【23】對于氫原子： (a)分別計算從第一激發(fā)態(tài)和第六激發(fā)態(tài)躍遷到基態(tài)

1、【2.3】對于氫原子：(a)分別計算從第一激發(fā)態(tài)和第六激發(fā)態(tài)躍遷到基態(tài)所產(chǎn)生的光譜線的波長，說明這些譜線所屬的線系及所處的光譜范圍。(b)上述兩譜線產(chǎn)生的光子能否使：（i）處于基態(tài)的另一氫原子電離？（ii）金屬銅中的銅原子電離（銅的功函數(shù)為）？(c)若上述兩譜線所產(chǎn)生的光子能使金屬銅晶體的電子電離，請計算出從金屬銅晶體表面發(fā)射出的光電子的德補羅意波的波長。解：(a)氫原子的穩(wěn)態(tài)能量由下式給出： 式中n是主量子數(shù)。 第一激發(fā)態(tài)(n2)和基態(tài)(n1)之間的能量差為：原子從第一激發(fā)態(tài)躍遷到基態(tài)所發(fā)射出的譜線的波長為：第六激發(fā)態(tài)(n7)和基態(tài)(n1)之間的能量差為：所以原子從第六激發(fā)態(tài)躍遷到基態(tài)所發(fā)射

2、出的譜線的波長為：這兩條譜線皆屬Lyman系，處于紫外光區(qū)。（b）使處于基態(tài)的氫原子電離所得要的最小能量為：E=E-E1=-E1=2.18×10-18J而 E1=1.64×10-18J<E E6=2.14×10-18J<E所以，兩條譜線產(chǎn)生的光子均不能使處于基態(tài)的氫原子電離，但是 E1>Cu=7.44×10-19JE6>Cu=7.44×10-19J所以，兩條譜線產(chǎn)生的光子均能使銅晶體電離。（c）根據(jù)德布羅意關(guān)系式和愛因斯坦光子學(xué)說，銅晶體發(fā)射出的光電子的波長為： 式中E為照射到晶體上的光子的能量和Cu之差。應(yīng)用上式，分別

3、計算出兩條原子光譜線照射到銅晶體上后銅晶體所發(fā)射出的光電子的波長： 【2.4】請通過計算說明，用氫原子從第六激發(fā)態(tài)躍遷到基態(tài)所產(chǎn)生的光子照射長度為的線型分子，該分子能否產(chǎn)生吸收光譜。若能，計算譜線的最大波長；若不能，請?zhí)岢鰧⒉荒茏優(yōu)槟艿乃悸?。解：氫原子從第六激發(fā)態(tài)（n=7）躍遷到基態(tài)（n=1）所產(chǎn)生的光子的能量為： 而分子產(chǎn)生吸收光譜所需要的最低能量為： 顯然，但此兩種能量不相等，根據(jù)量子化規(guī)則，不能產(chǎn)生吸收光效應(yīng)。若使它產(chǎn)生吸收光譜，可改換光源，例如用連續(xù)光譜代替H原子光譜。此時可滿足量子化條件，該共軛分子可產(chǎn)生吸收光譜，其吸收波長為： 【2.8】已知氫原子的歸一化基態(tài)波函數(shù)為(a)利用量子

4、力學(xué)基本假設(shè)求該基態(tài)的能量和角動量；(b)利用維里定理求該基態(tài)的平均勢能和零點能。解：（a）根據(jù)量子力學(xué)關(guān)于“本征函數(shù)、本征值和本征方程”的假設(shè)，當(dāng)用Hamilton算符作用于1s時，若所得結(jié)果等于一常數(shù)乘以此1s,則該常數(shù)即氫原子的基態(tài)能量E1s。氫原子的Hamiltton算符為： 由于1s的角度部分是常數(shù)，因而與，無關(guān)： 將作用于1s，有： （r=a0）所以 =-2.18×10-18J也可用進(jìn)行計算，所得結(jié)果與上法結(jié)果相同。注意：此式中。將角動量平方算符作用于氫原子的1s，有： =01s所以 M2=0 |M|=0此結(jié)果是顯而易見的：不含r項，而1s不含和，角動量平方當(dāng)然為0，角動

5、量也就為0。通常，在計算原子軌道能等物理量時，不必一定按上述作法、只需將量子數(shù)等參數(shù)代人簡單計算公式，如：即可。（b）對氫原子，故： 此即氫原子的零點能。【2.9】已知氫原子的，試回答下列問題：(a)原子軌道能E=?(b)軌道角動量|M|=?軌道磁矩|=?(c)軌道角動量M和z軸的夾角是多少度？(d)列出計算電子離核平均距離的公式（不算出具體的數(shù)值）。(e)節(jié)面的個數(shù)、位置和形狀怎么樣？(f)概率密度極大值的位置在何處？(g)畫出徑向分布示意圖。解：（a）原子的軌道能：（b）軌道角動量：軌道磁矩：（c）軌道角動量和z軸的夾角：， （d）電子離核的平均距離的表達(dá)式為： （e）令，得：r=0，r=

