復旦大學材料物理第5課

1、第5課一維復式格子的情形考慮由兩種不同原子所構(gòu)成的一維復式格子，相鄰同種原于間的距離為2a，(2a是這復式格子的晶格常數(shù))，如圖714所示。質(zhì)量為m的原子位于，2n一12n十1，2n十3，各點；質(zhì)量為M（M>m）的原子位于，2n一2，2n，2n十2，. 各點。類似于前面，得到設方程的解為代入動力學方程，經(jīng)過整理，有或者（1）A、 B有非零解的條件是：由此可以得到w2的兩個解：即對一維復式格子，可以存在兩種獨立的格波，這兩種不同的格波各有自己的色散關系。q的取值范圍應是布里淵區(qū)，即，由此可以算出：以及因為Mm，從而w2的最小值比w1的最大值還要大。換句話說，w1支的格波頻率總比w2支的頻率

2、為低。實際上，w2支的格波可以用光來激發(fā)，所以常稱為光頻支格波，簡稱為光學波。而w1支則稱為聲頻支格波，簡稱為聲學波。關于聲學波與光學波在極限條件下的討論1. 當時（短波近似），由Mm可知，格波頻率(w1)max<（w2）min。在(w1)max<w<（w2）min時沒有格波。 (w1)max和（w2）min之間的頻率范圍叫頻率隙。所以，也可以把一維雙原子品格叫帶通濾波器，這與一維單原子晶格的振動問題明顯不同。2. 當時（長波近似），由于，故有利用二項式定理，可以展開因此有（a） 聲學波這支格波色散關系和一維單原子晶格的色散關系相似，因此在極限下，它可以看成是彈性波，人們把達

3、支格波稱為聲學波。（b） 光學波當，有其中是折合質(zhì)量對于典型的m,b可以計算出，相當于光譜中的紅外區(qū)。相鄰原子的振幅比的討論：1) 對于聲學波從（1）式可以得到：由， （m<M）, cos(qa)>0, 可得到，即相鄰兩種不同原子的振幅都有相同的正號或負號，相鄰原子都是沿著同一方向振動的，其振動概況如圖716所示。2) 對于光學波從（1）式可以得到： 由， （m<M）, cos(qa)>0, 可得到，即相鄰兩種不同原子的振動方向是相反的。光學波的振動概況如圖717所示。玻恩卡門(BornKarman)邊界條件1. 一維單原子情況在前面的討論中，認為一維晶體是無限的，但實

4、際晶體總是有限的，總存在著邊界，而此邊界對內(nèi)部原子的振動狀態(tài)總會有所影響。波恩和卡門把邊界對內(nèi)部原子振動狀態(tài)的影響考慮成如下面所述的周期性邊界條件。設想在一長為Na的有限晶體邊界之外，仍然有無窮多個相同的晶體，并且各塊晶體內(nèi)相對應的原子的運動情況一樣，即第J個原子和第tN十j個原子的運動情況一樣，其中t1，2，3，。這樣設想的無限晶體中的原子和原來實際的有限晶體中的原子，兩者所受到的互作用勢能確是有差別的。但是進一步的分析表明，由于互作用主要是短程的，實際的有限晶體中只有邊界上極少數(shù)原子的運動才受到相鄰的假想晶體的影響。就有限晶體而言，絕大部分原子的運動實際上不會受到這些假想晶體的影響。在上述

5、假想的周期性邊界條件下，對于一維有限的布喇菲格子，第一個原胞的原子應和第N十1個原腦的原子振動情況相同，即根據(jù)前面的討論，由此得到 （l：整數(shù)）即描寫品格振動狀態(tài)的波矢q只能取一些分立的值。因為q介于，所以l介于，有。由此可知，l只能取N個不同的值，因而q也只能取N個不同的值。這里N是原胞的數(shù)目。2. 一維雙原子（復式格子）情況對于一維復式格子，設晶體有N個原胞(每個原胞含兩個不同的原子)，根據(jù)同期性邊界 條件：得到： （l：整數(shù)）由于故有，即l有N個值，q也有N個值。對應子每個q值有兩個不同的w，一個是光學波，另一個是聲學波。因此，對于一維雙原子的復式格子，角頻率數(shù)為2N。在一維雙原子復式格

6、子中，每個原胞有兩個原子，晶體的自由度是2N，因此得到這樣的結(jié)論：晶格振動波矢q的數(shù)目晶體原胞數(shù)N晶格振動頻率w的數(shù)目晶體的自由度數(shù)。即：q與w都是量子化的！聲子概念品格振動是晶體中諸原子(離子)集體地在作振動，其結(jié)果表現(xiàn)為晶格中的格波。一般而言，格波不一定是簡諧的，但可以展成為簡諧平面波的線性疊加。當振動微弱時，即相當于簡諧近似的情況，格波直接就是筒諧波。這時，格彼之間的相互作用可以忽略，從而可以認為它們的存在是相互獨立的，稱為獨立的模式。每一獨立的模式對應一個振動態(tài)(q)。晶格的周期性又給予了格波以一定的邊界條件(玻恩卡門條件)使得獨立的模式亦即獨立的振動態(tài)是分立的。因此我們可以用獨立簡諧

