中學(xué)代數(shù)公式大全

1、目目 錄錄一、初中代數(shù)一、初中代數(shù) 1二、高中代數(shù)二、高中代數(shù) 42.1、函數(shù)42.1.1 不等式72.1.1 數(shù)列82.1.1 三角函數(shù)92.1.1 復(fù)數(shù)112.2 排列、組合122.3 平面幾何132.3.1 直線與角132.3.2 三角形142.4 立體幾何142.4.1 直線與平面142.4.2 多面體、棱柱、棱錐172.5 解析幾何172.5.1 方程與曲線172.5.2 直線182.5.3 圓192.5.4 橢圓192.5.5 雙曲線202.5 拋物線202.6 向量部分212.6.1 空間向量212.6.2 平面向量22三、常用公式三、常用公式 233.1 常用公式233.2 幾

2、何圖形及計(jì)算公式25四、坐標(biāo)幾何和二維、三維圖形四、坐標(biāo)幾何和二維、三維圖形 274.1 坐標(biāo)幾何274.2 二維圖形284.3 三維圖形29一、初中代數(shù)一、初中代數(shù) 【實(shí)數(shù)的分類實(shí)數(shù)的分類】【自然數(shù)自然數(shù)】表示物體個(gè)數(shù)的 1、2、3、4等都稱為自然數(shù)【質(zhì)數(shù)與合數(shù)質(zhì)數(shù)與合數(shù)】一個(gè)大于 1 的整數(shù)，如果除了它本身和 1 以外不能被其它正整數(shù)所整除，那么這個(gè)數(shù)稱為質(zhì)數(shù)。一個(gè)大于 1 的數(shù)，如果除了它本身和 1 以外還能被其它正整數(shù)所整除，那么這個(gè)數(shù)知名人士為合數(shù)，1 既不是質(zhì)數(shù)又不是合數(shù)?！鞠喾磾?shù)相反數(shù)】只有符號不同的兩個(gè)實(shí)數(shù)，其中一個(gè)叫做另一個(gè)的相反數(shù)。零的相反數(shù)是零?！窘^對值絕對值】一個(gè)正數(shù)的

3、絕對值是它本身，一個(gè)負(fù)數(shù)絕對值是它的相反數(shù)，零的絕對值為零。 從數(shù)軸上看，一個(gè)實(shí)數(shù)的絕對值是表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)離開原點(diǎn)距離。【倒數(shù)倒數(shù)】1 除以一個(gè)非零實(shí)數(shù)的商叫這個(gè)實(shí)數(shù)的倒數(shù)。零沒有倒數(shù)。【完全平方數(shù)完全平方數(shù)】如果一個(gè)有理數(shù) a 的平方等于有理數(shù) b，那么這個(gè)有理數(shù) b 叫做完全平方數(shù)?！痉礁礁咳绻粋€(gè)數(shù)的 n 次方（n 是大于 1 的整數(shù)）等于 a，這個(gè)數(shù)叫做 a 的 n 次方根。【開方開方】求一數(shù)的方根的運(yùn)算叫做開方?！舅阈g(shù)根算術(shù)根】正數(shù) a 的正的 n 次方根叫做 a 的 n 次算術(shù)根，零的算術(shù)根是零，負(fù)數(shù)沒有算術(shù)根?！敬鷶?shù)式代數(shù)式】用有限次運(yùn)算符號（加、減、乘、除、乘方、開方）把數(shù)

4、或表示數(shù)的字母連結(jié)所得的式子，叫做代數(shù)式?！敬鷶?shù)式的值代數(shù)式的值】用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，計(jì)算后所得的結(jié)果，叫做當(dāng)這個(gè)字母取這個(gè)數(shù)值時(shí)的代數(shù)式的值。【代數(shù)式的分類代數(shù)式的分類】【有理式有理式】只含有加、減、乘、除和乘方運(yùn)算的代數(shù)式叫有理式【無理式無理式】根號下含有字母的代數(shù)式叫做無理式【整式整式】沒有除法運(yùn)算或者雖有除法運(yùn)算而除式中不含字母的有理式叫整式【分式分式】除式中含字母的有理式叫分式【有理數(shù)的運(yùn)算律有理數(shù)的運(yùn)算律】【等式的性質(zhì)等式的性質(zhì)】【乘法公式乘法公式】【因式分解因式分解】方 程 含有未知數(shù)的等式叫做方程。 方程的解 在未知數(shù)允許值范圍內(nèi)，能使方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解

