù)性：.而.，故在點(diǎn)是連續(xù)的。再討論可導(dǎo)性：.，故不存在，即在處不可導(dǎo)。由上可知，在討論分段點(diǎn)的連續(xù)性和可導(dǎo)性時(shí)，一般來說，都要先考慮其左，右極限和左，右導(dǎo)數(shù)。附加例題設(shè)和是常數(shù)，定義求，其中.本周作業(yè)：p.112.2(1,3),3,5(2,6,7);6(3,4,

13、6,7,8,10,11,12,14,23,)（2）書p.96定理。（3）“數(shù)學(xué)之美”改在11月3日(周5)下午4點(diǎn)，于（東校門內(nèi)）綜合實(shí)驗(yàn)樓一樓報(bào)告廳。兩個(gè)例題：*例設(shè)在上有定義，在上若都有，其中為常數(shù).（1）寫出在內(nèi)的表達(dá)式；（2）問在處可導(dǎo)。解（1）當(dāng)即時(shí)，（2）由題設(shè)知故在處可導(dǎo)，且*例內(nèi)可導(dǎo)，且滿足求，求解設(shè)則因?yàn)楣?由已知條件得，因此即解出(?)由得故Weierstrass曾舉一例：其中.處處連續(xù)處處不可導(dǎo)。導(dǎo)數(shù)【本章學(xué)習(xí)目標(biāo)】本章章頭圖是由一幅超級(jí)市場(chǎng)飲料貨架的照片和一幅圓柱形圖象組成與圖相配，引言給出了一個(gè)實(shí)際問題：當(dāng)圓柱形金屬罐的容積一定時(shí)，怎樣選取圓柱形罐的尺寸，能使所用材料

14、最省?這可以歸納為求一個(gè)函數(shù)的最大(小)值的問題在日常生活、生產(chǎn)和科研中，類似的問題大量存在，一般來說，這些問題是可以用初等方法來解決的，但更有效、更簡潔的工具還是微積分另外利用微積分還可以解決曲線的切線問題，物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度及方向等問題本章主要內(nèi)容有：(1)導(dǎo)數(shù)的概念(2)幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(3)函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)(4)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(5)對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(6)微分的概念與運(yùn)算(7)函數(shù)的單調(diào)性(8)函數(shù)的極值以及函數(shù)的最大值與最小值本章的重點(diǎn)是：1導(dǎo)數(shù)的概念及導(dǎo)數(shù)的幾何意義2常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用本章的難點(diǎn)是：1導(dǎo)數(shù)概念的理解2利用導(dǎo)數(shù)判別可導(dǎo)函數(shù)的極值的方法及求

15、一些實(shí)際問題的最大值與最小值【基礎(chǔ)知識(shí)導(dǎo)引】1了解曲線的切線的概念2在了解瞬時(shí)速度的基礎(chǔ)上抽象出變化率的概念3了解導(dǎo)數(shù)的概念，并能利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)4了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義【教材內(nèi)容全解】1曲線的切線在初中學(xué)過圓的切線，直線和圓有惟一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相切，這時(shí)直線叫做圓的切線，惟一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)圓是一種特殊的曲線，能不能將圓的切線的概念推廣為一段曲線的切線，即直線和曲線有惟一公共點(diǎn)時(shí)，直線叫做曲線過該點(diǎn)的切線，顯然這種推廣是不妥當(dāng)?shù)娜鐖D31中的曲線C是我們熟知的正弦曲線y=sinx直線與曲線C有惟一公共點(diǎn)M，但我們不能說直線與曲線C相切；而直線盡管與曲線C有不止一個(gè)公共點(diǎn)，我們還是說直線是

16、曲線C在點(diǎn)N處的切線因此，對(duì)于一般的曲線，須重新尋求曲線的切線的定義所以課本P110利用割線的極限位置來定義了曲線的切線2瞬時(shí)速度在高一物理學(xué)習(xí)直線運(yùn)動(dòng)的速度時(shí)，涉及過瞬時(shí)速度的一些知識(shí)，物理教科書中首先指出：運(yùn)動(dòng)物體經(jīng)過某一時(shí)刻(或某一位置)的速度叫做瞬時(shí)速度，然后從實(shí)際測(cè)量速度出發(fā)，結(jié)合汽車速度儀的使用，對(duì)瞬時(shí)速度作了說明物理課上對(duì)瞬時(shí)速度只給出了直觀的描述，有了極限工具后，本節(jié)教材中是用物體在一段時(shí)間運(yùn)動(dòng)的平均速度的極限來定義瞬時(shí)速度3導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)定義與求導(dǎo)數(shù)的方法是本節(jié)的重點(diǎn)，推導(dǎo)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則與某些導(dǎo)數(shù)公式時(shí)，都是以此為依據(jù)對(duì)導(dǎo)數(shù)的定義，我們應(yīng)注意以下三點(diǎn)：(1)x是自變量x在處的增

