二次函數(shù)與三角形

1、 高飛教育二次函數(shù)與三角形例題精講【例1】 如圖，拋物線經(jīng)過的三個(gè)頂點(diǎn)，已知軸，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，且 （1）求拋物線的對(duì)稱軸； （2）寫出三點(diǎn)的坐標(biāo)并求拋物線的解析式； （3）探究：若點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上且在軸下方的動(dòng)點(diǎn)，是否存在是等腰三角形若存在， 求出 所有符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)；不存在，請(qǐng)說明理由ACByx011【例2】 一開口向上拋物線與x軸交于A（，0），B（m2，0）兩點(diǎn)，記拋物線頂點(diǎn)為，且ACBC（1）若m為常數(shù)，求拋物線的解析式；（2）若m為小于0的常數(shù)，那么（1）中的拋物線經(jīng)過怎么樣的平移可以使頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)？（3）設(shè)拋物線交y軸正半軸于D點(diǎn)，問是否存在實(shí)數(shù)m，使得BOD為等腰三角

2、形？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由【例3】 在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)C（-1，0），如圖所示，拋物線經(jīng)過點(diǎn)B（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求拋物線的解析式；（3）在拋物線上是否還存在點(diǎn)P（點(diǎn)B除外），使ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由【例4】 已知拋物線與軸相交于點(diǎn)，且是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，點(diǎn)為拋物線與軸的交點(diǎn) （1）求的值； （2）分別求出直線和的解析式； （3）若動(dòng)直線與線段分別相交于兩點(diǎn)，則在軸上是否存在點(diǎn)，使得為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；

3、若不存在請(qǐng)說明理由【例5】 已知拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)， （1）求m的取值范圍； （2）若，直線經(jīng)過點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)D，且，求拋物線的解析式； （3）若A點(diǎn)在B點(diǎn)左邊，在第一象限內(nèi)，（2）中所得的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使直線PA平分 的面積？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。【例6】 已知一元二次方程的一根為 （1）求關(guān)于的解析式； （2）求證：拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)； （3）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，且與軸相交于兩點(diǎn)，求使面積最小時(shí)的拋物線的解析式【例7】 如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），連結(jié)OA，將線段OA繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到線

4、段OB.（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過A、O、B三點(diǎn)的拋物線的解析式；（3）在（2）中拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)C，使BOC的周長最小？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)； 若 不存在，請(qǐng)說明理由.（4）如果點(diǎn)P是（2）中的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且在x軸的下方，那么PAB是否有最大面積？若有， 求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)及PAB的最大面積；若沒有，請(qǐng)說明理由.BAOyx【例8】 已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)并且與軸相交于點(diǎn)和點(diǎn)，頂點(diǎn)為（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）設(shè)為線段上一點(diǎn)，滿足，求點(diǎn)的坐標(biāo)【例9】 如圖，已知拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn) 求、三點(diǎn)的坐標(biāo) 過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，求四邊形的面積 在軸上方的拋物線上是

5、否存在一點(diǎn)，過作軸于點(diǎn)， 使以、三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與相似若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；否則，請(qǐng)說明理由【例10】 已知一次函數(shù)的圖象分別交x軸、y軸于A、C兩點(diǎn)， （1）求出A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）在x軸上找出點(diǎn)B，使，若拋物線過A、B、C三點(diǎn)，求出此拋物線的解析式； （3）在（2）的條件下，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同速度沿AC、BA向C、A運(yùn)動(dòng)， 連結(jié)PQ，使，是否存在m的值，使以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與相似，若存在， 求出所有m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。【例11】 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸的正半軸于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為

6、M，MHx軸于點(diǎn)H，MA交y軸于點(diǎn)N，.（1）求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）過H的直線與y軸相交于點(diǎn)P，過O，M兩點(diǎn)作直線PH的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，若 時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）將（1）中的拋物線沿y軸折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，連接MD，Q為（1）中的拋物線上的一點(diǎn)直線NQ交x軸于點(diǎn)G，當(dāng)Q點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在點(diǎn)Q，使ANG 與ADM相似？若存在，求出所有符合條件的直線QG的解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由 yxOHCNDABCMD【例12】 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為M,若直線MC的函數(shù)表達(dá)式為,與x軸的交點(diǎn)為N

7、，且COSBCO。 (2)在此拋物線上是否存在異于點(diǎn)C的點(diǎn)P，使以N、P、C為頂點(diǎn)的三角形是以NC為一條直角邊 的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由； (3)過點(diǎn)A作x軸的垂線，交直線MC于點(diǎn)Q.若將拋物線沿其對(duì)稱軸上下平移，使拋物線與線段NQ總有公共點(diǎn)，則拋物線向上最多可平移多少個(gè)單位長度?向下最多可平移多少個(gè)單位長度?【例13】 如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且 （1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；） （2）判斷的形狀，證明你的結(jié)論； （3）點(diǎn)是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，求m的值【例14】 如圖，已知直線與軸交于點(diǎn)A，與軸交于點(diǎn)D，拋物線與直線交于A、E

8、兩點(diǎn)，與軸交于B、C兩點(diǎn)，且B點(diǎn)坐標(biāo)為 (1，0)。求該拋物線的解析式；動(dòng)點(diǎn)P在軸上移動(dòng)，當(dāng)PAE是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)P。在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M，使的值最大，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)?！纠?5】 如圖12，已知二次函數(shù) 的圖象與x軸的正半軸相交于點(diǎn)A、B，與y軸相交于點(diǎn)C，且 (1)求c的值； (2)若ABC的面積為3，求該二次函數(shù)的解析式； (3)設(shè)D是(2)中所確定的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，試問在直線AC上是否存在一點(diǎn)P使PBD的周長最小?若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由課后作業(yè)1.如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象頂點(diǎn)為D，與y軸交于點(diǎn)C，與

9、x軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)A在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，0)，OBOC，tanACO(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；(2)如圖2，若點(diǎn)G(2，y)是該拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)P是直線AG下方的拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，AGP的面積最大？求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)和AGP的最大面積CxxyyAOBEDACBCDG圖1圖22.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為點(diǎn)在軸上已知某二次函數(shù)的圖象經(jīng)過、三點(diǎn)，且它的對(duì)稱軸為直線點(diǎn)為直線下方的二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與、不重合），過點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）若設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為用含的代數(shù)式表示線段的長（3）求面積的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)3. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，且，點(diǎn)的坐標(biāo)是（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求過點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式；（3）連接AB，在（2）中的拋物線上求出點(diǎn)P，使得yOBAx114. 如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D(0，)，且頂點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4，該圖象在x 軸上截得的線段AB的長為6.求二次函數(shù)的解析式；在該拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使PA+PD最小，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使QAB與ABC相似？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由 5. 已知：拋物線的對(duì)稱軸為與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)