matlab-拉普拉斯變換

1、精品文檔實(shí)驗(yàn)六拉普拉斯變換及其逆變換一、 目的(1) 掌握連續(xù)系統(tǒng)及信號拉普拉斯變換概念(2) 掌握利用 MATLAB 制系統(tǒng)零極點(diǎn)圖的方法(3) 掌握利用 MATLAB 解拉普拉斯逆變換的方法二、 拉普拉斯變換曲面圖的繪制連續(xù)時(shí)間信號f(t)的拉普拉斯變換定義為：F(s) 0 f(t)e stdt( 6-1)其中 s j ，若以 為橫坐標(biāo) ( 實(shí)軸 ) ，j 為縱坐標(biāo) ( 虛軸 ) ，復(fù)變量 s 就構(gòu)成了一 個(gè)復(fù)平面，稱為 s 平面。顯然， F(s) 是復(fù)變量 s 的復(fù)函數(shù)，為了便于理解和分析F(s) 隨 s 的變化規(guī)律，可以 將F(s) 寫成：F(s) |F(s)e j (s)( 6-2)

2、其中， F(s) 稱為復(fù)信號 F(s) 的模，而 ( s)則為 F(s) 的幅角。從三維幾何空間的角度來看，F(xiàn)(s) 和( s)對應(yīng)著復(fù)平面上的兩個(gè)平面，如果能繪出它們的三維曲面圖，就可以直觀地分析連續(xù)信號的拉普拉斯變換F(s) 隨復(fù)變量 s 的變化規(guī)律。上述過程可以利用 MATLAB 勺三維繪圖功能實(shí)現(xiàn)?，F(xiàn)在考慮如何利用MATLAB 繪制 s平面的有限區(qū)域上連續(xù)信號 f(t)的拉普拉斯變換 F(s) 的曲面圖，現(xiàn)以簡單的階躍信號u(t) 為例說明實(shí)現(xiàn)過程。我們知道，對于階躍信號f(t) u(t) ，其拉普拉斯變換為F(s)- 。首先，利用兩s 個(gè)向量來確定繪制曲面圖的 s 平面的橫、縱坐標(biāo)的

3、范圍。例如可定義繪制曲面圖的橫坐 標(biāo)范圍向量 x1 和縱坐標(biāo)范圍向量 y1 分別為：x1=-0.2:0.03:0.2;y1=-0.2:0.03:0.2;然后再調(diào)用 meshgrid() 函數(shù)產(chǎn)生矩陣 s，并用該矩陣來表示繪制曲面圖的復(fù)平面區(qū) 域，對應(yīng)的 MATLA 命令如下：x,y=meshgrid(x1,y1); s=x+i*y;上述命令產(chǎn)生的矩陣s 包含了復(fù)平面0.20.2 ，0.2 j 0.2 范圍內(nèi)以時(shí)間間隔 0.03 取樣的所有樣點(diǎn)。最后再計(jì)算出信號拉普拉斯變換在復(fù)平面的這些樣點(diǎn)上的值，即可用函數(shù)mesh()繪出其曲面圖，對應(yīng)命令為：fs=abs(1./s); mesh(x,y,fs

4、); surf(x,y,fs);title(單位階躍信號拉氏變換曲面圖);colormap(hsv);axis(-0.2,0.2,-0.2,0.2,0.2,60);rotate3d;45歡迎下載精品文檔執(zhí)行上述命令后，繪制的單位階躍信號拉普拉斯變換曲面圖如圖6-1 所示單位階蹟信號拉氏變換 陽面圏-0.2 -0.2圖 6-1 階躍信號拉普拉斯變換曲面圖例 6-1 : 已知連續(xù)時(shí)間信號f(t) sin(t)u(t) ，求出該信號的拉普拉斯變換，并利用MATLAB 繪制拉普拉斯變換的曲面圖。解：該信號的拉普拉斯變換為：1F(s)s21利用上面介紹的方法來繪制單邊正弦信號拉普拉斯變換的曲面圖，實(shí)現(xiàn)過

5、程如下 : %繪制單邊正弦信號拉普拉斯變換曲面圖程序單邊正弦信號拉氐變換曲面圖圖 6-2 單邊正弦信號拉氏變換曲面圖46歡迎下載精品文檔elf;a=-0.5:0.08:0.5; b=-1.99:0.08:1.99;a,b=meshgrid(a,b);d=on es(size(a);e=a+i*b;%t 定繪制曲面圖的復(fù)平面區(qū)域c=c.*c;e=e+d;c=1./c;c=abs(c);%計(jì)算拉普拉斯變換的樣值mesh(a,b,c);%令制曲面圖surf(a,b,c); axis(-0.5,0.5,-2,2,0,15);title(單邊正弦信號拉氏變換曲面圖);colormap(hsv);上述程序

