一元一次方程應用題的解法

1、一元一次方程應用題的解法一、直列法。即由題中的“和”、“少”、“倍”等表示數(shù)量關系的字眼，直接列出相關的方程。例1 在甲處勞動的有27人，在乙處勞動的有19人，現(xiàn)在另調(diào)20人去支援，使在甲處人數(shù)為在乙處的人數(shù)的2倍，應調(diào)往甲、乙兩處各多少人？分析：顯然，人員調(diào)動完成后，甲處人數(shù)2×乙處人數(shù)。解：設調(diào)x人到甲處，則調(diào)（20-x）人到乙處，由題意得：27+x=2(19+20-x)，解之得x1720-x20173（人）答：應調(diào)往甲處17人，乙處3人。二、公式法。學生熟識的公式諸如“路程速度×時間”、“工作總量工作效率×工作時間”、“利潤售價進價”、“利潤率利潤/進價”等

2、都是解答相關方程應用題的工具。例2 商品進價1800元，原價2250元，要求以利潤率不低于5%的售價打折出售，則此商品最低可打幾折出售？分析：根據(jù)利潤率公式，列出方程即可。解：設最低可打x折。據(jù)題意有：5%=（2250x-1800）/1800，解之得x0.84答：最低可打8.4折。三、總分法。即根據(jù)總量等于各分量之和來列出方程，用此法要注意分量不可有所遺漏。例3 “過路的人！這兒埋葬著丟番圖。請計算下列題目，便可知他一生經(jīng)過了多少寒暑。他一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是無憂無慮的少年。再過去七分之一的年程，他建立了幸福的家庭。五年后兒子出生，不料兒子竟先其父四年而終，只活到父親歲數(shù)的一

3、半。晚年喪子老人真可憐，悲痛之中度過了風燭殘年。請你算一算，丟番圖活到多大，才和死神見面？”分析：本題即是著名的丟番圖的“墓志銘”，題中巧妙地把丟番圖的總年齡劃分為了幾個部分，解題時只需運用其總年齡各部分年齡的和即可得出解答。解：設丟番圖活了x年。據(jù)題意可得：x=x/6+x/12+x/7+5+x/2+4解之得x84答：丟番圖共活了84歲。由此題的解答，我們還可知道古希臘的這位大數(shù)學家丟番圖33歲結(jié)婚，38歲得子，80歲死了兒子，兒子活了42歲等。四、同一法。這類題目的解題原理是：如果同一個量能用兩個不同的代數(shù)式表達，則這兩個代數(shù)式必然相等。例4 一隊學生從學校出發(fā)去部隊軍訓，行進速度是5千米/

4、時，走了4.5千米時，一名通訊員按原路返回學校報信，然后他隨即追趕隊伍，通訊員的速度是14千米/時，他在距離部隊6千米處追上隊伍，問學校到部隊的距離是多少？（報信時間忽略不計）分析：該題的解答關鍵在于，通訊員從返回學校到追上隊伍所用時間與隊伍走了4.5千米到距離部隊6千米這段路程所用時間是相等的（同一段時間）。解：設學校到部隊的距離是x千米。據(jù)題意得：(x-4.5-6)/5=(x+4.5-6)/14，解之得：x15.5答：學校到部隊的距離是15.5千米。當然，以上四種方法不是孤立使用的，如例4的解答必然要用到公式：“路程速度×時間”。并且一個題目的解法往往也不是唯一的，如例1的解答也

5、可以用總分法：解：設人員分配后乙處人數(shù)為x人，甲處為2x人。分配后的總?cè)藬?shù)為27+19+2066人，據(jù)題意有：x+2x27+19+20，解之得x22，2x44，故442717（人），221939（人）答：應調(diào)往甲處17人，乙處3人?？梢?，方程應用題方法論的訓練，不僅使大多數(shù)學生在解答相關問題時能“按圖索驥”，而且對于培養(yǎng)學生思維的發(fā)散性和多元性也有著重要意義，使一題多解成為可能。分式方程應用題1)有一項工程，若甲隊單獨做，恰好在規(guī)定日期完成，若乙隊單獨做要超過規(guī)定日期3天完成；現(xiàn)在先由甲、乙兩隊合做2天后，剩下的工程再由乙隊單獨做，也剛好在規(guī)定日期完成，問規(guī)定日期多少天？（2）為加快西部大開發(fā)