5、。 【方程方程】解 方 程 在指定范圍內(nèi)求出方程所有解，或者確定方程無解的過程，叫做解方程。 【一元一次方程一元一次方程】一元一次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)是一次的整式方程叫做一元一次方程 【一元二次方程一元二次方程】二、高中代數(shù)二、高中代數(shù)2.12.1、函數(shù)、函數(shù)【集合集合】 指定的某一對象的全體叫集合。集合的元素具有確定性、無序性和不重復(fù)性?！炯系姆诸惣系姆诸悺?【集合的表示方法集合的表示方法】 名名 稱稱 定定 義義 圖圖 示示 性性 質(zhì)質(zhì)子子 集集 真真 子子 集集 交交集集 并并集集 補(bǔ)補(bǔ)集集 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì)定定 義義 判定方法判定方法 函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性函

6、如果對一函數(shù) f(x)定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有 f(-x)=-f(x),那么函數(shù) f(x)叫做奇函數(shù)；函如果對一函數(shù) f(x)定義域內(nèi)任意一個(gè) x，都有 f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)叫做偶函數(shù) 函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性對于給定的區(qū)間上的函數(shù) f(x)： 函數(shù)的周期性函數(shù)的周期性對于函數(shù) f(x)，如果存在一個(gè)不為零的常數(shù) T，使得當(dāng) x 取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函數(shù)y=f(x)叫做周期函數(shù)。不為零的常數(shù) T 叫做這個(gè)函數(shù)的周期。 （1）利用定義 （2）利用已知函數(shù)的周期的有關(guān)定理。 函數(shù)函數(shù)名稱名稱解析式解析式 定義域定義域 值值 域域 奇偶性奇

7、偶性 單單 調(diào)調(diào) 性性 正比正比例函例函數(shù)數(shù)R R 奇函數(shù) 反比反比例函例函數(shù)數(shù)奇函數(shù) 一次一次函數(shù)函數(shù)RR二次二次函數(shù)函數(shù)R函數(shù)函數(shù)名稱名稱解析式解析式 定義域定義域 值值 域域 奇偶性奇偶性 單單 調(diào)調(diào) 性性 正比正比例函例函數(shù)數(shù)R R 奇函數(shù) 反比反比例函例函數(shù)數(shù)奇函數(shù) 一次一次函數(shù)函數(shù)RR二次二次函數(shù)函數(shù)R2.1.12.1.1 不等式不等式不等式不等式 用不等號把兩個(gè)解析式連結(jié)起來的式子叫做不等式 不等式不等式的性質(zhì)的性質(zhì) 含絕對值不等式的性質(zhì)含絕對值不等式的性質(zhì) 幾個(gè)重要的不等式幾個(gè)重要的不等式 形形 式式 解解 集集 R R 一一元元一一次次不不等等式式的的解解法法 R R 一一元

8、元二二次次不不等等式式的的 解解法法 絕絕對對值值不不等等式式的的解解法法 無無理理不不等等式式的的解解法法 2.1.12.1.1 數(shù)列數(shù)列名名稱稱 定定 義義 通通 項(xiàng)項(xiàng) 公公 式式 前前 n n 項(xiàng)的和公式項(xiàng)的和公式 其它其它 數(shù)數(shù)列列 按照一定次序排成一列按照一定次序排成一列的數(shù)叫做數(shù)列，記為的數(shù)叫做數(shù)列，記為anan 如果一個(gè)數(shù)列如果一個(gè)數(shù)列anan的第的第 n n 項(xiàng)項(xiàng) anan與與 n n 之間的關(guān)系之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式可以用一個(gè)公式來表示，這個(gè)公來表示，這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式 等等差差數(shù)數(shù)列列 等等比比數(shù)數(shù)列列 數(shù)列前數(shù)列前 n n 項(xiàng)和與通項(xiàng)