6、運(yùn)行結(jié)果如圖6-2 所示。二、由拉普拉斯曲面圖觀察頻域與復(fù)頻域的關(guān)系如果信號 f(t)的拉普拉斯變換F(s) 的極點(diǎn)均位于s 平面左半平面，則信號f(t)的傅立葉變換 F( j ) 與 F(s) 存在如下關(guān)系：F(j ) F(s) Sj( 6-3)即在信號的拉普拉斯變換 F(s) 中令0，就可得到信號的傅立葉變換。從三維幾何空間角度來看，信號 f(t)的傅立葉變換 F(j ) 就是其拉普拉斯變換曲面圖中虛軸所對應(yīng)的曲線。可以通過將 F(s) 曲面圖在虛軸上進(jìn)行剖面來直觀的觀察信號拉普拉斯變換與其傅立葉變換的對應(yīng)關(guān)系。例 6-2 : 試?yán)?MATLAB 制信號 f(t) et sin(t)u(

7、t) 的拉普拉斯變換的曲面圖，觀察曲面圖在虛軸剖面上的曲線，并將其與信號傅立葉變換F(j ) 繪制的幅度頻譜相比較。解：根據(jù)拉普拉斯變換和傅立葉變換定義和性質(zhì)，可求得該信號的拉普拉斯變換和傅立葉變換如下：F(s)1F(j )1221(s 1)1(j 1)利用前面介紹的方法繪制拉普拉斯變換曲面圖為了更好地觀察曲面圖在虛軸剖面上的曲線，定義繪制曲面圖的S 平面實(shí)軸范圍從 0 開始，并用 view 函數(shù)來調(diào)整觀察視角。實(shí)現(xiàn)命令如下：clf;a=-0:0.1:5;b=-20:0.1:20;a,b=meshgrid(a,b);煩定繪圖區(qū)域c=a+i*b;c=1./(c+1).*(c+1)+1);燦算拉普

8、拉斯變換c=abs(c);煖制曲面圖mesh(a,b,c);47歡迎下載精品文檔surf(a,b,c);view(-60,20)%調(diào)整觀察視角axis(-0,5,-20,20,0,0.5);title(拉普拉斯變換 ( S 域像函數(shù) ) );colormap(hsv);上述程序繪制的拉普拉斯變換的曲面如圖6-3 所示。從該曲面圖可以明顯地觀察到F (s)在虛軸剖面上曲線變化情況。拉普拉斯變換域像函數(shù) )圖 6-3 指數(shù)衰減正弦信號拉氏變換曲面圖圖 6-4 指數(shù)衰減正弦信號傅氏變換曲幅頻圖48歡迎下載精品文檔利用 MATLAw=-20:0.1:20;繪制該信號的傅立葉變換幅頻曲線命令如下：%!定

9、頻率范圍Fw=1./(i*w+1).*(i*w+1)+1);plot(w,abs(Fw)%計(jì)算傅里葉變換煖制信號振幅頻譜曲線title( 傅里葉變換xlabel( 頻率 w)(振幅頻譜曲線) )運(yùn)行結(jié)果如圖6-4所示。通過圖6-3和圖6-4對比可直觀地觀察到拉普拉斯變換與傅立葉變換的對應(yīng)關(guān)系。三、拉普拉斯變換零極點(diǎn)分布對曲面圖的影響從單位階躍信號和單邊正弦信號的拉普拉斯變換曲面圖可以看出，曲面圖中均有突出的尖峰，仔細(xì)觀察便可得出，這些峰值點(diǎn)在S 平面的對應(yīng)點(diǎn)就是信號拉普拉斯變換的極點(diǎn)位置。我們再來看拉普拉斯變換零極點(diǎn)對曲面圖的影響，考慮如下信號：F(s) 2(s 3 )(S 3 )(s 5)(

10、s210)該信號的零點(diǎn)為乙制出的曲面圖如圖6-5,23，極點(diǎn)為所示。p,2j3.1623，P3 5。利用如下MATLA命令繪clf;a=-6:0.48:6;b=-6:0.48:6;a,b=meshgrid(a,b);c=a+i*b;d=2*(c-3).*(c+3);e=(c.*c+10).*(c-5);c=d./e;c=abs(c);mesh(a,b,c);surf(a,b,c);axis(-6,6,-6,6,0,4.5);title(拉普拉斯變換曲面圖 );colormap(hsv);view(-25,30)丨拉普拉斯孌換曲面圏精品文檔精品文檔從圖 6-5 可明顯看出，曲面在s j3.162

