十講從勾股定理談起

1、第十三講從勾股定理談起勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關(guān)系，大約在公元前1100多年前，商高已經(jīng)證明了普通意義下的勾股定理，在國外把勾股定理稱為“畢達(dá)哥拉斯定理”勾股定理是平面幾何中一個重要定理，其廣泛的應(yīng)用體現(xiàn)在： 勾股定理是現(xiàn)階段線段計算、證明線段平方關(guān)系的主要方法，運用勾股定理的逆定理，通過計算也是證明兩直線垂直位置關(guān) 系的一種有效手段.直角三角形是一類特殊三角形，有著豐富的性質(zhì)：兩銳角互余（角的關(guān)系）、勾股定理（邊的關(guān)系）,30°角所對的直角邊等于斜邊的一半（邊角關(guān)系），這些性質(zhì)在求線段的長度、證明線段倍分關(guān)系、證明線段平方關(guān)系等方面有廣泛的應(yīng)用.例題求解【例1】如圖，以等

2、腰直角三角形ABC的斜邊AB為邊向內(nèi)作等邊厶ABD，連結(jié)DC,以DC為邊作等邊 DCE , B、E在CD的同側(cè)，若 AB= 2，貝卩BE=.（2001年重慶市中考題）思路點撥因BE不是直角三角形的邊， 故不能用勾股定理直接計算，需找出與BE相等的線段轉(zhuǎn)化問題.注 千百年來，勾股定理的證明吸引著數(shù)學(xué)愛好者，目前有400多種證法，許多證法的共同特點是通過弦圖的割補(bǔ)、借助面積加以證明，美國第20任總統(tǒng)加菲爾德（1831 1881）曾給出一個簡單證法.勾股定理的發(fā)現(xiàn)是各族人民早期文明的特征，有人建議，將來與“外星人”交往，可以把 勾股定理轉(zhuǎn)化為光電訊號，傳向異域，他們一定懂得勾股定理.現(xiàn)已確定的200

3、2年8月在北京舉行的國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)來源于弦圖的圖案.【例2】2002年8月在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的勾股圓方圖，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形（如圖所示）.如果大正方形的面積是 13,小正方形的面積是 1,直角三角形的較短直角邊為 a,較長直 角邊為b，那么（a+b）2的值為（）A. 13 B . 19 C. 25 D. 169(2003年山東省中考題)思路點撥利用勾股定理、面積關(guān)系建立a、b的方程組.【例3】 如圖，P ABC邊BC上的一點，且 PC= 2PB, 已知/ ABC = 45°,/ APC =60

4、76;，求/ ACB的度數(shù).(“祖沖之杯”邀請賽試題 )思路點撥 不可能簡單地由角的關(guān)系推出/ ACB的度數(shù)，解本例的關(guān)鍵是由條件構(gòu)造出含 30°角的直角三角形.【例 4】如圖，在 Rt ABC 中，/ ACB=90 ° , CD 丄AB 于 D，設(shè) AC = b, BC = a, AB=c , CD=h .求證： a2b2 _h2 ；(2) a b ： c h ； 以a b、h、c h為邊的三角形，是直角三角形.(2)證明(a b)2 ： (c h)2 ；2 1 1思路點撥 只需證明h2(- -) =1，從左邊推導(dǎo)到右邊;a b(3)證明(a h)2 h2 =(c h)2

5、 .在證明過程中，注意面積關(guān)系式ab =ch的應(yīng)用.【例5】一個直角三角形的邊長都是整數(shù)，它的面積和周長的數(shù)值相等，這樣的直角三角形 是否存在？若存在，確定它三邊的長，若不存在，說明理由.(2003年北京市競賽題)思路點撥 假設(shè)存在符合條件的直角三角形，它的三邊長為a、b、c,其中c為斜邊，則a2 +b2 =c2丿丄丄 ab，于是將存在性問題的討論轉(zhuǎn)化為求方程組的解.a +b +c =i2注 當(dāng)勾股定理不能直接運用時，常需要通過等線段的代換、作輔助垂線等途徑，為勾股定理的運用創(chuàng)造必要的條件，有時又需要由線段的數(shù)量關(guān)系去判斷線段的位置關(guān)系，這就需要熟悉 一些常用的勾股數(shù)組.從代數(shù)角度，考察方程