17、量(或改變量)(2)導(dǎo)數(shù)定義中還包含了可導(dǎo)或可微的概念，如果x0時(shí)，有極限，那么函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處可導(dǎo)或可微，才能得到f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)(3)如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處可導(dǎo)，那么函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處連續(xù)(由連續(xù)函數(shù)定義可知)反之不一定成立例如函數(shù)y=|x|在點(diǎn)x=0處連續(xù)，但不可導(dǎo)由導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)，是求導(dǎo)數(shù)的基本方法，必須嚴(yán)格按以下三個(gè)步驟進(jìn)行：(1)求函數(shù)的增量；(2)求平均變化率；(3)取極限，得導(dǎo)數(shù)。4導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是曲線y=(x)在點(diǎn)處的切線的斜率由此，可以利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程具體求法分兩步：(1)求出函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，即曲線y=

18、f(x)在點(diǎn)處的切線的斜率；(2)在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程為特別地，如果曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線平行于y軸，這時(shí)導(dǎo)數(shù)不存，根據(jù)切線定義，可得切線方程為【難題巧解點(diǎn)撥】例1已知f(x)在x=a處可導(dǎo)，且f(a)=b，求下列極限：（1）；（2）分析在導(dǎo)數(shù)定義中，增量x的形式是多種多樣，但不論x選擇哪種形式，y也必須選擇相對(duì)應(yīng)的形式。利用函數(shù)f(x)在處可導(dǎo)的條件，可以將已給定的極限式恒等變形轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。解（1）（2）點(diǎn)撥只有深刻理解概念的本質(zhì)，才能靈活應(yīng)用概念解題。解決這類問題的關(guān)鍵是等價(jià)變形，使極限式轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。例2（1）求函數(shù)在x=1處的導(dǎo)

19、數(shù)；（2）求函數(shù)（a、b為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)。分析根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是求導(dǎo)數(shù)的基本方法。解（1），。（2），。y=2x+a點(diǎn)撥應(yīng)熟練掌握依據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的三個(gè)步驟。例3已知拋物線與直線y=x+2相交于A、B兩點(diǎn)，過A、B兩點(diǎn)的切線分別為和。（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求直線與的夾角。分析理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義是解決本例的關(guān)鍵。解（1）由方程組解得A(-2，0)，B(3，5)（2）由y=2x，則，。設(shè)兩直線的夾角為，根據(jù)兩直線的夾角公式，所以點(diǎn)撥本例中直線與拋物線的交點(diǎn)處的切線，就是該點(diǎn)處拋物線的切線。注意兩條直線的夾角公式有絕對(duì)值符號(hào)。例4證明：如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處可導(dǎo)，那

20、么函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處連續(xù)。分析從已知和要證明的問題中去尋找轉(zhuǎn)化的方法和策略，要證明f(x)在點(diǎn)處連續(xù)，必須證明，由于函數(shù)f(x)在點(diǎn)處可導(dǎo)，因此根據(jù)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)的定義，逐步實(shí)現(xiàn)這個(gè)轉(zhuǎn)化。已知：求證：證明：考慮，令，則，等價(jià)于x0，于是函數(shù)f(x)在點(diǎn)處連續(xù)。點(diǎn)撥函數(shù)f(x)在點(diǎn)處連續(xù)、有極限以及導(dǎo)數(shù)存在這三者之間的關(guān)系是：導(dǎo)數(shù)存在連續(xù)有極限。反之則不一定成立，例如y=|x|在點(diǎn)x=0處有極限且連續(xù)，但導(dǎo)數(shù)不存在?！菊n本習(xí)題解答】練習(xí)（P111）1（1）切線的斜率為4；（2）切線方程為y=4x-2。2切線方程為y=-4x-3。練習(xí)（P113）1瞬時(shí)速度為10m/s（比較略）。2瞬時(shí)速度為8

21、m/s（比較略）。練習(xí)（P116）1162。3切線方程y=4x-2。4切線方程為。習(xí)題31(P116)1速度為210m/s2速度為2.8m/s3y=2x-2，4,5(1)；(2)。6切線方程為y=6x+1及y=2x+17切線方程為y=8x-108切線方程為y=-x+69切線方程為y=15x+16【同步達(dá)綱練習(xí)】一、選擇題1設(shè)函數(shù)f(x)在處可導(dǎo)，則等于（）ABCD2若，則等于（）ABC3D23若函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f(x)=-sinx，則函數(shù)圖像在點(diǎn)（4，f（4）處的切線的傾斜角為（）A90°B0°C銳角D鈍角4一直線運(yùn)動(dòng)的物體，從時(shí)間t到t+t時(shí)，物體的位移為s，那么為（