9、的關(guān)系：項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系：無窮等比數(shù)列所有項(xiàng)的和：無窮等比數(shù)列所有項(xiàng)的和： 適適 用用 范范 圍圍 證證 明明 步步 驟驟 注注 意意 事事 項(xiàng)項(xiàng) 數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)歸歸納納法法 只適用于證明與自然數(shù) n 有關(guān)的數(shù)學(xué)命題 設(shè) P(n)是關(guān)于自然 n 的一個(gè)命題，如果(1)當(dāng) n 取第一個(gè)值 n0(例如：n=1 或 n=2)時(shí)，命題成立(2)假設(shè) n=k 時(shí)，命題成立，由此推出 n=k+1 時(shí)成立。那么 P(n)對于一切自然數(shù) n 都成立。 （1）第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步的推理根據(jù)，兩步缺一不可 （2）第二步的證明過程中必須使用歸納假設(shè)。 2.1.1 三角函數(shù)三角函數(shù)角角一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的

10、圖形叫做角。旋轉(zhuǎn)開始時(shí)的射線叫角的始邊，旋轉(zhuǎn)終止時(shí)的射線叫角的終邊，射線的端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)。 角的單位制角的單位制關(guān)關(guān) 系系弧弧 長長 公公 式式 扇扇 形形 面面 積積 公公 式式 角度制角度制 弧度制弧度制位 置 角 的 集 合 在 x 軸正半軸上 在 x 軸負(fù)半軸上 在 x 軸上 在 y 軸上在第一象限內(nèi) 在第二象限內(nèi) 在第三象限內(nèi) 角角的的終終邊邊在第四象限內(nèi) 函數(shù)函數(shù)/ /角角 0 特特殊殊角角的的三三sina010-10 cosa10-101 tana01不存在0不存在0 角角函函數(shù)數(shù)值值cota不存在10不存在0不存在 函數(shù)函數(shù)定義域定義域值域值域奇偶奇偶性性周期性周期性 單單

11、調(diào)調(diào) 性性 y=sinx R奇函數(shù)y=cosx R偶函數(shù)y=tanx R奇函數(shù)y=cotx R奇函數(shù)角角/ /函數(shù)函數(shù) 正弦正弦 余弦余弦 正切正切 余切余切 -a -sina cosa -tana -cota 900a cosa sina cota tana 900+a cosa -sina -cota -tana 1800-a sina -cosa -tana -cota 1800+a -sina -cosa tana cota 2700-a -cosa -sina cota tana 2700+a -cosa sina -cota -tana 3600-a -sina cosa -tan

12、a -cota 三三角角函函數(shù)數(shù)的的性性質(zhì)質(zhì)sina cosa tana cota 倒數(shù)關(guān)系倒數(shù)關(guān)系 商數(shù)關(guān)系商數(shù)關(guān)系 同角公式同角公式平方關(guān)系平方關(guān)系 和差角公式和差角公式 /倍角公式倍角公式萬能公式萬能公式半角公式半角公式積化和差公式積化和差公式和差化積公式和差化積公式2.1.1 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的定義復(fù)數(shù)的定義 引入虛數(shù)單位 i，規(guī)定 i2=1,i 可以和實(shí)數(shù)一起進(jìn)行通常的四則運(yùn)算，運(yùn)算時(shí)原有加乘運(yùn)算仍然成立。形如：a+bi（a,b 為實(shí)數(shù)） a-實(shí)部 b-虛部 代代數(shù)數(shù)形形式式 復(fù)數(shù)的復(fù)數(shù)的表示形式表示形式 三三角角形形式式 復(fù)數(shù)的運(yùn)算復(fù)數(shù)的運(yùn)算 代代數(shù)數(shù)式式 三三角角式式 2.2 排列、

