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文檔簡(jiǎn)介

1、三角形幾何A級(jí)概念:(要求深刻理解、熟練運(yùn)用、主要用于幾何證明)1三角形的角平分線定義:三角形的一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交,這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線.(如圖)幾何表達(dá)式舉例:(1) AD平分BACBAD=CAD(2) BAD=CADAD是角平分線2三角形的中線定義:在三角形中,連結(jié)一個(gè)頂點(diǎn)和它的對(duì)邊的中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線.(如圖)幾何表達(dá)式舉例:(1) AD是三角形的中線 BD = CD (2) BD = CDAD是三角形的中線3三角形的高線定義:從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊畫垂線,頂點(diǎn)和垂足間的線段叫做三角形的高線.(如圖)幾何表達(dá)式舉例:(1) AD是A

2、BC的高ADB=90°(2) ADB=90°AD是ABC的高4三角形的三邊關(guān)系定理:三角形的兩邊之和大于第三邊,三角形的兩邊之差小于第三邊.(如圖)幾何表達(dá)式舉例:(1) AB+BCAC(2) AB-BCAC5等腰三角形的定義:有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形. (如圖)幾何表達(dá)式舉例:(1) ABC是等腰三角形 AB = AC (2) AB = AC ABC是等腰三角形6等邊三角形的定義:有三條邊相等的三角形叫做等邊三角形. (如圖)幾何表達(dá)式舉例:(1)ABC是等邊三角形AB=BC=AC(2) AB=BC=ACABC是等邊三角形7三角形的內(nèi)角和定理及推論:(1)三角形

3、的內(nèi)角和180°;(如圖)(2)直角三角形的兩個(gè)銳角互余;(如圖)(3)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和;(如圖)(4)三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.(1) (2) (3)(4)幾何表達(dá)式舉例:(1) A+B+C=180°(2) C=90°A+B=90°(3) ACD=A+B(4) ACD A8直角三角形的定義:有一個(gè)角是直角的三角形叫直角三角形.(如圖)幾何表達(dá)式舉例:(1) C=90°ABC是直角三角形(2) ABC是直角三角形C=90°9等腰直角三角形的定義:兩條直角邊相等的直角三角形叫等腰直角三角形

4、.(如圖)幾何表達(dá)式舉例:(1) C=90° CA=CBABC是等腰直角三角形(2) ABC是等腰直角三角形C=90° CA=CB10全等三角形的性質(zhì):(1)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等;(如圖)(2)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.(如圖)幾何表達(dá)式舉例:(1) ABCEFG AB = EF (2) ABCEFGA=E 11全等三角形的判定:“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”“HL”. (如圖) (1)(2) (3)幾何表達(dá)式舉例:(1) AB = EF B=F又 BC = FGABCEFG(2) (3)在RtABC和RtEFG中 AB=EF又 AC = EGRtABCRtEFG

5、12角平分線的性質(zhì)定理及逆定理:(1)在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等;(如圖)(2)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線上.(如圖)幾何表達(dá)式舉例:(1)OC平分AOB又CDOA CEOB CD = CE (2) CDOA CEOB又CD = CEOC是角平分線13線段垂直平分線的定義:垂直于一條線段且平分這條線段的直線,叫做這條線段的垂直平分線.(如圖)幾何表達(dá)式舉例:(1) EF垂直平分ABEFAB OA=OB(2) EFAB OA=OBEF是AB的垂直平分線14線段垂直平分線的性質(zhì)定理及逆定理:(1)線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等;(如圖)(2)和一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的

6、距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上.(如圖)幾何表達(dá)式舉例:(1) MN是線段AB的垂直平分線 PA = PB (2) PA = PB點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上15等腰三角形的性質(zhì)定理及推論:(1)等腰三角形的兩個(gè)底角相等;(即等邊對(duì)等角)(如圖)(2)等腰三角形的“頂角平分線、底邊中線、底邊上的高”三線合一;(如圖)(3)等邊三角形的各角都相等,并且都是60°.(如圖) (1) (2) (3)幾何表達(dá)式舉例:(1) AB = ACB=C (2) AB = AC又BAD=CADBD = CDADBC(3) ABC是等邊三角形 A=B=C =60°16等腰三角形的判定定

7、理及推論:(1)如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角都相等,那么這兩個(gè)角所對(duì)邊也相等;(即等角對(duì)等邊)(如圖)(2)三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形;(如圖)(3)有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形;(如圖)(4)在直角三角形中,如果有一個(gè)角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊是斜邊的一半.(如圖)(1)(2)(3)(4)幾何表達(dá)式舉例:(1) B=C AB = AC (2) A=B=CABC是等邊三角形(3) A=60°又AB = ACABC是等邊三角形(4) C=90°B=30° AC =AB17關(guān)于軸對(duì)稱的定理(1)關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形