6、，=900節(jié)面或節(jié)點通常不包括r=0和r=，故的節(jié)面只有一個，即xy平面（當(dāng)然，坐標(biāo)原點也包含在xy平面內(nèi)）。亦可直接令函數(shù)的角度部分，求得=900。（f）幾率密度為： 由式可見，若r相同，則當(dāng)=00或=1800時最大（亦可令，=00或=1800），以表示，即：將對r微分并使之為0，有： 解之得：r=2a0（r=0和r=舍去）又因： 所以，當(dāng)=00或=1800，r=2a0時，有極大值。此極大值為： （g）根據(jù)此式列出D-r數(shù)據(jù)表：r/a001.02.03.04.05.06.0D/00.0150.0900.1690.1950.1750.134r/a07.08.09.010.011.012.0D/

7、0.0910.0570.0340.0191.02×10-25.3×10-3按表中數(shù)據(jù)作出D-r圖如下：圖2.9 H原子的D-r圖由圖可見,氫原子的徑向分布圖有n-l1個極大(峰)和n-l-10個極小(節(jié)面)，這符合一般徑向分布圖峰數(shù)和節(jié)面數(shù)的規(guī)律。其極大值在r4a0處。這與最大幾率密度對應(yīng)的r值不同，因為二者的物理意義不同。另外，由于徑向分布函數(shù)只與n和l有關(guān)而與m無關(guān)，2px、2py和2pz的徑向分布圖相同。【2.13】寫出He原子的Schrödinger方程,說明用中心力場模型解此方程時要作那些假設(shè),計算其激發(fā)態(tài)(2s)1(2p)1的軌道角動量和軌道磁矩.解：

8、He原子的Schrodinger方程為： 式中和分別是電子1和電子2到核的距離，是電子1和電子2之間的距離，若以原子單位表示，則He原子的Schrodinger方程為：用中心力場解此方程時作了如下假設(shè)：(1)將電子2對電子1（1和2互換亦然）的排斥作用歸結(jié)為電子2的平均電荷分布所產(chǎn)生的一個以原子核為中心的球?qū)ΨQ平均勢場的作用（不探究排斥作用的瞬時效果，只著眼于排斥作用的平均效果）。該勢場疊加在核的庫侖場上，形成了一個合成的平均勢場。電子1在此平均勢場中獨立運動，其勢能只是自身坐標(biāo)的函數(shù)，而與兩電子間距離無關(guān)。這樣，上述Schrodinger方程能量算符中的第三項就消失了。它在形式上變得與單電子

9、原子的Schrodinger方程相似。(2)既然電子2所產(chǎn)生的平均勢場是以原子核為中心的球形場，那么它對電子1的排斥作用的效果可視為對核電荷的屏蔽，即抵消了個核電荷，使電子1感受到的有效電荷降低為。這樣，Schrodinger方程能量算符中的吸引項就變成了，于是電子1的單電子Schrodinger方程變?yōu)椋?按求解單電子原子Schrodinger方程的方法即可求出單電子波函數(shù)及相應(yīng)的原子軌道能。上述分析同樣適合于電子2，因此，電子2的Schrodinger方程為： 電子2的單電子波函數(shù)和相應(yīng)的能量分別為和。He原子的波函數(shù)可寫成兩單電子波函數(shù)之積： He原子的總能量為： He原子激發(fā)態(tài)角動量加

10、和后L=，故軌道角動量和軌道磁距分別為： 【2.16】已知He原子的第一電離能I1=24.59eV,試計算:(1)第二電離能，1s的單電子原子軌道能和電子結(jié)合能(2)基態(tài)能量;(3)在1s軌道中兩個電子的互斥能;(4)屏蔽常數(shù);(5)根據(jù)(4)所得結(jié)果求H-的基態(tài)能量.解：（1）He原子的第二電離能是下一電離過程所需要的最低能量，即： He+（g）He2+（g）c He+ 是單電子“原子”，可按單電子原子能級公式計算，因而： 1s的單電子原子軌道能:1s的電子結(jié)合能，此時等于第一電離能，即為（2）從原子的電離能的定義出發(fā)，按下述步驟推求He原子基態(tài)的能量：He（g）He+（g）e （a）He+（g）He2+（g）e （b）由（a）式得：將（b）式代入，得： 推而廣之，含有n個電子的多電子原子A，其基態(tài)能量等于各級電離能之和的負(fù)值，即： （3）用J（s，s）表示He原子中兩個1s電子的互斥能，則： 也可直接由減求算J（s，s），兩法本質(zhì)相同。（4） （5）H是核電荷為1的兩電子“原子”，其基組態(tài)為（1s）2，因而基態(tài)能量為： 【2.17】用Slater法計算Be原子的第一到第四電離能,將計