11、3 和 s 5 處有三個(gè)峰點(diǎn)，對應(yīng)著拉普拉斯變換的極點(diǎn)位置，而在s 3 處有兩個(gè)谷點(diǎn)，對應(yīng)著拉普拉斯變換的零點(diǎn)位置。因此,信號的拉普拉斯變換的零極點(diǎn)位置，決定了其拉氏變換曲面圖的峰點(diǎn)和谷點(diǎn)位置。四、連續(xù)系統(tǒng)零極點(diǎn)圖的繪制線性時(shí)不變系統(tǒng)可用如下所示的線性常系數(shù)微分方程來描述:NMay(i) (t) df (t)i 0j 0其中， y(t) 為系統(tǒng)輸出信號， f(t)為輸入信號。將上式兩邊進(jìn)行拉普拉斯變換，則該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為:Y(s)j 0bsjB(s)H(s)NiF(s)asA(s)將式 ( 6-5 ) 因式分解后有：M(s Z j) H(s) C#(s P i)i 0(6-4 )(6-5 )

12、(6-6 )其中 C 為常數(shù) Z j 為系統(tǒng)的零點(diǎn)， pi 為系統(tǒng)的極點(diǎn)?？梢?，若連續(xù)系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)已知，系統(tǒng)函數(shù)便可確定下來。即系統(tǒng)函數(shù)H(s) 的 零極點(diǎn)分布完全決定了系統(tǒng)的特性。因此，在連續(xù)系統(tǒng)的分析中，系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布具有非常重要的意義。通過對系統(tǒng)函數(shù)零極點(diǎn)的分析，我們可以分析連續(xù)系統(tǒng)以下幾方面的特性：系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t) 的時(shí)域特性；判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性；分析系統(tǒng)的頻率特性H(j ) ( 幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng) ) 。通過系統(tǒng)函數(shù)零極點(diǎn)分布來分析系統(tǒng)特性，首先就要求出系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)，然后繪制系統(tǒng)零極點(diǎn)圖。下面介紹如何利用MATLA 實(shí)現(xiàn)這一過程。設(shè)連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為：H(s) 購A

13、(s)則系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)位置可用 MATLAB 勺多項(xiàng)式求根函數(shù) roots() 來求得，調(diào)用函數(shù) roots() 的命令格式為：p=roots(A)50歡迎下載精品文檔其中 A 為待求根的關(guān)于 s 的多項(xiàng)式的系數(shù)構(gòu)成的行向量，返回向量 p 則是包含該多 項(xiàng)式所有根位置的列向量。如多項(xiàng)式為：2A(s) s 3s 4則求該多項(xiàng)式根的MATLAB 令為：A=1 3 4;p=roots(A)運(yùn)行結(jié)果為：P =-1.5000+ 1.3229i-1.5000- 1.3229i需要注意的是，系數(shù)向量A 的元素一定要由多項(xiàng)式最高次幕開始直到常熟項(xiàng)，缺項(xiàng)要用 0 補(bǔ)齊。如多項(xiàng)式為：A(s) s 6 3s 4

14、2s 2 s 4則表示該多項(xiàng)式的系數(shù)向量為：A=103021-4;用 roots() 函數(shù)求得系統(tǒng)函數(shù)H(s) 的零極點(diǎn)后，就可以繪制零極點(diǎn)圖，下面是求連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)零極點(diǎn)，并繪制其零極點(diǎn)圖的MATLA 實(shí)用函數(shù) sjdt()fun ctio n p,q=sjdt(A,B)%繪制連續(xù)系統(tǒng)零極點(diǎn)圖程序%人系統(tǒng)函數(shù)分母多項(xiàng)式系數(shù)向量 %B 系統(tǒng)函數(shù)分子多項(xiàng)式系數(shù)向量 %p: 函數(shù)返回的系統(tǒng)函數(shù)極點(diǎn)位置行向量 %q: 函數(shù)返回的系統(tǒng)函數(shù)零點(diǎn)位置行向量 p=roots(A);q=roots(B);p=p;q=q;x=max(abs(p q);x=x+0.1;y=x;clfhold onaxis(-