13、組合排列、組合分分 類類 計(jì)計(jì) 數(shù)數(shù) 原原 理理 分分 步步 計(jì)計(jì) 數(shù)數(shù) 原理原理 做一件事，完成它有 n 類不同的辦法。第一類辦法中有 m1 種方法，第二類辦法中有 m2 種方法，第 n 類辦法中有 mn 種方法，則完成這件事共有：N=m1+m2+mn 種方法。 做一件事，完成它需要分成 n 個(gè)步驟。第一步中有m1 種方法，第二步中有 m2 種方法，第 n 步中有 mn 種方法，則完成這件事共有：N=m1m2mn種方法。 注意：處理實(shí)際問題時(shí)，要善于區(qū)分是用分類計(jì)數(shù)原理還是分步計(jì)數(shù)原理，這兩個(gè)原理的標(biāo)志是“分類”還是“分步驟” 。 排排 列列 組組 合合 從 n 個(gè)不同的元素中取 m(mn)

14、個(gè)元素，按照一定的順序排成一排，叫做從 n 個(gè)不同的元素中取 m 個(gè)元素的排列。 從 n 個(gè)不同的元素中，任取 m(mn)個(gè)元素并成一組，叫做從 n 個(gè)不同的元素中取 m 個(gè)元素的組合。 排排 列列 數(shù)數(shù) 組組 合合 數(shù)數(shù) 從 n 個(gè)不同的元素中取 m(mn)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從 n 個(gè)不同元素中取出 m 個(gè)元素的排列數(shù)，記為 Pnm 從 n 個(gè)不同的元素中取 m(mn)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從 n 個(gè)不同元素中取出 m 個(gè)元素的組合數(shù)，記為 Cnm 選選 排排 列列 數(shù)數(shù) 全全 排排 列列 數(shù)數(shù) 二二 項(xiàng)項(xiàng) 式式 定定 理理 二項(xiàng)展開式的性質(zhì)二項(xiàng)展開式的性質(zhì) (1)項(xiàng)數(shù)：n+

15、1 項(xiàng) (2)指數(shù)：各項(xiàng)中的 a 的指數(shù)由 n 起依次減少 1，直至 0 為止；b 的指出從0 起依次增加 1，直至 n 為止。而每項(xiàng)中 a 與 b 的指數(shù)之和均等于 n 。(3)二項(xiàng)式系數(shù)：各奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式數(shù)之和等于各偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式的系數(shù)之和 2.32.3 平面幾何平面幾何2.3.1 直線與角直線與角直直 線線 （不定義）直線向兩方無限延伸，它無端點(diǎn)。 射射 線線 在直線上某一點(diǎn)旁的部分。射線只有一個(gè)端點(diǎn)。 線線 段段 直線上兩點(diǎn)間的部分。它有兩個(gè)端點(diǎn)。 垂垂 線線 如果兩條直線相交成直角，那么稱這兩條直線互相垂直。其中一條叫另一條的垂線，它們的交點(diǎn)叫垂足。 斜斜 線線 如果兩條直線不相交成

16、直角時(shí)，其中一條直線叫另一條直線的斜線。 點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)到直線的距離 從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線距離。 線段的垂直平分線線段的垂直平分線 定理：線段的垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。 平平 行行 線線 在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線。 平行線公理及推論平行線公理及推論 經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有一條而且只有一條直線和這條直線平行。 平行于同一條直線的兩條直線平行。 角角 的的 定定 義義 有公共點(diǎn)的兩條射線所組成的圖形，叫做角 角角 的的 分分 類類 周角：3600 平角：1800 直角：900 銳角：00a900 鈍角：900a1800 2.3.22.