6、，某自治區(qū)決定新修一條公路，甲、乙兩工程隊承包此項工程如果甲工程隊單獨施工，則剛好如期完成；如果乙工程隊單獨施工就要超過6個月才能完成，現(xiàn)在甲、乙兩隊先共同施工4個月，剩下的由乙隊單獨施工，則剛好如期完成問原來規(guī)定修好這條公路需多長時間？（3）某人生產(chǎn)一種零件,計劃在30天內(nèi)完成,若每天多生產(chǎn)6個,則25天完成且還多生產(chǎn)10個,問原計劃每天生產(chǎn)多少個零件?（4）在社會主義新農(nóng)村建設中，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)決定對一段公路進行改造已知這項工程由甲工程隊單獨做需要40天完成；如果由乙工程隊先單獨做10天，那么剩下的工程還需要兩隊合做20天才能完成（1）求乙工程隊單獨完成這項工程所需的天數(shù)；（2）求兩隊合做完成這項

7、工程所需的天數(shù)（5）懷化市某鄉(xiāng)積極響應黨中央提出的“建設社會主義新農(nóng)村”的號召，在本鄉(xiāng)建起了農(nóng)民文化活動室，現(xiàn)要將其裝修若甲、乙兩個裝修公司合做需8天完成，需工錢8000元；若甲公司單獨做6天后，剩下的由乙公司來做，還需12天完成，共需工錢7500元若只選一個公司單獨完成從節(jié)約開始角度考慮，該鄉(xiāng)是選甲公司還是選乙公司？請你說明理由（6）一項工程，甲單獨做x小時完成，乙單獨做y小時完成，則兩人一起完成這項工程需要_小時。（7）某農(nóng)場開挖一條480米的渠道，開工后，每天比原計劃多挖20米，結(jié)果提前4天完成任務，求原計劃每天挖多少米？（8）為加快西部大開發(fā)，某自治區(qū)決定新修一條公路，甲、乙兩工程隊承

8、包此項工程。如果甲工程隊單獨施工，則剛好如期完成；如果乙工程隊單獨施工就要超過6個月才能完成，現(xiàn)在甲、乙兩隊先共同施工4個月，剩下的由乙隊單獨施工，則剛好如期完成。問原來規(guī)定修好這條公路需多長時間？（9）某工人師傅先后兩次加工零件各1500個，當?shù)诙渭庸r，他革新了工具，改進了操作方法，結(jié)果比第一次少用了18個小時.已知他第二次加工效率是第一次的2.5倍，求他第二次加工時每小時加工多少零件?（10）甲、乙兩個工程隊共同完成一項工程,乙隊先單獨做1天, 再由兩隊合作2天就完成全部工程,已知甲隊與乙隊的工作效率之比是3:2,求甲、 乙兩隊單獨完成此項工程各需多少天?應用題歸納1. 列方程解比較容

9、易的兩步應用題(1)列方程解應用題的步驟弄清題意，找出未知數(shù)并用x表示；找出應用題中數(shù)量間的相等關系，列方程；解方程；檢查，寫出答案。(2)列方程解應用題的關鍵弄清題意后，找出應用題中數(shù)量間的相等關系，恰當?shù)卦O未知數(shù)，列出方程。(3)運用一般的數(shù)量關系列方程解應用題列方程解加、減法應用題。如：甲乙兩人年齡的和為29歲，已知甲比乙小3歲，甲、乙兩人各多少歲？數(shù)量間的等量關系：甲的年齡 + 乙的年齡 = 甲乙二人的年齡和解：設甲的年齡是x歲，則乙的年齡為：(x+3)歲。x+(x+3)=29x+x+3=292x=29-3x=26 2x=13甲的年齡13+3=16(歲)乙的年齡答：甲的年齡是13歲，乙

