1空間直角坐標(biāo)系

1、 高考數(shù)學(xué)母題規(guī)劃,助你考入清華北大！楊培明(電話數(shù)學(xué)叢書,給您一個(gè)智慧的人生！高考數(shù)學(xué)母題 母題(14-01):空間直角坐標(biāo)系(315) 785 空間直角坐標(biāo)系 母題(14-01):(2009年安徽高考試題)在空間直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(1,0,2),B(1,-3,1),點(diǎn)M在y軸上,且M到A與到B的距離相等,則M的坐標(biāo)是 .解析:設(shè)M(0,y,0),由|MA|=|MB|MA|2=|MB|2(0-1)2+(y-0)2+(0-2)2=(0-1)2+(y+3)2+(0-1)2y=-1M(0,-1,0).點(diǎn)評(píng):學(xué)習(xí)、理解、掌握空間直角坐標(biāo)系最有效的途徑是與平面直角坐標(biāo)系類

2、比:項(xiàng)目平面解析幾何空間解析幾何坐標(biāo)系有相同的單位長(zhǎng)度和公共原點(diǎn),且相互垂直的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系.有相同的單位長(zhǎng)度和公共原點(diǎn),且兩兩相互垂直的三條數(shù)軸構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系.基本圖y P(x,y) O xz P(x,y,z) O yx點(diǎn)坐標(biāo)P(x,y)P(x,y,z)兩點(diǎn)距離公式如果P(x1,y1),Q(x2,y2),則|PQ|=如果P(x1,y1,z1),Q(x2,y2,z2),則|PQ|=中點(diǎn)公式如果A(x1,y1),B(x2,y2),則AB的中點(diǎn)P(,).如果A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則AB的中點(diǎn)P(,).基本圖的方程1.直線的截距式方程:如果直線l在x、y軸上

3、的截距分別為a、b(ab0),則直線l的方程為:=1;2.直線的一般式方程:ax+by+c=0.3.圓的方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),其中,圓心M(a,b),r為半徑.1.平面的截距式方程:如果平面在x、y、z軸上的截距分別為a、b、c(abc0)則平面的方程為:+=1;2.平面的一般式方程:ax+by+cz+f=0.3.球的方程:(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2(R0),其中,球心M(a,b,c),R半徑.法向量直線ax+by+c=0的法向量m=(a,b).平面ax+by+cz+f=0的法向量m=(a,b,c).平行判定如果直線l1:a1x+b1y+c1=0與

4、l2:a2x+b2y+c2=0,則l1l2a1:a2=b1:b2c1:c2.如果平面:a1x+b1y+c1z+f1=0=0與:a2x+b2y+c2z+f2=0,則a1:a2=b1:b2=c1:c2f1:f2.垂直判定如果直線l1:a1x+b1y+c1=0與l2:a2x+b2y+c2=0,則l1l2a1a2+b1b2=0.如果平面:a1x+b1y+c1z+f1=0=0與:a2x+b2y+c2z+f2=0,則a1a2+b1b2+c1c2=0.夾角公式如果直線l1:a1x+b1y+c1=0與l2:a2x+b2y+c2=0,則l1與l2的夾角滿足:cos=.如果平面:a1x+b1y+c1z+f1=0=

5、0與:a2x+b2y+c2z+f2=0,則與的夾角滿足:cos=.點(diǎn)線(面)距離點(diǎn)P(x0,y0)到直線ax+by+c=0的距離d=.點(diǎn)P(x0,y0,z0)到平面ax+by+cz+f=0的距離d=. 786 母題(14-01):空間直角坐標(biāo)系(315) 子題(1):(2014年北京高考試題)在空間坐標(biāo)系O-xyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,),若S1,S2,S3分別表示三棱錐D-ABC在xOy,yOz,zOx坐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積,則( )(A)S1=S2=S3 (B)S1=S2且S3S1 (C)S1=S3且S3S2 (D)S2=S3且S1

6、S3解析:在空間坐標(biāo)系O-xyz中,標(biāo)出點(diǎn)A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,),如圖所示,由圖知,三棱錐D-ABC在xOy平面上的正投影為ABCS1=2;三棱錐D-ABC在yOz平面上的正投影為OCD1,其中D1(0,1,)S2=;三棱錐D-ABC在zOx平面上的正投影為OAD2,其中D2(1,0,)S3=S2=S3.故選(D). 注:與平面直角坐標(biāo)系類似,對(duì)空間直角坐標(biāo)系的基本要求是掌握有序數(shù)組(x,y,z)與空間內(nèi)點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,即一方面,由點(diǎn)的坐標(biāo)確定點(diǎn)的位置,另一方面,由點(diǎn)的位置求點(diǎn)的坐標(biāo). 子題(2):(2010年全國(guó)高考試題)與正方體ABCD-A1