17、3.2 三角形三角形按角分 銳角三角形，鈍角三角形，直角三角形 三角形的分類三角形的分類 按邊分 等腰三角形，等邊三角形，不等邊三角形 三角形的角平分三角形的角平分線線 三角形一個(gè)的角的平分線和這個(gè)角的對邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段,叫做三角形的角的平分線。 三角形的中線三角形的中線 連結(jié)三角形一個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做三角形的中線。 三角形的高三角形的高 三角形一個(gè)頂點(diǎn)到它的對邊所在直線的垂線段，叫做三角形的高。 三角形的中位線三角形的中位線 連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段，叫做三角形的中位線。 全全 等等 三三 角角 形形 定定 義義 能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形。 性性 質(zhì)質(zhì) 全等三

18、角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角、對應(yīng)的角的平分線、高及中線相等。 任意三角形 直角三角形 （1）兩邊及夾角對應(yīng)相等。記為 SAS （1）一邊一銳角對應(yīng)相等 （2）兩角和一邊對應(yīng)相等。記為ASAA 或 AAS （2）兩直角邊對應(yīng)相等。 判判 定定 （3）三邊對應(yīng)相等。記為 SSS （3)斜邊、直角邊對應(yīng)相等（HL） 三三 角角 形形 的的 四四 心心 名名 稱稱 定定 義義 性性 質(zhì)質(zhì) 內(nèi)內(nèi) 心心三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心（即內(nèi)切圓的圓心） （1）內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。 （2）三角形一個(gè)頂點(diǎn)與內(nèi)心的連線平分這個(gè)角。 外外 心心三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心。 （即外

19、接圓的圓心） （1）外心到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。 （2）外心與三角形一邊中點(diǎn)的連線必垂直該邊。（3）過外心垂直于三角形一邊的直線必平分該邊。 重重 心心三角形三條中線的交點(diǎn)，叫做三角形的重心。 （1）重心到每邊中點(diǎn)的距離等于這邊中線的三分之一。 （2）三角形頂點(diǎn)與重心的連線必過對邊中點(diǎn)。 垂垂 心心三角形三條高的交點(diǎn)，叫做三角形的垂心。 三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與垂心連線必垂直于對邊。 2.42.4 立體幾何立體幾何2.4.12.4.1 直線與平面直線與平面平面的基本性質(zhì)平面的基本性質(zhì)圖形圖形作用作用公理 1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。 （1）判定直

20、線在平面內(nèi)的依據(jù) （2）判定點(diǎn)在平面內(nèi)的方法 公理 2：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那它還有其它公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的集合是一條直線 。 （1）判定兩個(gè)平面相交的依據(jù) （2）判定若干個(gè)點(diǎn)在兩個(gè)相交平面的交線上 公理 3：經(jīng)過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。 （1）確定一個(gè)平面的依據(jù) （2）判定若干個(gè)點(diǎn)共面的依據(jù) 推論 1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且僅有一個(gè)平面。 推論 2：經(jīng)過兩條相交直線，有且僅有一個(gè)平面。 推論 3：經(jīng)過兩條平行線，有且僅有一個(gè)平面。 （1）判定若干條直線共面的依據(jù) （2）判斷若干個(gè)平面重合的依據(jù)（3）判斷幾何圖形是平面圖形的依據(jù) 平平行直行直線線 公理 4：平

21、行于同一直線的兩條直線互相平 等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等。 空空間間二二 直直 線線 異面異面直線直線 位置位置關(guān)系關(guān)系 （1）直線在平面內(nèi)有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn) （2）直線和平面相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn)（3）直線和平面平行沒有公共點(diǎn) 空空 間間直直線線和和平平面面直直線線和和平平面面平平行行 判 定 定 理 性 質(zhì) 定 理 判判 定定 定定 理理 性性 質(zhì)質(zhì) 定定 理理 直直 線線與與平平面面垂垂直直 （1）平面的斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條斜線與平面所成的角 （2）一條直線垂直于平面，定義這直線與平面所成的角是直角 直線直線與平與

22、平面所面所成的成的角角 （3）一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，定義它和平面所成的角是 00 的角 三垂線定理三垂線定理 在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它和這條斜線垂直 三垂線逆定理三垂線逆定理 在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它和這條斜線的射影垂直 判判 定定 性性 質(zhì)質(zhì) 兩個(gè)兩個(gè)平面平面平行平行 （1）如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行 （2）垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行 （1）兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)平面 （2）如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行（3）一條直線垂直