10、的年齡是16歲。列方程解乘、除法應用題。如：學校圖書館買來故事書240本，相當于科技書的3倍，買來科技書多少本？科技書的本數(shù) 3 = 故事書的本數(shù)解：設買來科技書x本3x=240x=80答：買來科技書80本。(4)用計算公式、性質(zhì)、數(shù)位及計數(shù)單位等做數(shù)量間的等量關系，列方程解應用題一長方形的周長是240米，長是寬的1.4倍，求長方形的面積。( 長 + 寬 ) 2=周長解：設寬是x米，則長是(1.4x)米。(1.4x+x) 2=2402.4x=240 2x=120 2.4x=50長方形的寬50 1.4=70(米) 長方形的長70 50=3500(平方米)答：長方形的面積是3500平方米。三角形A

11、BC中，角A是角B的2倍，角A與角B的和比角C小18°。求三個角的度數(shù)。這是一個什么三角形？角A + 角B + 角C = 180度解：設角B是x度，則角A是(2x)度，角C是(2x+x)+18度。2x+x+(2x+x)+18=1806x+18=1806x=180-18x=162 6x=27角B的度數(shù)27 2=54(度)角A的度數(shù)54+27+18=99(度)角C的度數(shù)答：角A是54度，角B是27度，角C是99度。因為：角B<角A<角C，90°<角C<180°，所以這個三角形是鈍角三角形。一個兩位數(shù)，十位數(shù)字與個位數(shù)字的和是6。若以原數(shù)減去7，

12、十位數(shù)與個位數(shù)字相同，求原數(shù)。十位上的數(shù)字 個位上的數(shù)字解：設原數(shù)的個位數(shù)字為x。則原數(shù)十位上的數(shù)字為：6-x；若從原數(shù)中減去7，則個位上的數(shù)字變?yōu)椋?0+x-7、十位上的數(shù)字變?yōu)椋?-x-1。6-x-1=10+x-75-x=3+x2x=2x=1原數(shù)的個位數(shù)字6-1=5原數(shù)的十位上的數(shù)因此，原數(shù)是：51。2列方程解二、三步計算的應用題廣水電影院原有座位32排，平均每排坐38人；擴建后增加到40排，可比原來多坐584人。擴建后平均每排可以坐多少人？解：設擴建后平均每排坐x人。x 40-38 32=58440x-1216=58440x=584+1216x=1800 40x=45答：擴建后平均每排可

13、以坐45人。3列方程解含有兩個未知數(shù)的應用題某班學生合買一種紀念品，每人出1元，多4元6角；每人出9角，就差5角。求這件紀念品多少錢？這個班共有多少名學生？解：設這個班共有x名學生x-4.6=9 10 x+5 10x-4.6=0.9x+0.50.1x=5.1x=51這個班學生人數(shù)51-4.6=46.4(元) 紀念品的單價答：這件紀念品46.4元；這個班共有學生51名。4.用方程解和用算術法解應用題的比較用方程解應用題和用算術法解應用題有什么區(qū)別，它們之間的主要區(qū)別在于思路不同。用方程解應用題，要設未知數(shù)x，并且把未知數(shù)x與已知數(shù)放在一起，分析應用題所敘述的數(shù)量關系，再根據(jù)數(shù)量關系和方程的意義，

14、列出方程式。用算術法解應用題，要把已知數(shù)集中起來，加以分析，找出已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系，列出算式表示未知數(shù)。例如：小華身高160厘米，比小蘭高15厘米。小蘭的身高是多少厘米？用方程解：解：設小蘭的身高x厘米160-x=15x=160-15x=145或：x+15=160x=160-15x=145用算術法解：160-15=145通過比較，同學們可以看出，這兩種方法的主要區(qū)別是未知數(shù)參加不參加到列式之中。列算術式，是根據(jù)題中的條件，由已知推出未知，用已知數(shù)之間的關系來表示未知數(shù)。未知數(shù)是運算的結(jié)果，已知與未知數(shù)用等號隔開。列方程式，是根據(jù)題目敘述的順序，未知數(shù)參加列式，未知數(shù)與已知數(shù)用運算符號相連