22、）A從時(shí)間t到t+t時(shí)，物體的平均速度B時(shí)間t時(shí)該物體的瞬時(shí)速度C當(dāng)時(shí)間為t時(shí)該物體的速度D從時(shí)間t到t+t時(shí)位移的平均變化率5對(duì)任意x，有，f(1)=-1，則此函數(shù)為（）ABCD6設(shè)f(x)在處可導(dǎo)，下列式子中與相等的是（）（1）；（2）；（3）（4）。A（1）（2）B（1）（3）C（2）（3）D（1）（2）（3）（4）二、填空題7若函數(shù)f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)存在，則它所對(duì)應(yīng)的曲線在點(diǎn)處的切線方程是_。8已知曲線，則_。9設(shè)，則_。10在拋物線上依次取兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別為，若拋物線上過點(diǎn)P的切線與過這兩點(diǎn)的割線平行，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為_。三、解答題11曲線在點(diǎn)A處的切線的斜率為3，求該曲線在A

23、點(diǎn)處的切線方程。12在拋物線上求一點(diǎn)P，使過點(diǎn)P的切線和直線3x-y+1=0的夾角為。13判斷函數(shù)在x=0處是否可導(dǎo)。14求經(jīng)過點(diǎn)（2，0）且與曲線相切的直線方程。參考答案【同步達(dá)綱練習(xí)】一、選擇題1C2B3C4B5B6B二、填空題7。8。9-6。10（2，4）。三、解答題11由導(dǎo)數(shù)定義求得，令，則x=±1。當(dāng)x=1時(shí)，切點(diǎn)為（1，1），所以該曲線在（1，1）處的切線方程為y-1=3(x-1)即3x-y-2=0；當(dāng)x=-1時(shí)，則切點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-1），所以該曲線在（-1，-1）處的切線方程為y+1=3(x+1)即3x-y+2=0。12由導(dǎo)數(shù)定義得f(x)=2x，設(shè)曲線上P點(diǎn)的坐標(biāo)為

24、，則該點(diǎn)處切線的斜率為，根據(jù)夾角公式有解得或，由，得；由，得；則P（-1，1）或。13，不存在。函數(shù)f(x)在x=0處不可導(dǎo)。14可以驗(yàn)證點(diǎn)（2，0）不在曲線上，故設(shè)切點(diǎn)為。由，得所求直線方程為。由點(diǎn)（2，0）在直線上，得，再由在曲線上，得，聯(lián)立可解得，。所求直線方程為x+y-2=0。導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的題型與方法一復(fù)習(xí)目標(biāo)：1了解導(dǎo)數(shù)的概念，能利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)掌握函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，理解導(dǎo)函數(shù)的概念了解曲線的切線的概念在了解瞬時(shí)速度的基礎(chǔ)上抽象出變化率的概念2熟記基本導(dǎo)數(shù)公式（c,x(m為有理數(shù))，sinx,cosx,e,a,lnx,logx的導(dǎo)數(shù)）。掌握兩個(gè)函數(shù)四則運(yùn)算的求導(dǎo)

25、法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會(huì)求某些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利能夠用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間，求一個(gè)函數(shù)的最大(小)值的問題，掌握導(dǎo)數(shù)的基本應(yīng)用3了解函數(shù)的和、差、積的求導(dǎo)法則的推導(dǎo)，掌握兩個(gè)函數(shù)的商的求導(dǎo)法則。能正確運(yùn)用函數(shù)的和、差、積的求導(dǎo)法則及已有的導(dǎo)數(shù)公式求某些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。4了解復(fù)合函數(shù)的概念。會(huì)將一個(gè)函數(shù)的復(fù)合過程進(jìn)行分解或?qū)讉€(gè)函數(shù)進(jìn)行復(fù)合。掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，并會(huì)用法則解決一些簡單問題。二考試要求：了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實(shí)際背景（如瞬時(shí)速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等），掌握函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，理解導(dǎo)函數(shù)的概念。熟記基本導(dǎo)數(shù)公式（c,x(m為有理數(shù))，sinx,cosx,

26、e,a,lnx,logx的導(dǎo)數(shù)）。掌握兩個(gè)函數(shù)四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會(huì)求某些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。了解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，了解可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件（導(dǎo)數(shù)要極值點(diǎn)兩側(cè)異號(hào)），會(huì)求一些實(shí)際問題（一般指單峰函數(shù)）的最大值和最小值。三教學(xué)過程：（）基礎(chǔ)知識(shí)詳析導(dǎo)數(shù)是微積分的初步知識(shí)，是研究函數(shù)，解決實(shí)際問題的有力工具。在高中階段對(duì)于導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)，主要是以下幾個(gè)方面:1導(dǎo)數(shù)的常規(guī)問題：（1）刻畫函數(shù)（比初等方法精確細(xì)微）；（2）同幾何中切線聯(lián)系（導(dǎo)數(shù)方法可用于研究平面曲線的切線）；（3）應(yīng)用問題（初等方法往往技巧性要求較高，而導(dǎo)數(shù)方法顯得簡便）等關(guān)于次多項(xiàng)式的

