三個二次問題

1、提升成績題型訓(xùn)練一一三個二次問題(二次函數(shù)、不等式、方程)1.解關(guān)于X的不等式：(1) X2 - (a+ 1)x+ a 0, (2) 2x2mx 2 . 0 .3 .不等式(m2 2m-3)x2- (m 3)x 1v 0的解集為R,求實數(shù) m的取值范圍.1 14 .已知二次函數(shù)y = x2+ px+ q，當y0.5 若不等式 丄x2qx p 0的解集為fx |2 ： x ： 4?,求實數(shù)p與q的值.P7. (經(jīng)典題型，非常值得訓(xùn)練)設(shè)二次函數(shù)f x = ax2 bx c a 0，方程f x - x = 0的兩個根Xi,X21 _滿足0 ：為:x2.當x0, x時，證明x ： f x :洛.a8

2、. 已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1) 若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(一1, 0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1, 2)內(nèi)，求m的范圍.(2) 若方程兩根均在區(qū)間(0, 1)內(nèi)，求m的范圍.11.如果二次函數(shù)y=mx2+(m- 3)x+1的圖象與x軸的交點至少有一個在原點的右側(cè)，試求m的取值范圍.16. 已知二次函數(shù) f(x)=ax2 bx 1 (a,bR,a 0)，設(shè)方程f(x)=x的兩個實數(shù)根為 x1和x2.(1) 如果x1 : 2 x2 : 4，設(shè)函數(shù)f (x)的對稱軸為x = x0，求證：x0 2 -1 ；(2) 如果X1 c2 , X2 -疋|=2，求b的取值范圍.17.

3、設(shè) f (x)二 3ax2 2bx c 若 a b c=0,f(0)0， f( 1)0，求證： a(I ) a0且一20的解集是x|ax B (0a B ),求不等式cx2+bx+a 1時，解為1 v xv a,若a 1時,解為av xv 1，若a=1時，解為2(2) = m -16 .當 m2 -16 . 0即 m ： -4 或 m .4 時， 0.方程2x2 mx 2 = 0有二實數(shù)根-m - m -16- m -L - m -16原不等式的解集為x|X_m *訶2 _16 4,x2 =4 J當m=4時， =0，兩根為x1 =x2 =-巴4若m =4,則其根為1,二原不等式的解集為 ：x|

4、xR,且x=-1.若m = V,則其根為1，原不等式的解集為、x|xR,且x = 1f.當一4v m ：4時，方程無實數(shù)根.原不等式的解集為 R.2解:A =x|x -(3k -1)x -(k 1) -0，比較 3k -1,k 1 的大小, 因為(3k -1) -(k 1) =2(k -1),(1)當 k 1 時，3k 1 k + 1, A= x|x3k 1 或 x 乞 k 1.當k=1時，x R.(3)當 kv 1 時，3k 1 v k + 1, A= | x 一 k 1 或 x _ 3k 1B中的不等式不能分解因式，故考慮判斷式 丄=4k2 -4(k2 k)二-4k ,(1)當 k=0 時

5、，二：0,x R .(2) 當 k0 時，0即x2+ x+ 1 02 x x 6 v 0，一2 v xv 3.即不等式qx2+ px+ 1 0的解集為 x | 2 v xv 3.-:0 (如圖)5.解：由不等式的解集為x|2 ：:x ：:4；，得2和4是方程x2 qx p = 0的兩個實數(shù)根，且 p1-0P2 +4 =_pq n p 0.C ,22 4 =p解得 P =-2J2,q =0 J2.26.解： f -1 二 a - b c, f 1 = a b c, f 0 二 c,11a=(f1 f12f0),b= (f(1) f (1),c 二 f 0 ,2 2f 2( 2 _當一 1空xO時

6、,f(x)=f(1 匕+f(-1寧 J+fMS x2xf -1x2-x/ 2+ 1-x(1-x2)_X2 X 1 (X -)25 5.244當0蘭x蘭一1時，f （x f （行x2x2x -x+ 丁 +Xx2 +x+|f(-1卜-x2x+ f(0) 1(1-x2)-x2x i-2)2 57.證明：由題意可知f (x) - x = a(x - xj(x - X2) 1丁 OcxcxtCXqW-，二 a(x _xj(x _x2)0,a當 x 0, X1 時，f (x) x.又 f (x) -為 二 a(x -xj(x -x2) x - Xj = (x - 為)(ax - ax2 1),x-Xr :

