三角問題增解問題題庫

1、三角問題增解問題題庫、注意對已知條件的充分利用j. 341右尸飛，cos2，則的終邊在第象限OfOfCLTT CL解析：根據(jù)sin 0, cos 0,所以一的終邊在第二象限，即2k2k二二，k：= Z ；但2 222 2ot43兀72十，3疋cos=:cos 所 以2k2k：，k 二 Z得2542423兀4k二4 k 二 2 k,Z2所以，:的終邊在第四象限點評：因為-是一個具體的角，完全可以借助cos 的具體的值，落實到更小的范圍內(nèi)的。2 21 102.已知二：為銳角，tan= ,sin ：=，求+2 ：的值。710解析由 sin：=得 cos 1 =型.tan J, tan2 一：=訃一二

2、？101031 -ta n P 4tan( _：i +2J=-1，所以5:1但是因為：，F(xiàn) ：二（0, ），又 tan=127曲=詈 子得0：_33.已知很三（二，一:2（%），tan 二sin ： = 10，求二 21010Ji0 :2ji 633ji7:3：很亠21-：,=5：解析：1(I)由 a = 2bsn A，根據(jù)正弦定理得 sin A 二 2sin Bsin A，所以 sin B = ，由 ABC 為2C的對邊分別為a, b, c , a = 2bsi nA.44.設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A B,（I）求B的大?。唬╪）求cosA - sinC的取值范圍.銳角三角形得B =n6co

3、s A sin C 二 cos A sin由 ABC為銳角三角形知，0 ： A :：:jiCf兀0 . B ：-0 ： C ,所以，兀A n:A :：:-222322 二 二 二 1 A，所以 sinf兀)1A -:：:由此有一3:/3sin i A3,3362322I32? f 3 )所以，cosA+sinC的取值范圍為 ，=cos A sinA = cos A cos A6 2 22inA 3sin A 4 55.在 ABC 中，sinB ，cos A ，求 cosC 的值。5 13a b，根據(jù)解 1:在 lABC 中由 cos A 5 得 si nA1si nA12 .sin B =-,

4、根據(jù)正弦定理,1313135二角形大邊對大角，得A B，因為A為銳角，所以，B為銳角,.cosC =cos180 - (A B) - - cos(A B)-c o Ac o B s i nAs i rB12 4+ x 13 533 亠 63J5 48 =生或 6365656565解2:在=ABC中，由cosA =總-得A -132只能舍掉，即cosB =3 . cosC - 335，若cosB沢35所以BE得出矛盾,36-在 ABC中, sin5cosB65513，則cosC的值16O653錯解 t sin A ，二 cos A 二545512小又 cosB ，二 sin B .因為 cosC

5、-1313=-cos A B = -cosAcosB sin Asin B，從而 cosC辨析 上述錯解的根本原因是忽略了條件中的隱含信息:56 十 16或6565A、B均為銳角且A : B 事實上，因為cosB = 5，所以 B 為銳角，易知 sin A : sin B 二12，1313由正弦定理可得 b a ,故B A，所以A只能4是銳角，從而cos A，所求的結(jié)果只有一種，即cosC =5 65167.在 ABC 中，A、B為銳角，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且cos2A)，sin 105求A - B的值.辨析因為A、102B為銳角，由sin B 10-10 2，故 B-.又因

6、為 sinA二二45:2，所以a ，a B ，故a B 另外，因為 a、B為銳角，所以0 ： A B :：二，2 424若此時選擇計算cos A B ，根據(jù)三角函數(shù)符號，那么就不需要討論A B的范圍了，即J2ncos A B = cos A cos B si n Asin B ，故 A B = 24二、加強對已知條件中隱含條件的挖掘1 在 lABC 中，3sin A 4cosB = 6, 3cosA 4sinB =1,則C1 1sinA B 形.s心2 c解析：由3sA 4cos6平方相加得|3cosA+4si nB =15 兀若C則A B =-6 6n5兀a c c=3661 點評：此題條件