27、導(dǎo)數(shù)問題屬于較難類型。2關(guān)于函數(shù)特征，最值問題較多，所以有必要專項(xiàng)討論，導(dǎo)數(shù)法求最值要比初等方法快捷簡便。3導(dǎo)數(shù)與解析幾何或函數(shù)圖象的混合問題是一種重要類型，也是高考中考察綜合能力的一個(gè)方向，應(yīng)引起注意。4曲線的切線在初中學(xué)過圓的切線，直線和圓有惟一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相切，這時(shí)直線叫做圓的切線，惟一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)圓是一種特殊的曲線，能不能將圓的切線的概念推廣為一段曲線的切線，即直線和曲線有惟一公共點(diǎn)時(shí)，直線叫做曲線過該點(diǎn)的切線，顯然這種推廣是不妥當(dāng)?shù)娜鐖D31中的曲線C是我們熟知的正弦曲線y=sinx直線與曲線C有惟一公共點(diǎn)M，但我們不能說直線與曲線C相切；而直線盡管與曲線C有不止一個(gè)公共

28、點(diǎn)，我們還是說直線是曲線C在點(diǎn)N處的切線因此，對(duì)于一般的曲線，須重新尋求曲線的切線的定義所以課本利用割線的極限位置來定義了曲線的切線5瞬時(shí)速度在高一物理學(xué)習(xí)直線運(yùn)動(dòng)的速度時(shí)，涉及過瞬時(shí)速度的一些知識(shí)，物理教科書中首先指出：運(yùn)動(dòng)物體經(jīng)過某一時(shí)刻(或某一位置)的速度叫做瞬時(shí)速度，然后從實(shí)際測(cè)量速度出發(fā)，結(jié)合汽車速度儀的使用，對(duì)瞬時(shí)速度作了說明物理課上對(duì)瞬時(shí)速度只給出了直觀的描述，有了極限工具后，本節(jié)教材中是用物體在一段時(shí)間運(yùn)動(dòng)的平均速度的極限來定義瞬時(shí)速度6導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)定義與求導(dǎo)數(shù)的方法是本節(jié)的重點(diǎn)，推導(dǎo)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則與某些導(dǎo)數(shù)公式時(shí)，都是以此為依據(jù)對(duì)導(dǎo)數(shù)的定義，我們應(yīng)注意以下三點(diǎn)：(1)x是自變

29、量x在處的增量(或改變量)(2)導(dǎo)數(shù)定義中還包含了可導(dǎo)或可微的概念，如果x0時(shí)，有極限，那么函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處可導(dǎo)或可微，才能得到f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)(3)如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處可導(dǎo)，那么函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處連續(xù)(由連續(xù)函數(shù)定義可知)反之不一定成立例如函數(shù)y=|x|在點(diǎn)x=0處連續(xù)，但不可導(dǎo)由導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)，是求導(dǎo)數(shù)的基本方法，必須嚴(yán)格按以下三個(gè)步驟進(jìn)行：(1)求函數(shù)的增量；(2)求平均變化率；(3)取極限，得導(dǎo)數(shù)。7導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是曲線y=(x)在點(diǎn)處的切線的斜率由此，可以利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程具體求法分兩步：(1)求出函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)

30、，即曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線的斜率；(2)在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程為特別地，如果曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線平行于y軸，這時(shí)導(dǎo)數(shù)不存，根據(jù)切線定義，可得切線方程為8和（或差）的導(dǎo)數(shù)對(duì)于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，如何求呢？我們不妨先利用導(dǎo)數(shù)的定義來求。我們不難發(fā)現(xiàn)，即兩函數(shù)和的導(dǎo)數(shù)等于這兩函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和。由此我們猜測(cè)在一般情況下結(jié)論成立。事實(shí)上教材中證明了我們的猜想，這就是兩個(gè)函數(shù)的和（或差）的求導(dǎo)法則。9積的導(dǎo)數(shù)兩個(gè)函數(shù)的積的求導(dǎo)法則的證明是本節(jié)的一個(gè)難點(diǎn)，證明過程中變形的關(guān)鍵是依據(jù)導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。（具體過程見課本P120）說明：（1）；（2）若c為常數(shù)，則(cu)=cu。10

31、商的導(dǎo)數(shù)兩個(gè)函數(shù)的商的求導(dǎo)法則，課本中未加證明，只要求記住并能運(yùn)用就可以?，F(xiàn)補(bǔ)充證明如下：設(shè)因?yàn)関(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，所以它在點(diǎn)x處連續(xù)，于是x0時(shí)，v(x+x)v(x)，從而即。說明：（1）；（2）學(xué)習(xí)了函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則后，由常函數(shù)、冪函數(shù)及正、余弦函數(shù)經(jīng)加、減、乘、除運(yùn)算得到的簡單的函數(shù)，均可利用求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)，而不需要回到導(dǎo)數(shù)的定義去求。11.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系與為增函數(shù)的關(guān)系。能推出為增函數(shù)，但反之不一定。如函數(shù)在上單調(diào)遞增，但，是為增函數(shù)的充分不必要條件。時(shí)，與為增函數(shù)的關(guān)系。若將的根作為分界點(diǎn)，因?yàn)橐?guī)定，即摳去了分界點(diǎn)，此時(shí)為增函數(shù)，就一定有。當(dāng)時(shí)，是為