7、振子的振動來表述格波的獨立模式，這就是聲子概念的由來。聲子就是晶格振動中的簡諧振子的能量量子。幾個關鍵：1) 晶體中原子偏離平衡位置的移動可以用格波描述；2) 在微弱振動情況下，格波是簡諧波；3) 在一般情況下格波可以視為簡諧波的疊加；4) 由于晶體的周期性，導致格波的波矢、振動頻率都是分立的，由此可以引入聲子的概念。聲子的能量按照量子力學，一個筒諧振子的能量的本征值為其中nq取0，1，2，等整數(shù)值這說明簡諧振于的能量采取分立的量子化的值，它的能量只能按分立臺階來增減。【注意，nq是能量的臺階數(shù)！】故晶格振動的總能量可表為 上述所得結(jié)果可以推廣到一般的三維晶格。一般三維晶格的晶格振動的總能量為

8、其中i表示(q，s)，即波矢q與頻率的支數(shù)s。q取值的總數(shù)等于晶體的原胞數(shù)，s的取值總數(shù)等于3g，即原胞內(nèi)原子的自由度數(shù)。g是原胞中的原子數(shù)。晶格振動的能量是量子化的，給出一套ni的值(n1，n2，ni.)便給出整個晶格振動的一個狀態(tài)，所有ni都等于零的狀態(tài)是晶格振動的基態(tài)，其能量稱為零點能，那些ni不全等于零的狀態(tài)是晶格振動的激發(fā)態(tài)。利用“聲子”的概念，可以把處于第ni能級的振動模式(或格波)看成是由基態(tài)激發(fā)了ni個能量為的“聲子”，也就是說，可以用ni個只有能量與由波矢q的聲子來代替頻率為，波矢為qi的處于第ni能級的格波的波動圖象。這樣一來，整個晶格振動的運動狀態(tài)可用聲子數(shù)目ni的數(shù)值(

9、n1，n2，ni.)決定的聲子氣體來描述。單一聲子的能量可表為，動量為。由于在晶格振動中某一模式的格波可以激發(fā)任意數(shù)目的聲子，這說明聲子不服從泡利原理，聲子是服從玻色愛因斯坦統(tǒng)計的。由統(tǒng)計物理可知，在一給定的聲子狀態(tài)(即給定能量及動量的狀態(tài))中的平均聲子數(shù)為其中是聲子能量，T是絕對溫度，kB是玻耳茲曼常數(shù)。晶格比熱注意：是晶格而不是晶體！晶體比熱包括兩個部分：一是晶格振動能量，一是電子運動能量。由熱力學可知，固體的定容比熱的定義為其中是固體的平均內(nèi)能。因此，欲求出比熱需先求出。設固體是由N個原子構(gòu)成的簡單晶格，則晶格振動只有三支聲頻格波，總的格波的模式數(shù)目為3N。按照玻色-愛因斯坦統(tǒng)計，一個簡

10、諧振子在一定溫度下的平均能量為而固體的整體的內(nèi)能為右邊最后一項是常數(shù)，對于比熱沒有貢獻，可以忽略。如果頻率分布可以用一個積分函數(shù)表示，就可以把上式中的取和號變?yōu)榉e分。設表示角頻率在和之間的格波數(shù)，而且有歸一化條件由此可以有由此有晶格的比熱為由此可見，用量子理論求比熱時，問題的關鍵在于如何求角頻率的分布函數(shù)。對于具體的晶體，的計算非常復雜，需要簡化。幾個著名的簡化模型：1) 愛因斯坦模型假設：晶體中所有原子都以相同的頻率振動在這一假設條件下，可以得到由此其中為愛因斯坦比熱函數(shù)。通常用愛因斯坦溫度代替頻率w，的定義為：由此比熱可改寫為幾種極限情況：a) 高溫近似（T>>）因此這就是經(jīng)典

11、結(jié)果，它是很好理解的，因為在高溫區(qū)，振子的能量近似等于，而遠大于能量量子()時，量于化效應就可以忽略，所以給出經(jīng)典結(jié)果。這個結(jié)果與高溫區(qū)的比熱實驗結(jié)果符合。b) 低溫近似（>>T）由此有即當T趨近于0時，CV以指數(shù)方式趨近于0。這是經(jīng)典理論所不能得到的結(jié)果。 愛因斯坦模型的結(jié)果在相當大溫度范圍內(nèi)是與實驗一致，然而，在非常低溫范圍，比熱的實驗曲線以T3趨近于0，而不是以指數(shù)方式趨近于0。顯然，愛因斯坦模型中，原于相互獨立地振動的假設是過于簡略了。固體中的原子是存在相互作用的。一個原子的運動實際上要影響所有其他原子的運動(完全獨立的原子是不可能達到熱平衡的)，因此必須將晶格的運動作為一