7、cosA隱蔽在條件3cos A - 4sin B =1，而3n3原因可能是常數(shù) 6不足以受到cosB的符號的干擾。如果不能看出這一點， 分利用sinB 0，從已知條件中嘗試，可能一次找不準(zhǔn)1 1 ：*13cosA=4sinB 0 cosA ： 一3 2Acs 6 B二則沒有限制條件,那么在探索cosA時，可以充，比如 3sin A 4cos B = 6 ，C，這3sin A = 6 -4cos B - 0恒成立。本題如果沒有對隱含條件的預(yù)感和敏銳的觀察力，而極易錯選為 是該類問題常見的錯誤，值得注意。102 若 a 0,可知 |sin| |cos |，即 | tan | 1 從而 5tan、丄

8、=-3 o點評：本題給出的條件-:不足以排除tan的增根，還需要進一步縮小角的范圍。2這個限制條件就隱藏在另一個已知條件丁10兀sin +cos ：= 中，由此得到條件 | tan| 1，即一 :523:，這是該4問題正確求解的關(guān)鍵。11-sin - =-1 ,cos ： -cos =_ ,求 tan（：-）的值。 22解析：將題設(shè)兩式兩邊平方相加得2-2cosG - ）= -COSC - J - 3，243已知銳角 ，且sin 二二7-I ：z (,)sinC)二，故 tan(:-：)=- 43sin : -sin =-2.已知 sin x cosx 二-, 0 得 sin : sin ：,

9、而：,1心(0，)。從而4.已知sinxf1 求八的最大值。7-I： ：= (,0)，故 tan(、f -：)=232 2111解：由 sin x sin y ，得 sin ysinx，由 sin y sin x 及 一1 _ sin y _ 1，得3 331-132-sin1，即匕_sin x _13112當(dāng)sinx飛時，tmax122-.t = 一 一 sin x - cos x = sin x - six - 一 312三、因忽視變形式子對變量范圍的制約而致錯1.1已知sin xcosy,則cosxsin y的取值范圍是(1 1H-,-2 2卷C、玷D、- 1,1解析 1: sin xc

10、osy -cosxsin y1=sin x - yt2sin2xsin2y=2t| 蘭 1，解得一一蘭t點評：本題可能僅僅將sinxcog.1，故選A .21與coscsiny =t相力口 得sin x y)21飛，而片面地得到-1 所以sin x與 cosx異號。1當(dāng) x ,0 , tan x tan( )=I 6 丿634-，所以不符合條件;3當(dāng)x ，二,sinx 0,cosx ：0，貝U |sinx|cosx|, | tanx| .1. tan x =-33已知A, B,C是三角形 ABC三內(nèi)角，向量m- -1,3, n =cos A, si nA，且m=1( I)求角A;1 sin2B

11、(n)若23，求 tan Bcos Bjin B解析：(I)： m n =1 . 1,. 3 icosA,si nA =1即，3 sin A-cos A = 12 sin A，空-cos A 1=1,sin ： A 丄 K-I22丿1 6丿2兀715江ji0 A 兀，- A A A =6666 63(n)由題知 1_- -3，整理得 sin2 B - sin B cos B - 2cos2 B = 0cos B -sin B.cosB = 0 . tan2 B - tan B - 2 = 0.tan B = 2 或 tan B - -1而 tan B = -1 使 cos2 B - sin2

12、B = 0，舍去 /. tan B = 2.tanC =tan 二-A B = -tan A B i；二tan A tan B1 -tan Atan B2.31-2,38 5、31122點評：本題解題過程中，根據(jù)sin B-sinBcosB-2cos B=0解得tan B = 2或tan B = -1，出現(xiàn)了兩個解，但是其轉(zhuǎn)化過程是經(jīng)過了一步去分母，所以這里的變形可能不等價，因此需要檢驗增根，其中tanB二-1就是增根。四把好解題最后一道關(guān)”.3-._11.若-(0,)，cos( ), sin(),則 cos(二 -)的值等于2222 2解析：(一一)，(/ )，sin( ) = - ,cos( )3, cos( )24 222 4222222= cos( )-() =cos( )cos( ) - s