32、增函數(shù)的充分必要條件。與為增函數(shù)的關(guān)系。為增函數(shù)，一定可以推出，但反之不一定，因?yàn)椋礊榛?。?dāng)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有，則為常數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性。是為增函數(shù)的必要不充分條件。函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)一條重要性質(zhì)，也是高中階段研究的重點(diǎn)，我們一定要把握好以上三個(gè)關(guān)系，用導(dǎo)數(shù)判斷好函數(shù)的單調(diào)性。因此新教材為解決單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)問題，都一律用開區(qū)間作為單調(diào)區(qū)間，避免討論以上問題，也簡化了問題。但在實(shí)際應(yīng)用中還會(huì)遇到端點(diǎn)的討論問題，要謹(jǐn)慎處理。單調(diào)區(qū)間的求解過程，已知（1）分析的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)（3）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間（4）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間我們?cè)趹?yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單

33、調(diào)性時(shí)一定要搞清以下三個(gè)關(guān)系，才能準(zhǔn)確無誤地判斷函數(shù)的單調(diào)性。以下以增函數(shù)為例作簡單的分析，前提條件都是函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)。函數(shù)單調(diào)區(qū)間的合并函數(shù)單調(diào)區(qū)間的合并主要依據(jù)是函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，又知函數(shù)在處連續(xù)，因此在單調(diào)遞增。同理減區(qū)間的合并也是如此，即相鄰區(qū)間的單調(diào)性相同，且在公共點(diǎn)處函數(shù)連續(xù)，則二區(qū)間就可以合并為以個(gè)區(qū)間。（1）恒成立為上對(duì)任意不等式恒成立（2）恒成立在上對(duì)任意不等式恒成立注意事項(xiàng)1導(dǎo)數(shù)概念的理解2利用導(dǎo)數(shù)判別可導(dǎo)函數(shù)的極值的方法及求一些實(shí)際問題的最大值與最小值復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則是微積分中的重點(diǎn)與難點(diǎn)內(nèi)容。課本中先通過實(shí)例，引出復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，接下來對(duì)法則進(jìn)行了

34、證明。對(duì)于復(fù)合函數(shù)，以前我們只是見過，沒有專門定義和介紹過它，課本中以描述性的方式對(duì)復(fù)合函數(shù)加以直觀定義，使我們對(duì)復(fù)合函數(shù)的的概念有一個(gè)初步的認(rèn)識(shí)，再結(jié)合以后的例題、習(xí)題就可以逐步了解復(fù)合函數(shù)的概念。3要能正確求導(dǎo)，必須做到以下兩點(diǎn)：（1）熟練掌握各基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式以及和、差、積、商的求導(dǎo)法則，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。（2）對(duì)于一個(gè)復(fù)合函數(shù)，一定要理清中間的復(fù)合關(guān)系，弄清各分解函數(shù)中應(yīng)對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)。4求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一般按以下三個(gè)步驟進(jìn)行：（1）適當(dāng)選定中間變量，正確分解復(fù)合關(guān)系；（2）分步求導(dǎo)（弄清每一步求導(dǎo)是哪個(gè)變量對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)）；（3）把中間變量代回原自變量（一般是x）的函數(shù)。也

35、就是說，首先，選定中間變量，分解復(fù)合關(guān)系，說明函數(shù)關(guān)系y=f()，=f(x)；然后將已知函數(shù)對(duì)中間變量求導(dǎo)，中間變量對(duì)自變量求導(dǎo)；最后求，并將中間變量代回為自變量的函數(shù)。整個(gè)過程可簡記為分解求導(dǎo)回代。熟練以后，可以省略中間過程。若遇多重復(fù)合，可以相應(yīng)地多次用中間變量。（）范例分析例1在處可導(dǎo)，則思路：在處可導(dǎo)，必連續(xù)例2已知f(x)在x=a處可導(dǎo)，且f(a)=b，求下列極限：（1）；（2）分析：在導(dǎo)數(shù)定義中，增量x的形式是多種多樣，但不論x選擇哪種形式，y也必須選擇相對(duì)應(yīng)的形式。利用函數(shù)f(x)在處可導(dǎo)的條件，可以將已給定的極限式恒等變形轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。解：（1）（2）說明：只有深刻

36、理解概念的本質(zhì)，才能靈活應(yīng)用概念解題。解決這類問題的關(guān)鍵是等價(jià)變形，使極限式轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。例3觀察，是否可判斷，可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)。解：若為偶函數(shù)令可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)另證：可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)例4（1）求曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線方程；（2）運(yùn)動(dòng)曲線方程為，求t=3時(shí)的速度。分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)的物理意義可知，函數(shù)y=f(x)在處的導(dǎo)數(shù)就是曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線的斜率。瞬時(shí)速度是位移函數(shù)S(t)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。解：（1），即曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線斜率k=0因此曲線在（1，1）處的切線方程為y=1（2）。例5