23、于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面 相交相交的兩的兩平面平面 二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫二面角的線，這兩個(gè)半平面叫二面角的面 二面角的平面角：以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分另作垂直棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角平面角是直角的二面角叫做直二面角 判判 定定 性性 質(zhì)質(zhì) 空間兩個(gè)平面空間兩個(gè)平面 兩平兩平面垂面垂直直 如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直 （1）若二平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們的交線的直線垂直于另一個(gè)平面 （2）如果兩個(gè)平面垂直，那么經(jīng)過第一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平

24、面的直線，在第一個(gè)平面內(nèi) 2.4.2 多面體多面體、棱柱、棱錐、棱柱、棱錐 定定義義 由若干個(gè)多邊形所圍成的幾何體叫做多面體。 斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱。 直棱柱：側(cè)棱與底面垂直的棱柱。 棱棱柱柱 正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱。 多面體多面體 棱棱錐錐 正棱錐：如果棱錐的底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫正棱錐。 球球到一定點(diǎn)距離等于定長或小于定長的點(diǎn)的集合。 歐拉定理歐拉定理簡單多面體的頂點(diǎn)數(shù) V，棱數(shù) E 及面數(shù) F 間有關(guān)系：V+F-E=2 多多 面面 體體 側(cè)面積公式側(cè)面積公式體積公式體積公式球球2.52.5 解析幾何解析幾何2.5.1 方程與曲線方

25、程與曲線概概念念在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線 C 上的點(diǎn)的坐標(biāo)（x,y）都是方程 F（x,y)=0 的解；反之方程 F（x,y)=0 的解為坐標(biāo)的點(diǎn)（x,y）都在曲線 C 上，那么方程 F（x,y)=0 叫曲線 C 的方程，曲線 C 叫方程 F（x,y)=0 的曲線。 已已知知曲曲線線求求它它的的方方程程的的步步驟驟 （1）建立適當(dāng)坐標(biāo)系，用（x,y)表示曲線上任一點(diǎn) P 的坐標(biāo)； （2）寫出適合條件 M 的點(diǎn) P 的集合（3）用坐標(biāo)表示條件 M（P） ，列出方程；f（x,y)=0（4）化方程 f（x,y)=0 為最簡形式（5）證明化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn) 方方程程與與曲曲線

26、線 充充分分 條條件件 必必要要條條件件 充充要要條條件件 2.5.2 直線直線直線與 x 軸垂直不能用 直線與 x 軸垂直不能用 直線與坐標(biāo)軸垂直不能用 直線與坐標(biāo)軸垂直或過原點(diǎn)不能用 直直線線的的方方程程A、B 不全為零 點(diǎn)點(diǎn)到到直直線線的的距距離離 平平 行行 重重 合合 垂垂 直直 兩兩條條直直線線的的關(guān)關(guān)系系及及條條件件 直直線線 斜斜交交二二直直線線的的夾夾角角 直直線線系系 2.5.32.5.3 圓圓定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做圓，定點(diǎn)是圓心，定長是半徑。 標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程 一般方程一般方程 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系

27、圓與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系圓圓 2.5.42.5.4 橢圓橢圓定義：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn) F1,F2 的距離之和等于一個(gè)常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做焦點(diǎn)，兩定點(diǎn)間的距離叫做焦距。 標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程 圖圖 象象焦焦 點(diǎn)點(diǎn)F1（-c,0） F2（c,0）F1（0,-c） F2（0,-c）焦焦 距距 范圍范圍 橢橢 圓圓 幾何性質(zhì)幾何性質(zhì)對稱性對稱性 坐標(biāo)軸是橢圓的對稱由，原點(diǎn)是橢圓的對稱中心。橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心。坐標(biāo)軸是橢圓的對稱由，原點(diǎn)是橢圓的對稱中心。橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心。 頂點(diǎn)頂點(diǎn) 離心率離心率 2.5.52.5.5 雙曲線雙曲線定義：平面內(nèi)