12、個整體，即考慮晶格的集體振動模式。2) 德拜模型假設：a) 晶格是連續(xù)介質(zhì)，縱的和橫的彈性格波的波速具有相同速度Vp，即有色散關系。有一個最大值，超過此值的短波不存在。注意此假設與現(xiàn)實情況的偏離如右圖示！b) 格波的等頻率面始終為球面：即在例易點陣中，第一布里淵區(qū)將被同體積的球所代替。在上述假設下，對于每一支振動、波矢數(shù)值在q到q十dq中的振動方式的數(shù)目(即格波的數(shù)目)為，其中V為晶體體積。對于各向同性介質(zhì)中的彈性波有所以角頻率在w到w+dw中的振動方式為計及三種彈性波【一個縱波，兩個橫波】，得出角頻率在w到w+dw間的格波數(shù)為由此可以計算內(nèi)能比熱將的表達式代入歸一化條件可以求出令，內(nèi)能可表達

13、為比熱其中 ，qD為德拜溫度，。鋁和銅的比熱理論曲線和實驗數(shù)據(jù)比較如圖742所示。a) 低溫極限情況 當溫度很低，qD>>T，xmax可認為為無窮大，由此有故有即在極低溫條件下，比熱與溫度的3次方成正比。這與實驗符合的很好。此關系為德拜定律。b) 高溫極限情況 當溫度很高，T >>qD，xmaxqD/T很小，這樣被積函數(shù)中的x在它的整個范圍內(nèi)很小，由此可近似有ex1x由此在一級近似中，有最終得到這就是經(jīng)典熱力學中的結(jié)果。部分材料的德拜溫度德拜溫度是用經(jīng)典概念和量子概念解釋比熱的分界線。低于德拜溫度，要用量子統(tǒng)計規(guī)律處理問題。高于德拜溫度，可以用經(jīng)典統(tǒng)計規(guī)律處理。從表6l

14、可見，一般材料的德拜溫度都是幾百度，相應于wD1013秒，它處在紅外光譜區(qū)。德拜模型盡管取得了很大的成功，與實驗結(jié)果仍有距離。德拜模型的近似在于假設了對于所有可能激發(fā)的模，連續(xù)介質(zhì)的色散關系均成立，這導致了德拜溫度qD是與溫度無關的量。但實驗發(fā)現(xiàn)qD隨溫度的改變可高達10以上。非簡諧振動在簡諧近似下認為當原子離開其平衡位置發(fā)生位移時，受到的相鄰原子作用力(恢復力)與該原子的位移成正比，也即在原子的相互作用勢能表示式中只保留了項，而忽略了的三次方以上的高次項。在這樣的近似下，晶格的原子振動可以描述成為一系列線性獨方的諧振于。出于振動是線性獨立的，相應的振子之間不發(fā)生作用，因而不能交換能量。這樣，

15、在晶體中某種聲子一旦被激發(fā)出來，它的數(shù)日就一直保持不變，它既不能把能量傳遞給其他頻率的聲子，也不能使白己處于熱平衡分布?？砂堰@些高次項看成微擾項。由于微擾項的存在，這些諧振于就不再是相互獨立的，而相互間要發(fā)生作用，即聲子與聲于問將相互交換能量。這樣，如果開始時只存在某種頻率的聲子，出于聲子間的互作用，這種頻率的聲子轉(zhuǎn)換成另一種頻率的聲子，即一種頻率的聲子要湮滅，而另一種頻率的聲子會產(chǎn)生。這樣，經(jīng)過一定的弛豫時間后，各種聲子的分布就能達到熱平衡，所以這些高次項也即非簡諧顧，是使晶格振動達到熱平衡的最主要原因。熱傳導如果晶體內(nèi)存在溫度梯度，則在晶體內(nèi)將有能流密度Q(單位時間內(nèi)通過單位面積的熱能)流過：是晶體的熱導系數(shù)。如果不考慮電子對熱傳導的貢獻，則晶體中的熱傳導主要依靠聲子來完成，設晶體的單位體積熱容量為C，晶體的一端溫度為T1，另一端溫度為T2，溫度高的那一端，晶體的晶格振動將具有較多的振動模式和較大的振動幅度，比即較多的聲子被激發(fā)，具有較多的聲子數(shù)；當這些格波傳至晶體的另一端，使那里的晶格振動趨于具有同樣多的振動模式和幅度，這樣就把熱量從晶體一端傳到另一端。如果晶格振動間也即聲子間不存在相互作用，則熱導系數(shù)將為無窮大，即在晶體間不能存在溫度梯度。實際上，聲子間存在相互作用，當它們從一端移向另一端時，相互問會發(fā)生碰撞，也