37、求下列函數(shù)單調(diào)區(qū)間（1）（2）（3）（4）解：（1）時(shí)，（2），（3），（4）定義域?yàn)槔?求證下列不等式（1）（2）（3）證：（1）為上恒成立在上恒成立（2）原式令（3）令例7利用導(dǎo)數(shù)求和：（1）；（2）。分析：這兩個(gè)問題可分別通過錯(cuò)位相減法及利用二項(xiàng)式定理來解決。轉(zhuǎn)換思維角度，由求導(dǎo)公式，可聯(lián)想到它們是另外一個(gè)和式的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算可使問題的解決更加簡捷。解：（1）當(dāng)x=1時(shí)，；當(dāng)x1時(shí)，兩邊都是關(guān)于x的函數(shù)，求導(dǎo)得即（2），兩邊都是關(guān)于x的函數(shù)，求導(dǎo)得。令x=1得，即。例8求滿足條件的（1）使為上增函數(shù)（2）使為上（3）使為上解：（1）時(shí)也成立（2）時(shí)也成立（3）例9（1）求證（2）求證

38、（1）證：令原不等式令令（2）令上式也成立將各式相加即例10設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.分析：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念和計(jì)算，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法及推理和運(yùn)算能力.解：.當(dāng)時(shí).（i）當(dāng)時(shí)，對(duì)所有，有.即，此時(shí)在內(nèi)單調(diào)遞增.（ii）當(dāng)時(shí)，對(duì)，有，即，此時(shí)在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，又知函數(shù)在x=1處連續(xù)，因此，函數(shù)在（0，+）內(nèi)單調(diào)遞增（iii）當(dāng)時(shí)，令，即.解得.因此，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)也單調(diào)遞增.令，解得.因此，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.說明：本題用傳統(tǒng)作差比較法無法劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，只有用導(dǎo)數(shù)才行，這是教材新增的內(nèi)容。其理論依據(jù)如下（人教版試驗(yàn)本第三冊(cè)P148）：設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可

39、導(dǎo)，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù)。如果，則為常數(shù)。例11已知拋物線與直線y=x+2相交于A、B兩點(diǎn)，過A、B兩點(diǎn)的切線分別為和。（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求直線與的夾角。分析：理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義是解決本例的關(guān)鍵。解（1）由方程組解得A(-2，0)，B(3，5)（2）由y=2x，則，。設(shè)兩直線的夾角為，根據(jù)兩直線的夾角公式，所以說明：本例中直線與拋物線的交點(diǎn)處的切線，就是該點(diǎn)處拋物線的切線。注意兩條直線的夾角公式有絕對(duì)值符號(hào)。例12設(shè)，是上的偶函數(shù)。（I）求的值；（II）證明在上是增函數(shù)。解：（I）依題意，對(duì)一切有，即，對(duì)一切成立，由此得到，又，。（II）證明：由，得，當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)

40、。在上是增函數(shù)。例13設(shè)函數(shù)，其中。（I）解不等式；（II）證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)。解1：（I）分類討論解無理不等式（略）。（II）作差比較（略）。解2：（i）當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)。但，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，。（ii）當(dāng)時(shí)，解不等式，得，在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)。解方程，得或，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，綜上，（I）當(dāng)時(shí)，所給不等式的解集為：；當(dāng)時(shí)，所給不等式的解集為：。（II）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上時(shí)單調(diào)函數(shù)。例14已知，函數(shù)設(shè)，記曲線在點(diǎn)處的切線為。（）求的方程；（）設(shè)與軸的交點(diǎn)為，證明：若，則解：（1）的導(dǎo)數(shù)，由此得切線的方程，（2）依題得，切線方程中令，得，其中，（）由，

41、有，及，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，。（）當(dāng)時(shí)，因此，且由（），所以。例15已知為正整數(shù).（）設(shè)；（）設(shè)分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)、不等式證明等知識(shí)，考查綜合運(yùn)用所數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力。證明：（）因?yàn)?，所以（）?duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù):即對(duì)任意（）、強(qiáng)化訓(xùn)練1設(shè)函數(shù)f(x)在處可導(dǎo)，則等于（）ABCD2若，則等于（）ABC3D23曲線上切線平行于x軸的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A（-1，2）B（1，-2）C（1，2）D（-1，2）或（1，-2）4若函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f(x)=-sinx，則函數(shù)圖像在點(diǎn)（4，f（4）處的切線的傾斜角為（）A90°B0°C銳角D鈍角5函數(shù)在0，3上的最大值、最小值分別是（）A5，15