15、x x -y y);axis(square)plot(-x x,0 0) plot(0 0,-y y) plot(real(p),imag(p),x) plot(real(q),imag(q),o) title( 連續(xù)系統(tǒng)零極點(diǎn)圖 )text(0.2,x-0.2,虛軸 )text(y-0.2,0.2,實(shí)車由 )例 6-3 : 已知連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)如下，試用s24432%求系統(tǒng)極點(diǎn)%求系統(tǒng)零點(diǎn)%各極點(diǎn)列向量轉(zhuǎn)置為行向量 %各零點(diǎn)列向量轉(zhuǎn)置為行向量 %確定縱坐標(biāo)范圍%確定橫坐標(biāo)范圍%確定坐標(biāo)軸顯示范圍%畫橫坐標(biāo)軸%畫縱坐標(biāo)軸%畫極點(diǎn)%畫零點(diǎn)s 2s 3s 2s 1MATLAB 出系統(tǒng)零極點(diǎn)圖F(

16、s)51歡迎下載精品文檔解： MATLA 處理命令如下：a=1 2 -3 2 1;b=1 0 -4;sjdt(a,b)運(yùn)行結(jié)果如圖 6-6 所示五、拉普拉斯逆變換及MATLA 實(shí)現(xiàn)連續(xù)信號 f(t)的拉普拉斯變換具有如下一般形式：KF(s) 少 D (s)di si 1若 K L，則 F(s) 可以分解為有理多項(xiàng)式與真分式之和，即Mbjsjj 1F(s) P(s) R(s) P(s) 鬻P(s) Nii 1as其中， P(s) 是關(guān)于 s 的多項(xiàng)式，其逆變換可直接求得關(guān) ( 沖激信號及其各階導(dǎo)，R(s) 為于 s 的有理真分式，即滿足 M N 。以下進(jìn)討論 M 設(shè)連續(xù)數(shù)) N 的情況。信號 f

17、(t)的拉普拉斯變換為 F(s) ，則F(s) 少A( s)(s P i)i 1在滿足 MN 情況下，有以下幾種情況：連續(xù)系読零極點(diǎn)圖虛軸實(shí)軸圖 6-6 系統(tǒng)零極點(diǎn)圖52歡迎下載精品文檔(1) 極點(diǎn)均為單重情況下，可對其直接進(jìn)行部分分式展開得:K11K12Ck E(s) (s P i)F(s)(s P i)k1D(s)(s Pi)kF(s)riS PsPis P 2N其中， r(s P i)F(s)(i 1,2, ,N) 稱為有理函數(shù) F(s) 的留數(shù)。貝 u F(s) 的拉普拉斯逆s pi變換為：Nf (t)1怡九(2) 有 k 重極點(diǎn)，設(shè)為 pi，則部分分式展開為Ki 可用下式求得i di

18、i (Pi)kF(s)Kii(i i)!ds ii(ss Pi則 F (s) 的拉普拉斯逆變換為 :i(kjNPitKij t ji 2Aeu(t)f(t)Pitj)!e u(t)(3) 有共軛極點(diǎn)F(s)s P2P3Pif2(t)設(shè) F(s) 有一對共軛極點(diǎn) Pi,2j，則(s P i )F(s) sPi r； e匚 ri由共軛極點(diǎn)所決定的兩項(xiàng)復(fù)指數(shù)信號可以合并成一項(xiàng)，故有f2( t) 2r ie t cos( t )u(t)從以上分析可以看出，只要求出 F(s) 部分分式展開的系數(shù) ( 留數(shù) ) 斤，就可直接求 出 F(s) 的逆變換 f(t)。上述求解過程，可以利用 MATLA 的 re

19、sidue() 函數(shù)來實(shí)現(xiàn)。令 A 和 B 分別為 F(s) 的 分子和分母多項(xiàng)式構(gòu)成的系數(shù)向量，則函數(shù)：r,p,k=residue(B,A)將產(chǎn)生三個(gè)向量 r、p 和 k，其中 p 為包含 F(s) 所有極點(diǎn)的列向量， r 為包含 F(s) 部 分分式展開系數(shù)的列向量， k 為包含 F (s) 部分分式展開的多項(xiàng)式的系數(shù)行向量，若M N ，則 k 為空。例 6-4 : 已知連續(xù)信號的拉普拉斯變換為:F(s)2s 4s3 4s試用 MATLAB 其拉普拉斯逆變換f(t)。 解：MATLAB 令如下：a=1 0 4 0; b=2 4;53歡迎下載精品文檔r,p,k=residue(b,a)運(yùn)行結(jié)果：-0.5000 - 0.5000i-0.5000 + 0.5000i1.0000P =0 + 2.0000i0 - 2.0000i0k =由上述結(jié)果可以看出，F(xiàn)(s) 有三個(gè)極點(diǎn) pi,2j2 ,p3 0, 為了求得共軛極點(diǎn)對應(yīng)的信號分量，可用abs() 和 angle() 分別求出部分分式展開系數(shù)的模和幅角，命令如下：abs(r)ans =0.70710.70711.0000an gle(r)/pians =-0.750