28、到兩個(gè)定點(diǎn) F1,F2 的距離之差的絕對值是常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做焦點(diǎn)，兩定點(diǎn)間的距離叫做焦距。 標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程 圖圖 象象焦焦 點(diǎn)點(diǎn)F1（-c,0） F2（c,0）F1（0,-c） F2（0,-c）焦焦 距距 范圍范圍 對稱性對稱性 坐標(biāo)軸是橢圓的對稱由，原點(diǎn)是橢圓的對稱中心。橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心。 頂點(diǎn)頂點(diǎn) 漸近線漸近線 雙雙曲曲線線 幾何性質(zhì)幾何性質(zhì)離心率離心率 2.5 拋物線拋物線定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn) F 和一條定直線 L 距離相等的的軌跡叫做拋物線，點(diǎn) F 叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線 L 叫做拋物線的準(zhǔn)線。 標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程 拋拋物物線線

29、 焦焦 點(diǎn)點(diǎn) 準(zhǔn)準(zhǔn) 線線 圖圖 象象 范范圍圍 對對稱稱性性 曲線關(guān)于 x 軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸。頂頂點(diǎn)點(diǎn) 坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0） 幾何性幾何性質(zhì)質(zhì)離離心心率率 e=1 2.62.6 向量部分向量部分2.6.1 空間向量空間向量空間向量的概念空間向量的概念 在空間內(nèi)具有大小和方向的量叫做和向量 共線向量定理共線向量定理 共面向量定理共面向量定理 空間向量基本定理空間向量基本定理 兩個(gè)向量的數(shù)量積兩個(gè)向量的數(shù)量積 空間向量的數(shù)量積空間向量的數(shù)量積的性質(zhì)的性質(zhì) 空間向量的坐標(biāo)運(yùn)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算算 兩向量的夾角兩向量的夾角 2.6.2 平面向量平面向量平面向量的概念平面向量的概念

30、 在平面內(nèi)具有大小和方向的量叫做和向量 運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算性質(zhì) 實(shí)數(shù)與向量的積實(shí)數(shù)與向量的積 運(yùn)算律運(yùn)算律 平面向量基本定量平面向量基本定量 向量平行向量平行 向量垂直向量垂直 定比分點(diǎn)公式定比分點(diǎn)公式 三、常用公式三、常用公式3.13.1 常用公式常用公式公式分類公式表達(dá)式公式表達(dá)式乘法與因式分解a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)三角不等式|a+b|a|+|b|a-b|a|+|b|a|b-bab|a-b|a|-|b|-|a|a|a|一元二次方程的解-b+(b2-4ac)/2a-b-b+(b2-4ac)/2a根與系數(shù)的

31、關(guān)系X1+X2=-b/aX1*X2=c/a注：韋達(dá)定理判別式b2-4a=0注：方程有相等的兩實(shí)根b2-4ac0注：方程有一個(gè)實(shí)根b2-4ac0拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py直棱柱側(cè)面積S=c*h斜棱柱側(cè)面積S=c*h正棱錐側(cè)面積S=1/2c*h正棱臺側(cè)面積S=1/2(c+c)h圓臺側(cè)面積S=1/2(c+c)l=pi(R+r)l球的表面積S=4pi*r2圓柱側(cè)面積S=c*h=2pi*h圓錐側(cè)面積S=1/2*c*l=pi*r*l弧長公式l=a*ra 是圓心角的弧度數(shù) r 0扇形面積公式s=1/2*l*r錐體體積公式V=1/3*S*H圓錐體體積公式V=1/3*pi

32、*r2h斜棱柱體積V=SL注：其中,S是直截面面積， L 是側(cè)棱長柱體體積公式V=s*h圓柱體V=pi*r2h3.23.2 幾何圖形及計(jì)算公式幾何圖形及計(jì)算公式平面圖形平面圖形名稱符號周長 C 和面積 S正方形a邊長C4aSa2長方形a 和 b邊長C2(a+b)Sab三角形a,b,c三邊長Sah/2ha 邊上的高 ab/2sinCs周長的一半 s(s-a)(s-b)(s-c)1/2A,B,C內(nèi)角 a2sinBsinC/(2sinA)其中 s(a+b+c)/2四邊形d,D對角線長SdD/2sin對角線夾角平行四邊形a,b邊長Sahha 邊的高 absin兩邊夾角菱形a邊長SDd/2夾角 a2si