8、;(如圖)(2)如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱,那么對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線.(如圖)幾何表達(dá)式舉例:(1) ABC、EGF關(guān)于MN軸對(duì)稱ABCEGF(2) ABC、EGF關(guān)于MN軸對(duì)稱OA=OE MNAE18勾股定理及逆定理:(1)直角三角形的兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即a2+b2=c2;(如圖)(2)如果三角形的三邊長(zhǎng)有下面關(guān)系: a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形.(如圖)幾何表達(dá)式舉例:(1) ABC是直角三角形a2+b2=c2(2) a2+b2=c2ABC是直角三角形19Rt斜邊中線定理及逆定理:(1)直角三角形中,斜邊上的中線是斜邊的一半;(如圖)(2)

9、如果三角形一邊上的中線是這邊的一半,那么這個(gè)三角形是直角三角形.(如圖)幾何表達(dá)式舉例:ABC是直角三角形D是AB的中點(diǎn)CD = AB(2) CD=AD=BDABC是直角三角形幾何B級(jí)概念:(要求理解、會(huì)講、會(huì)用,主要用于填空和選擇題)一 基本概念:三角形、不等邊三角形、銳角三角形、鈍角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分線的集合定義、原命題、逆命題、逆定理、尺規(guī)作圖、輔助線、線段垂直平分線的集合定義、軸對(duì)稱的定義、軸對(duì)稱圖形的定義、勾股數(shù).二 常識(shí):1三角形中,第三邊長(zhǎng)的判斷: 另兩邊之差第三邊另兩邊之和.2三角形中,有三條角平分線、三條中線、三條高線,它們都分別交于一點(diǎn),其中前兩個(gè)交點(diǎn)

10、都在三角形內(nèi),而第三個(gè)交點(diǎn)可在三角形內(nèi),三角形上,三角形外.注意:三角形的角平分線、中線、高線都是線段.3如圖,三角形中,有一個(gè)重要的面積等式,即:若CDAB,BECA,則CD·AB=BE·CA.4三角形能否成立的條件是:最長(zhǎng)邊另兩邊之和.5直角三角形能否成立的條件是:最長(zhǎng)邊的平方等于另兩邊的平方和. 6分別含30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形.7如圖,雙垂圖形中,有兩個(gè)重要的性質(zhì),即:(1) AC·CB=CD·AB ; (2)1=B ,2=A .8三角形中,最多有一個(gè)內(nèi)角是鈍角,但最少有兩個(gè)外角是鈍角.9

11、全等三角形中,重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn),對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角,對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊.10等邊三角形是特殊的等腰三角形.11幾何習(xí)題中,“文字?jǐn)⑹鲱}”需要自己畫圖,寫已知、求證、證明.12符合“AAA”“SSA”條件的三角形不能判定全等.13幾何習(xí)題經(jīng)常用四種方法進(jìn)行分析:(1)分析綜合法;(2)方程分析法;(3)代入分析法;(4)圖形觀察法.14幾何基本作圖分為:(1)作線段等于已知線段;(2)作角等于已知角;(3)作已知角的平分線;(4)過(guò)已知點(diǎn)作已知直線的垂線;(5)作線段的中垂線;(6)過(guò)已知點(diǎn)作已知直線的平行線.15會(huì)用尺規(guī)完成“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”、

12、“等腰三角形”、“等邊三角形”、“等腰直角三角形”的作圖.16作圖題在分析過(guò)程中,首先要畫出草圖并標(biāo)出字母,然后確定先畫什么,后畫什么;注意:每步作圖都應(yīng)該是幾何基本作圖.17幾何畫圖的類型:(1)估畫圖;(2)工具畫圖;(3)尺規(guī)畫圖.18幾何重要圖形和輔助線:(1)選取和作輔助線的原則: 構(gòu)造特殊圖形,使可用的定理增加; 一舉多得; 聚合題目中的分散條件,轉(zhuǎn)移線段,轉(zhuǎn)移角; 作輔助線必須符合幾何基本作圖.(2)已知角平分線.(若BD是角平分線) 在BA上截取BE=BC構(gòu)造全等,轉(zhuǎn)移線段和角; 過(guò)D點(diǎn)作DEBC交AB于E,構(gòu)造等腰三角形 .(3)已知三角形中線(若AD是BC的中線) 過(guò)D點(diǎn)作DEAC交AB于E,構(gòu)造中位線 ; 延長(zhǎng)AD到E,使DE=AD 連結(jié)CE構(gòu)造全等,轉(zhuǎn)移線段和角; AD是中線 SABD= SADC(等底等高的三角形等面積) (4) 已知等腰三角形ABC中,AB=AC 作等腰三角形ABC底邊的中線AD(頂角

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