7、 0, 且ax-ax2 11-ax2 0, f(x)：為，綜上可知，所給問題獲證8.解：（1）條件說明拋物線 得f（x）=x2+2mx+2m+1與x軸的交點分別在區(qū)間（一1, 0）和（1, 2）內(nèi)，畫出示意圖,】(0) =2m+1 0, f(1) =4m 2 ：0, f(2) =6m 5 01m :2 m R,1m ,25m 6（2）據(jù)拋物線與x軸交點落在區(qū)間（0, 1）內(nèi)，列不等式組f(0) 0,f(1)0,0,0 ： -m ： 11m a,21二m2,(這里0 m1或 m0(1)當mv 0時，二次函數(shù)圖象與x軸有兩個交點且分別在y軸兩側(cè)，符合題意3 0(2)當m0時，貝U丿3m 解得0v

8、mw 1 0m綜上所述，m的取值范圍是m|mw 1且m 0.12.證明：叭誥八p【p(誥)2 q(話)rpm qrpm p二 pm 2= pm 2(m+1)2 m+1 m(m+1)2 m+222 m(m 2) -(m -1).二 P m2(m+1)2(m+2)pz 0,又 m0,所以，pf( )v 0.m+12- I=pm (m 1)2(m 2)，由于f(X)是二次函數(shù)，故由題意，得 f(0)= r,f(1)=p+q+r 當pv 0時，由(1)知f( )v 0m+1若r0,則f(0)0,又f()v 0,所以f(x)=0在(0,)內(nèi)有解； m+1m+1若 r w 0則 f(1)= p+q+r=p

9、+(m+1)=( p)+r = p0,m + 2 m m+2 m 又f( m )v 0,所以f(x)=0在(,1)內(nèi)有解.m 1m 1 當pv0時同理可證.13. 解：(1)設(shè)該廠的月獲利為y,：y=(160 2x)x (500+30x)= 2x2+130x 500由 y 1300 知一2x2+130x 500 1300 x2 65x+900 w 0, (x 20)(x 45) w 0,解得 20wx0 及，可得 丿V(4)0即3+2一016a + 4b - 3 a 03 3 -:0,即2a 4a,c b 丄 3 c-4-20,I2a 4a兩式相加得 1，所以，x0 -1；2a(2)由(洛-X

10、2)2 =(口)2 -電，可得 2a 1 = . (b -1)2 1 . a a又 X2 = 10，所以捲,X2同號.a0 v X1 c 2 07(0)兀ga +1 = J(b -1)2 +1g(-2) = 0或 g(0) 02a 1 v(b -1)2117解之得 b 或b .4 417.證明：(I)因為 f(0) .0, f .0,所以 c . 0,3a 2b c . 0 .由條件a b 0，消去b，得a c 0 ；由條件a b c = 0，消去c,得a b ： 0, 2a b 0.故-2 :：: - , _1.ab 3ac b2(II)拋物線f (x 3ax2 2bx c的頂點坐標為(，)

11、，3a 3ab .11 b 2在-21的兩邊乘以 ，得a33 3a 3又因為 f (0)0, f(1)0,而f(丄)二3aa2 c2 ac3a0,所以方程f(x) =0在區(qū)間(0)與(-匕，1)內(nèi)分別有一實根。3a 3a故方程f(x)=0在(0,1)內(nèi)有兩個實根18解析：解本題主要是應(yīng)用拋物線的幾何特性(張口方向，對稱軸，截距，與-軸交點個數(shù))及函數(shù)零點(方程)的有關(guān)知識，即(1)由拋物線張口方向、對稱軸位置、截距及與 丿軸交點個數(shù)，立即可得：.，bo,c0JXj +0 =戲 0J 2-= tn25 JA z 0m 274）1 匚fA 0（5）5 - 2）（可-2）0=7 9 或 25f 明 2720.解析：證明不等式恒成立，實質(zhì)是證明對應(yīng)拋物線恒在/軸的上方或下方的問題，故只要求拋物線恒在軸上方或下方的充要條件即可。2 L即由 ： 恒成立對應(yīng)拋物線恒在-軸下方4/t1 4（朵 一2）（上一1） 0的問題。即=J 莊 +