42、B5，4C4，15D5，166一直線運(yùn)動(dòng)的物體，從時(shí)間t到t+t時(shí)，物體的位移為s，那么為（）A從時(shí)間t到t+t時(shí)，物體的平均速度B時(shí)間t時(shí)該物體的瞬時(shí)速度C當(dāng)時(shí)間為t時(shí)該物體的速度D從時(shí)間t到t+t時(shí)位移的平均變化率7關(guān)于函數(shù)，下列說法不正確的是（）A在區(qū)間（，0）內(nèi)，為增函數(shù)B在區(qū)間（0，2）內(nèi)，為減函數(shù)C在區(qū)間（2，）內(nèi)，為增函數(shù)D在區(qū)間（，0）內(nèi)，為增函數(shù)8對(duì)任意x，有，f(1)=-1，則此函數(shù)為（）ABCD9函數(shù)y=2x3-3x2-12x+5在0,3上的最大值與最小值分別是（）A.5,-15B.5,4 C.-4,-15D.5,-1610設(shè)f(x)在處可導(dǎo)，下列式子中與相等的是（）（1

43、）；（2）；（3）（4）。A（1）（2）B（1）（3）C（2）（3）D（1）（2）（3）（4）11f()是定義在區(qū)間c,c上的奇函數(shù)，其圖象如圖所示：令g（）=af（）+b，則下列關(guān)于函數(shù)g（）的敘述正確的是（）A若a<0,則函數(shù)g（）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.B若a=1，2<b<0,則方程g（）=0有大于2的實(shí)根.C若a0,b=2,則方程g（）=0有兩個(gè)實(shí)根.D若a1,b<2,則方程g（）=0有三個(gè)實(shí)根.12若函數(shù)f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)存在，則它所對(duì)應(yīng)的曲線在點(diǎn)處的切線方程是_。13設(shè)，則它與x軸交點(diǎn)處的切線的方程為_。14設(shè)，則_。15垂直于直線2x-6y+1=0，且與曲線

44、相切的直線的方程是_?16已知曲線，則_。17y=x2ex的單調(diào)遞增區(qū)間是18曲線在點(diǎn)處的切線方程為_。19P是拋物線上的點(diǎn)，若過點(diǎn)P的切線方程與直線垂直，則過P點(diǎn)處的切線方程是_。20在拋物線上依次取兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別為，若拋物線上過點(diǎn)P的切線與過這兩點(diǎn)的割線平行，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為_。21曲線在點(diǎn)A處的切線的斜率為3，求該曲線在A點(diǎn)處的切線方程。22在拋物線上求一點(diǎn)P，使過點(diǎn)P的切線和直線3x-y+1=0的夾角為。23判斷函數(shù)在x=0處是否可導(dǎo)。24求經(jīng)過點(diǎn)（2，0）且與曲線相切的直線方程。25求曲線y=xcosx在處的切線方程。26已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b，g(x)=x2+cx+

45、d.若f(2x+1)=4g(x)，且f'x=g'(x)，f(5)=30，求g(4).27已知曲線與。直線l與、都相切，求直線l的方程。28設(shè)f(x)=(x-1)(x-2)(x-100)，求f(1)。29求曲線在點(diǎn)處的切線方程。30求證方程在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根31、均為正數(shù)且求證：32（1）求函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)；（2）求函數(shù)（a、b為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)。33證明：如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處可導(dǎo)，那么函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處連續(xù)。34已知函數(shù)，設(shè)，記曲線在點(diǎn)處的切線為。（）求的方程；（）設(shè)與軸的交點(diǎn)為，證明：；若，則。（）、參考答案15CBDCA；610BDBAB；11B1213y=

46、2(x-1)或y=2(x+1)14-6153x+y+6=01617(-,-2)與(0,+)18192x-y-1=020（2，4）21由導(dǎo)數(shù)定義求得，令，則x=±1。當(dāng)x=1時(shí)，切點(diǎn)為（1，1），所以該曲線在（1，1）處的切線方程為y-1=3(x-1)即3x-y-2=0；當(dāng)x=-1時(shí)，則切點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-1），所以該曲線在（-1，-1）處的切線方程為y+1=3(x+1)即3x-y+2=0。22由導(dǎo)數(shù)定義得f(x)=2x，設(shè)曲線上P點(diǎn)的坐標(biāo)為，則該點(diǎn)處切線的斜率為，根據(jù)夾角公式有解得或，由，得；由，得；則P（-1，1）或。23，不存在。函數(shù)f(x)在x=0處不可導(dǎo)。24可以驗(yàn)證點(diǎn)（2，

47、0）不在曲線上，故設(shè)切點(diǎn)為。由，得所求直線方程為。由點(diǎn)（2，0）在直線上，得，再由在曲線上，得，聯(lián)立可解得，。所求直線方程為x+y-2=0。25Y=x'cosx+x·(cosx)'=cosx-xsinx，切點(diǎn)為，切線方程為：即。26解：由已知(2x+1)2+a(2x+1)+b=4(x2+cx+d)=2x+a=2x+ca=c又知52+5a+b=305a+b=5由知a=c=2.依次代入、知b=5，d=g(4)=42+2×4=2327解：設(shè)l與相切于點(diǎn)，與相切于。對(duì)，則與相切于點(diǎn)P的切線方程為，即。對(duì)，則與相切于點(diǎn)Q的切線方程為，即。兩切線重合，解得或，直線方程為