7、B1C1D1的三條棱AB、CC1、A1D1所在直線的距離相等的點(diǎn)( )(A)有且只有1個(gè) (B)有且只有2個(gè) (C)有且只有3個(gè) (D)有無(wú)數(shù)個(gè)解析:分別以DA、DC、DD1所在直線為x、y、z軸,建立 z空間直角坐標(biāo)系如圖: D1 C1不妨設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,P(x,y,z)到三條棱 A1 B1AB、CC1、A1D1所在直線的距離相等,則P(x,y,z)到三條棱 D C yAB、CC1、A1D1所在直線的距離分別為d1=,d2= x,d3=,由題知,d1=d2=d3=x=y=z,故點(diǎn)P有無(wú)數(shù)個(gè),且點(diǎn)P在正方體ABCD-A1B1C1D1的體的對(duì)角線DB1上.故選(D)

8、. 注:空間直角坐標(biāo)系的建立,為我們研究立體幾何問題提供了一個(gè)程序化的通法,即解析法,解析法的程序是:一建立空間直角坐標(biāo)系;二求或設(shè)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo); 三利用有關(guān)公式解決問題. 子題(3):(2013年湖南高考試題)已知a,b,cR,a+2b+3c=6,則a2+4b2+9c2的最小值為 .解析:設(shè)a=x,2b=y,3c=z,則x+y+z=6,表示空間直角坐標(biāo)系中一平面坐標(biāo)原點(diǎn)到平面的距離d=2,在平面上任取一點(diǎn)P(x,y,z),則a2+4b2+9c2=x2+y2+z2=|OP|2;由|OP|d|OP|2d2=12a2+4b2+9c2的最小值=12. 注:空間直角坐標(biāo)系的建立,還為我們提供了更廣泛

9、的數(shù)形轉(zhuǎn)換的空間,如ax+by+cz=d可視為空間內(nèi)的平面,(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2可視為空間內(nèi)的點(diǎn)P(x,y,z)與點(diǎn)A(x0,y0,z0)的距離的平方. 子題系列:1.(原創(chuàng)題)己知點(diǎn)A(1,0,1),B(0,1,1),點(diǎn)P在平面xOy內(nèi),若ABP是正三角形,則點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)無(wú)數(shù)個(gè)2.(原創(chuàng)題)在空間直角坐標(biāo)系中,已知平行四邊形ABCD的其中三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(1,1,0),(0,1,1),(0,0,1),則第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)可能是:(1,0,0);(1,2,0);(2,0,0);(0,2,0);(-1,0,2).其中正確的序號(hào)

10、是 (填上所有你認(rèn)為正確的序號(hào)).3.(2013年課標(biāo)高考試題)一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)分別是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),畫該四面體三視圖中的正視圖時(shí),以zOx平面為投影面,則得到的正視圖可以為( ) 母題(14-01):空間直角坐標(biāo)系(315) 787 4.(2014年湖北高考試題)在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系o-xyz中,一個(gè)四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).給出編號(hào)為、的四個(gè)圖,則該四面體的正視圖和俯視圖分別為( )(A)和 (B)和 (C)和 (D)和5.(2012年江西高考試

11、題)從A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,1,0),B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)這6個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn).()求這3個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)O恰好是正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)的概率;()求這3個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)O共面的概率.6.(2004年北京高考試題)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P是側(cè)面BB1C1C內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),若P到直線BC的距離與到直線C1D1的距離相等,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所在的曲線是( )(A)直線 (B)圓 (C)雙曲線 (D)拋物線7.(2010年重慶高考試題)到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點(diǎn),在過其中一條直線且平行于另一條直線的平面內(nèi)的軌跡是( )(A)直線

12、(B)橢圓 (C)拋物線 (D)雙曲線8.(2009年湖南高考試題)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱上到異面直線AB,CC1的距離相等的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)59.(原創(chuàng)題)若實(shí)數(shù)x、y、z滿足:x2+y2+z2=1,則(x-1)2+(y+2)2+(z-2)2的最大值為 .10.(原創(chuàng)題)若實(shí)數(shù)x、y、z滿足:x2+y2+z2=1,則x-2y+2z的取值范圍是 .11.(2008年同濟(jì)大學(xué)保送生考試數(shù)學(xué)試題)解方程組:.12.(2013年湖北高考試題)設(shè)x,y,zR,且滿足:x2+y2+z2=1,x+2y+3z=,則x+y+z= .13.(1992年“友誼杯”