33、nD長對角線長d短對角線長梯形a 和 b上、下底長S(a+b)h/2h高 mhm中位線長圓r半徑Cd2rd直徑Sr2 d2/4扇形r扇形半徑C2r2r(a/360)a圓心角度數(shù)Sr2(a/360)弓形l弧長Sr2/2(/180-sin)b弦長 r2arccos(r-h)/r - (r-h)(2rh-h2)1/2h矢高 r2/360 - b/2r2-(b/2)21/2r半徑 r(l-b)/2 + bh/2圓心角的度數(shù) 2bh/3圓環(huán)R外圓半徑S(R2-r2)r內(nèi)圓半徑 (D2-d2)/4D外圓直徑d內(nèi)圓直徑橢圓D長軸SDd/4d短軸立方圖形立方圖形名稱符號面積 S 和體積 V正方體a邊長S6a2

34、Va3長方體a長S2(ab+ac+bc)b寬Vabcc高棱柱S底面積VShh高棱錐S底面積VSh/3h高棱臺S1 和 S2上、下底面積VhS1+S2+(S1S1)1/2/3h高擬柱體S1上底面積Vh(S1+S2+4S0)/6S2下底面積S0中截面積h高圓柱r底半徑C2rh高S 底r2C底面周長S 側(cè)ChS 底底面積S 表Ch+2S 底S 側(cè)側(cè)面積VS 底 hS 表表面積 r2h空心圓柱R外圓半徑Vh(R2-r2)r內(nèi)圓半徑h高直圓錐r底半徑Vr2h/3h高圓臺r上底半徑Vh(R2Rrr2)/3R下底半徑h高球r半徑V4/3r3d2/6d直徑球缺h球缺高Vh(3a2+h2)/6r球半徑 h2(3

35、r-h)/3a球缺底半徑a2h(2r-h)球臺r1 和 r2球臺上、下底半徑Vh3(r12r22)+h2/6h高圓環(huán)體R環(huán)體半徑V22Rr2D環(huán)體直徑 2Dd2/4r環(huán)體截面半徑d環(huán)體截面直徑桶狀體D桶腹直徑Vh(2D2d2)/12d桶底直徑(母線是圓弧形,圓心是桶的中心)h桶高Vh(2D2Dd3d2/4)/15(母線是拋物線形)四、坐標(biāo)幾何和二維、三維圖形四、坐標(biāo)幾何和二維、三維圖形4.14.1 坐標(biāo)幾何坐標(biāo)幾何 一對垂直相交于平面的軸線，可以讓平面上的任意一點(diǎn)用一組實(shí)數(shù)來表示。軸線的交點(diǎn)是 (0, 0)，稱為原點(diǎn)。水平與垂直方向的位置，分別用 x 與 y 代表。 一條直線可以用方程式 ym

36、xc 來表示，m 是直線的斜率（gradient） 。這條直線與 y軸相交于 (0, c)，與 x 軸則相交于(c/m, 0)。垂直線的方程式則是 xk，x 為定值。 通過(x0, y0)這一點(diǎn)，且斜率為 n 的直線是 yy0n(xx0) 一條直線若垂直于斜率為 n 的直線，則其斜率為1/n。通過(x1, y1)與(x2, y2)兩點(diǎn)的直線是 y(y2y1x2x1)(xx2)y2（ x1x2 ）若兩直線的斜率分別為 m 與 n，則它們的夾角 滿足于 tanmn1mn 半徑為 r、圓心在(a, b)的圓，以(xa) 2(yb) 2r2表示。 三維空間里的坐標(biāo)與二維空間類似，只是多加一個(gè) z 軸而已，例如半徑為 r、中心位置在(a, b, c)的球，以(xa) 2(yb) 2(zc) 2r2表示。三維空間平面的一般式為 axbyczd。 三角學(xué)三角學(xué) 邊長為 a、b、c 的直角三角形，其中一個(gè)夾角為 。它的六個(gè)三角函數(shù)分別為：正弦（sine） 、余弦（cosine） 、