15、接，從整體上反映數(shù)量關系的各個方面，所以，解題方式靈活多樣，適用面廣，用來解答那些反敘的問題更顯得方便。【典型范例剖析】例1 甲乙兩桶油，甲桶里有油45千克，乙桶里有油24千克，問從甲桶里倒多少千克的油到乙桶里，才能使甲桶里的油的重量是乙桶里的1.5倍？分析：根據(jù)變動以后“甲桶里油的重量是乙桶的1.5倍”，可以列出等量關系式：現(xiàn)在乙桶里油的重量 1.5 = 現(xiàn)在甲桶里油的重量設從甲桶里倒x千克的油到乙桶里，那么，現(xiàn)在甲桶里的油是(45-x)千克，現(xiàn)在乙桶里的油是(24+x)千克。解：設從甲桶里倒x千克油到乙桶里。(24+x) 1.5=45-x36+1.5x=45-x36+1.5x+x=4536

16、+2.5x=45x=(45-36) 2.5x=3.6答：從甲桶里倒3.6千克的油到乙桶里，才能使甲桶里油的重量是乙桶的5倍。例2 一位三位數(shù)，個位上的數(shù)字是5，如果把個位上的數(shù)字移到百位上，原百位上的數(shù)字移到十位上，原十位上的數(shù)字移到個位上，那么所成的新數(shù)比原數(shù)小108，原數(shù)是多少？分析：原三位數(shù)中只知道個位數(shù)字，百位和十位上的數(shù)字都不知道。如果設原三位數(shù)中的百位數(shù)字與十位數(shù)字拼成的二位數(shù)為x，則原三位數(shù)可表示為“10x+5”，那么新數(shù)就可以表示為“5 100+x”。解：設原三位數(shù)中的百位數(shù)字與十位數(shù)字拼成的二位數(shù)為x，可得方程：10x+5=5 100+x+10810x-x=500+108-5

17、9x=603x=6710 67+5=675原三位數(shù)答：原三位數(shù)是675。例3 某校附小舉行了兩次數(shù)學競賽，第一次及格人數(shù)是不及格人數(shù)的3倍還多4人，第二次及格人數(shù)增加5人，正好是不及格人數(shù)的6倍，問參加競賽的有多少人？分析：本題所求的參賽人數(shù)包括了及格的和不及格的人數(shù)，而第二次的參賽人數(shù)與第一次參賽人數(shù)有直接關系的條件，總?cè)藬?shù)又不變。所以我們設第一次參賽的不及格人數(shù)為x人，那么第一次參賽及格的人數(shù)可以用“(3x+4)”人來表示，總數(shù)是(4x+4)人，第二次參賽及格的人數(shù)是(3x+4+5)人，不及格的人數(shù)是(x-5)人，根據(jù)“第二次及格人數(shù)是不及格人數(shù)的6倍”，這一等量關系，可列方程。解：設第一

18、次參賽不及格的人數(shù)為x，依據(jù)題意可得方程：3x+4+5=(x-5) 63x+9=6x-303x=39x=13則 4x+4=13 4+4=56參加競賽的人數(shù)答：參加競賽的有56人?！疽族e題解舉例】例1 吉陽村有糧食作物84公頃，比經(jīng)濟作物的4倍多2公頃，經(jīng)濟作物有多少公頃？錯誤：設經(jīng)濟作物有x公頃x=(84-2)÷4x=82÷4x=20.5答：經(jīng)濟作物有20.5公頃。分析：這題列出的式子是一個算術式，不是方程。錯誤在于沒有弄清方程和算術式的區(qū)別。算術式是由已知數(shù)和運算符號組成的，用來表示未知數(shù)，如本題的“x=(84-2) ÷4”；而在方程里，未知數(shù)則是參加運算的，本