13、國(guó)際數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽九年級(jí)試題)設(shè)a、b、c、x、y、zR,a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30,則= .14.(2012年湖北高考試題)設(shè)a,b,c,x,y,z是正數(shù),且a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,ax+by+cz=20,則=( )(A) (B) (C) (D) 子題詳解:1.解:由A(1,0,1),B(0,1,1)|AB|=,點(diǎn)P在平面xOy內(nèi),可設(shè)P(x,y,0),由,或點(diǎn)P(0,0,0),或P(1,1,0).或作圖,把A、B兩點(diǎn)視為一個(gè)正方體的兩頂點(diǎn),易知點(diǎn)P有2個(gè).故選(C).2.解:若A(1,1,0),B(0,1,1),C(0,0,1

14、),由AC與BD的中點(diǎn)重合D(1,0,0);若A(1,1,0),B(0,0,1),C(0,1,1),由AC與BD的中點(diǎn)重合D(1,2,0);若A(0,1,1),B(1,1,0),C(0,0,1),由AC與BD的中點(diǎn)重合D(-1,0,2);若A(0,0,1),B(0,1,1),C(1,1,0),由AC與BD的中點(diǎn)重合D(1,0,0).故選.3.解:設(shè)O(0,0,0),A(0,1,1),B(1,1,0),C(1,0,1),在空間直角坐標(biāo)系中, 788 母題(14-01):空間直角坐標(biāo)系(315) 先畫出四面體O-ABC的直觀圖,以zOx平面為投影面,則得到正視圖,故選(A).4.解:在坐標(biāo)系中標(biāo)出

15、已知的四個(gè)點(diǎn),根據(jù)三視圖的畫圖規(guī)則判斷三棱錐的正視圖為與俯視圖為.故選(D).5.解:()從6個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)有C63=20總的結(jié)果數(shù)為20種,其中滿足條件的有A1B1C1,A2B2C2滿足條件的種數(shù)為2種概率=0.1;()滿足條件的情況為A1A2B1,A1A2B2,A1A2C1,A1A2C2,B1B2A1,B1B2A2,B1B2C1,B1B2C2,C1C2A1,C1C2A2,C1C2B1,C1C2B2,計(jì)12種概率=0.6.6.解:分別以CB,CC1,CD所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)P(x,y,0),則P到直線BC的距離=|y|,P到直線C1D1的距離=P到點(diǎn)C1(0,

16、1,0)的距離=,由|y|=2y=x2+1.故選(D).7.解:在正方體ABCD-A1B1C1D1中,分別以CB,CC1,CD所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)兩互相垂直的異面直線分別為x軸,DD1,則在xOy平面內(nèi)的點(diǎn)P(x,y,0)到x軸的距離=|y|,P到直線DD1的距離=,由|y|=x2-y2=1.故選(D).8.解:分別以DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則BC的中點(diǎn),D點(diǎn),B1點(diǎn),DD1的中點(diǎn),計(jì)4個(gè)點(diǎn).故選(C).9.解:設(shè)球O:x2+y2+z2=1,A(1,-2,2),P(x,y,z),則(x-1)2+(y+2)2+(z-2)2=|AP|

17、21+|OA|2=16.10.解:設(shè)球O:x2+y2+z2=1,平面:x-2y+2z=a,則球心O到平面的距離d=r=1|a|3x-2y+2z的取值范圍是-3,3.11.解:設(shè)球O:x2+y2+z2=,則球O的的球心O(0,0,0),半徑R=,球心O到平面:-8x+6y-24z=39的距離d=R球O與平面相切,設(shè)切點(diǎn)P(x,y,z),由平行于平面的法向量m=(-8,6,-24)得x=-,y=,z=-.12.解:設(shè)球O:x2+y2+z2=1,則球O的的球心O(0,0,0),半徑r=1,球心O到平面:x+2y+3z=的距離d=1=r球O與平面相切,設(shè)切點(diǎn)P(x,y,x),由平行于平面的法向量m=(1,2,3)x:y:z=1:2:3,代入x+2y+3z=得x=,y=,z=x+y+z=.13.解:設(shè)球O:x2+y2+z2=36,則球O的球心O(0,0,0),半徑r=6,球心O到平面:ax+by+cz=30的距離d=6=r球O與平面相切,設(shè)切點(diǎn)P(x,y,x),由平行于平