6、x2 - yz2的正整數(shù)解，古代中國人發(fā)現(xiàn)了“勾三股，四弦五”，古希臘人找到了這個方程的全部整數(shù)解(用代數(shù)式表示的勾股數(shù)組)17世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家費爾馬提出猜想：當(dāng)n > 3時，方程xn yzn無正整數(shù)解.1994年，曼國普林斯頓大學(xué)堆爾斯教授歷盡艱辛證明了這個猜想，被譽(yù)為20世紀(jì)最偉大的成果.一般地，在有等邊三角形、正方形的條件下，可將圖形旋轉(zhuǎn)60°或90°,旋轉(zhuǎn)過程中角度、線段的長度保持不變， 在新的位置上分散的條件相對集中，以便挖掘隱含條件， 探求解題思路.學(xué)歷訓(xùn)練1. 如圖，AD是厶ABC的中線，/ ADC=45 ° ,把厶ACD沿AD對折，點C落在點

7、C'的位置, 則BC '與BC之間的數(shù)量關(guān)系是 . （2001年山西省中考題）（第 3 題）2. 如圖， ABC是直角三角形，BC是斜邊，將 ABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后，能與 ACP'重 合，若AP = 3,貝U PP'的長等于 .3. 如圖，已知 AB=13 , BC=14 , AC=15 , AD 丄BC 于 D,貝U AD=（2001年武漢市選拔賽試題）BC=4cm , CD=12 cm, DA=13cm，且/ ABC=90，則4. 如圖，四邊形 ABCD中，AB = 3cm, 四邊形ABCD的面積是cm2.（第 7 題）（第 4 題）（第 5 題）5如圖，

8、一個長為 10米的梯子，斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8米，如果梯子的頂端下滑1米，那么，梯子底端的滑動距離 （）A .等于1米 B .大于I米 C .小于I米 D .不確定.（2002年寧波市中考題）6如果一個三角形的一條邊是另一條邊的2倍，并且有一個角是 30°,那么這個三角形的形狀是（）A 直角三角形 B 鈍角三角形 C.銳角三角形D 不能確定7.在四邊形 ABCD 中，/ A=60 °，/ B= / D = 90°, BC=2 , CD=3，貝U AB=（ ）一8.3A . 4B. 5C. 2 3D.AB , CD , EF, GH四條線段，其中

9、能構(gòu)成一個直角&在由單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標(biāo)出了 三角形三邊的線段是（）A . CD, EF, GHB. AB , CD , EF C. AB , CD , GHD. AB , EF, GH（2003年北京市競賽題）（第 8 題）9如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都是（第 9 題）1每個小格的頂點叫做格點，以格點為頂點分別按下列要求畫三角形：（1）使三角形的三邊長分別為3，2、2， .5 ; （2）使三角形為鈍角三角形且面積為 4.（2002年吉林省中考題）10.如圖，在 ABC 中，AB=AC，/ A=120 ° , MN 垂直平分 AB，求證：CM=2BM . （2

10、002年南道市中考題）11.如圖，在 Rt ABC 中，/ A=90,D為斜邊BC中點,12. 如圖，在 ABC中，AB=5 , AC=13，邊BC上的中線（2002年湖北省預(yù)賽試題）AD=6，貝U BC的長為（第 12 題）（第 13 題）（第14題）199713. 如圖，設(shè) P是等邊 ABC內(nèi)的一點，PA=3, PB=4, PC=5,則/ APB的度數(shù)是14. 如圖，一個直角三角形的三邊長均為正整數(shù)，已知它的一條直角邊的長恰是1997,那么另一條直角邊的長為 .15. 若 ABC的三邊a、b、c滿足條件：a2 b2 c2 3310a 24b 26c，則這個三角形最長 邊上的高為.16.在銳

11、角厶ABC（第 17 題）中，已知某兩邊（第19題）a=1, b=3，那么第三邊的變化范圍是 （A. 2<c<4B . 2< cw 3 C. 2< cv , 10. 8 < c < 10。（“祖沖之杯”邀請賽試題）17如圖，用3個邊長為I的正方形組成一個對稱圖形，則能將其完全覆蓋的圓的最小半徑為（ ）-.555 17A . 、2 B. ' C . - D .（2003年天津市競賽題）241618 . ABC三邊BC、CA、AB的長分別為a、b、c,這三邊的高依次為 ha、瓜、h。，若a< ha ,b w,則這個三角形為（）A.等邊三角形 B.等