19、題中的“x”則沒有參加運算。改正：設經(jīng)濟作物有x公頃4x+2=84(或4x=84-2)4x=82x=20.5答：經(jīng)濟作物有20.5公頃。例2 食堂運來一批煤，原計劃每天燒210千克，可以燒24天。改進爐灶后這批煤可燒28天。問：改進爐灶后平均每天比原計劃節(jié)約多少千克？錯誤：設每天比原計劃節(jié)約x千克28x=210 24x=180210-180=30(千克)答：改進爐灶后平均每天比原計劃節(jié)約30千克。分析：題中所設未知數(shù)x與方程式中的x所表示的意義不同。題目中的方程式的“x”所表示的是“改進爐灶后平均每天燒煤數(shù)”，并不表示“節(jié)約”的數(shù)。本題可以采用“間接設未知數(shù)法”或“直接設未知數(shù)法”。改正：(1

20、)間接設未知數(shù)解：設改進爐灶后每天燒煤x千克，則每天比原計劃節(jié)約(210-x)千克。28x=210 2428x=5040x=180210-x=210-180=30(2)直接設未知數(shù)解：設改進爐灶后平均每天比原計劃節(jié)約x千克。(210-x) 28=210 24210-x=180x=210-180x=30答：改進爐灶后平均每天比原計劃節(jié)約30千克。例3 王蘭有64張畫片，雷江又送給她12張，這時王蘭和雷江的畫片數(shù)相等。雷江原有畫片多少張？(用方程解)錯誤：設雷江原有畫片x張x-12=64x=76分析：雷江送12張畫片給王蘭后，兩人的畫片數(shù)才相等。也就是說，雷江減少12張，王蘭增加12張之后，他們的

21、畫片數(shù)才同樣多。此解法把等量關系弄錯了，誤認為雷江的畫片減少12張后與王蘭原有的畫片數(shù)相等。改正：設雷江原有畫片x張。x-12=64+12x=76+12x=88答：雷江原有畫片88張?！窘忸}技巧指點】1. 列方程解應用題時，往往列出來的是一個算術式，誤以為是方程。如：廣水市吉陽村有糧食作物84公頃，比經(jīng)濟作物的4倍多2公頃，經(jīng)濟作物有多少公頃？解：設經(jīng)濟作物有x公頃x=(84-2) 4x=82 4x=20.5答：經(jīng)濟作物有20.5公頃。本題中的“x=(84-2) 4”是一個算術式。出現(xiàn)上述錯誤，原因在于沒有弄清方程式和算術式的區(qū)別。算術式是由已知數(shù)和運算符號組成的，用來表示未知數(shù)；而在方程里，

22、未知數(shù)則是參加運算的。本題的方程應該列為：4x+2=84或4x=84-2或84-4x=22按照題意，恰當?shù)卦O未知數(shù)。如：第一教工食堂運來一批煤，原計劃每天燒煤210千克，可燒24天，改進爐灶后這批煤可燒28天。問：改進爐灶后平均每天比原計劃節(jié)約多少千克？設未知數(shù)時一般有兩種方法：一種是直接設未知數(shù)為x，題目中問什么，就設什么為x；另一種是間接設未知數(shù)為x，再通過這個量與所求問題的關系，求出應用題中要求的未知量。如果按直接設未知數(shù)為x的方法解答，那么本題中所列方程應該是：解：設每天比原計劃節(jié)約x千克煤(210-x) 28=210 24210-x=180x=210-180x=30如果采用間接設未知數(shù)x的方法：解：設改進爐灶后每天燒煤x千克，則每天比原計劃節(jié)約(210-x)千克。28x=210 24x=180210-180=30(千克)答：每天比原計劃節(jié)約30千克。解一元一次方程應用題的方法一一般在解決問題時第一步就是要設出未知數(shù),未知數(shù)的設法主要有以下幾種:1,有