48、y=0或y=4x-4。28解：令x=1得29解：，則。切線方程為即5x+32y-7=0。30解：在在內(nèi)與軸有且僅有一個(gè)交點(diǎn)方程在內(nèi)僅有一解31證：由對(duì)稱性不妨設(shè)（1）若顯然成立（2）若設(shè)時(shí)32分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是求導(dǎo)數(shù)的基本方法。解（1），。（2），。y=2x+a說明應(yīng)熟練掌握依據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的三個(gè)步驟。33分析：從已知和要證明的問題中去尋找轉(zhuǎn)化的方法和策略，要證明f(x)在點(diǎn)處連續(xù)，必須證明，由于函數(shù)f(x)在點(diǎn)處可導(dǎo)，因此根據(jù)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)的定義，逐步實(shí)現(xiàn)這個(gè)轉(zhuǎn)化。已知：求證：證明：考慮，令，則，等價(jià)于x0，于是函數(shù)f(x)在點(diǎn)處連續(xù)。說明：函數(shù)f(x)在點(diǎn)處連續(xù)

49、、有極限以及導(dǎo)數(shù)存在這三者之間的關(guān)系是：導(dǎo)數(shù)存在連續(xù)有極限。反之則不一定成立，例如y=|x|在點(diǎn)x=0處有極限且連續(xù)，但導(dǎo)數(shù)不存在。34解：（1）的導(dǎo)數(shù)，由此得切線的方程，（2）依題意，在切線方程中令，得，（），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等成立。（）若，則，且由（），所以。談導(dǎo)數(shù)應(yīng)用內(nèi)容摘要：導(dǎo)數(shù)進(jìn)入高中數(shù)學(xué)，為中學(xué)數(shù)學(xué)問題的解決注入了新的活力，為數(shù)學(xué)解題提供了有力的工具，突出表現(xiàn)在解決函數(shù)、幾何等問題時(shí)，不但避開了初等函數(shù)變形的難點(diǎn)，而且使解法程序化。變“巧法”為“通法”。事實(shí)上，導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)各類問題中都有著廣泛的應(yīng)用。內(nèi)容摘要：導(dǎo)數(shù)函數(shù)幾何不等式一 利用導(dǎo)數(shù)求曲線在某一點(diǎn)處的切線方程。例1求曲線在點(diǎn)處

50、的切線方程。解：,所求切線方程為,即。注意：利用導(dǎo)數(shù)求曲線在某點(diǎn)的切線方程，一般是該曲線方程可寫成函數(shù)形式且該函數(shù)可導(dǎo)，從而利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求解。利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)。例2（北京卷）已知函數(shù)。（）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（）若在區(qū)間上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值。解（），令0，解得或，所以函數(shù)得單調(diào)遞減區(qū)間為,。（）因?yàn)?所以，因?yàn)樵谏?，所以在上單調(diào)遞增，又由于在上單調(diào)遞減，因此和分別是在區(qū)間上的最大值和最小值，于是有解得。故，因此，即函數(shù)在上的最小值為。例3已知,討論函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)。解：，令，得(1)當(dāng)。即或時(shí)，方程有兩個(gè)不同得實(shí)根，不妨設(shè)，于是從而有下表：即此時(shí)有兩個(gè)極值點(diǎn)。為

51、極大值為極大值（2）當(dāng)即或時(shí)，方程有兩個(gè)相同的實(shí)根于是故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，因此無極值。（3）當(dāng)即時(shí)，故為增函數(shù)，此時(shí)無極值，因此當(dāng)或時(shí)，有2個(gè)極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，無極值點(diǎn)。評(píng)注函數(shù)的性態(tài)包括函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值點(diǎn)和函數(shù)的最值情況等，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)時(shí)導(dǎo)數(shù)最重要也是最廣泛的應(yīng)用。導(dǎo)數(shù)的引入一方面擴(kuò)大了研究范圍，比如由單一的多項(xiàng)式函數(shù)擴(kuò)展到與分式、對(duì)數(shù)、指數(shù)、三角有關(guān)的函數(shù)。另一方面它不僅避開了初等函數(shù)變形的難點(diǎn)，而且使解法程序化。三、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象與圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，方程根的分布問題。例4設(shè)函數(shù)，關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有2個(gè)相異實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：設(shè)，則。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。所以在上遞增，在上遞減。又在上有2個(gè)相異實(shí)根，所以。例5已知函數(shù)，。是否存在實(shí)數(shù)m，使得的圖象和的圖象有且只有三個(gè)不同點(diǎn)？若存在，求出m的取值范圍，若不存在，說明理由。解：函數(shù)的圖象和的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，。函數(shù)的