12、腰非直角三角形C.直角非等腰三角形D.等腰直角三角形（2001年武漢市選拔賽試題）19 .如圖，Rt ABC 中，/ ACB = 90°, CD 丄AB 于 D, AF 平分/ CAB 交 CD 于 E,交 CB于F，且EG / AB交CB于G ,貝U CF與CB的大小關(guān)系是（）A . CF>GBB . CF = GB C . GF<GB D .無法確定20 .如圖，已知 ABC是等腰直角三角形，AB = AC , D是斜邊BC的中點，F(xiàn)、F分別是 AB、AC邊上的點，且 DF丄DF，若BE=12 , CF=5，求 DEF的面積.21. 如圖，在 ABC中，AB=AC ,

13、 (1)若P是BC邊上的中點，連結(jié) AP,求證：BP X CP=AB 一 AP2 ; (2)若P是BC邊上任意一點，上面的結(jié)論還成立嗎？若成立，請證明，若不成立，請說明理由；(3)若P是BC邊延長線上一點，線段 AB、AP、BP、CP之間有什么樣的關(guān)系？請證明你的結(jié)論.22. 如圖，在 ABC 中，/ BAC = 90°, AB=AC , E、F 分別是 BC 上兩點，若/ EAF=45 試推斷BE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.323. 如圖，/ ACB=90 ° , AD 是/ CAB 的平分線，BC=4 , CD= ，求 AC 的長.2(2003年河南省競賽題

14、)24. (1)四年一度的國際數(shù)學(xué)家大會于2002年8月20日在北京召開.大會會標(biāo)如圖甲.它是由四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形.若大正方形的面積為 13,每個直角三角形兩直角邊的和是5,求中間小正方形的面積.(2)現(xiàn)有一張長為6.5cm .寬為2 cm的紙片，如圖乙，請你將它分割成6塊，再拼合成一個正方形.(要求：先在圖乙中畫出分割線，再畫出拼成的正方形并標(biāo)明相應(yīng)數(shù)據(jù))(2003年煙臺市中考題)2 2 225. 如圖，在四邊形 ABCD 中，/ ABC=30。，/ ADC=60 ° , AD=CD，求證：BD =AB +BC （北京市競賽題）fl I 1 由B

15、EACAU+=13解得at-6,就3+滬丹卄2oiF圳J過£作CQLAP T Q 連埼BQ.則AQ= BQ=CQ,可得/ACE"甕AH證明略AH由于畑溝為正整數(shù).麗以不紡設(shè)林則有逕+百豐擰而二弓"兩邊平方整理+潸去血得芋ri+RO (a-4)-4)=lXB=2X44a4 = 8 托一 4=4+或1+井別得 =125（t=15.6013由一5)'+訕一*+"*=0硯廠5=團(tuán)尸13QABC為直角三宦形+設(shè)第三邊為*則如圖職Q3-屮+ F>3】l+3>illI+3J>?13 fl=H20,2L5 /T7托札f A*Ms因it 九W皈加

16、莖心代 fl-A<=At=«,5l由 “Sl/C=90*CE=CF明瑚.從而CF=BGDB乎 連結(jié)也 由厶ADE幻MDF,得ED=DFAE>CTm5A2BE= 12£片0<丙刁聲=13略$蜻堆歳立,作ADIBCf PiBP CP=AP* -A怕EF-Br+CF 松印IE境A點蔬轉(zhuǎn)瞅褂MAE*連蜻EF盡BAEH口EZEAF空FAF過D柞DE丄AB于E.則RiAADC&2RtAADE*DE=CD=y T又BD二春莊R也BDE中，由勾股定理得BE=2,設(shè)13*或 a 6 iC= IO*【學(xué)力訓(xùn)練】h BC=農(nóng)訳1. 3j23. 12 設(shè) BD=/,R I3r-? = 15J-(14-i)14, 36 S AC,AC=5,X Aff - AC1 +CD11JNZACD=SO* 5. B 6. D7. D延長AD.BC交于E點 8. D .略10. 連結(jié) AM.則 BM=AM，ZMAC=90ZB=ZC-30°11. 延長 ED至G,使 DG=ED,連結(jié) OG、FG,則 BE=CG.EF=fG，ZFDG=&OQ11 2 76T 延快 AD 到E*使 DE=AD連結(jié) BGJI!1BEhM=13叢E=i2RAE=5+則館14. 194004 ii鄰邊為 y*另一直角邊為丁*由(y+rXyr)=1997*卡丁= 1997fAC