例題講解：米勒問題之教學設(shè)計

1、教材分析1.本例題是在學習了直角三角形中角的正切值、基本不等式、圓的相關(guān)知識例如圓周角等等進行講解的，因此知識基礎(chǔ)比較扎實。2.本例題是著名的經(jīng)典題目，用于解決最大角問題，涉及到最大值問題，在今后的最值問題解決中有著重要的地位，為解決最大角問題提供有力的工具，省去很多繁瑣的步驟。3.本例題運用了數(shù)形結(jié)合的思想，引導學生善于把問題幾何和代數(shù)之間相互代換得以解決。4.本課對學生的動手能力，觀察能力都有一定的要求，對培養(yǎng)學生靈活的思維，提高學生解決實際問題的能力都有重要的意義。5.本課內(nèi)容安排上難度和強度不高，適合學生討論，可以充分開展合作學習，培養(yǎng)學生的合作精神和團隊競爭的意識。例題講解：米勒問題

2、教學設(shè)計數(shù)學科學學院 118班 蔡潔慧 20110008008學情分析1. 授課班級學生基礎(chǔ)較好，教學中應給予充分思考的時間，并且以引導學生思考為主。2. 該班級學生在平時訓練中已經(jīng)形成了良好的合作精神和合作氣氛，可以充分發(fā)揮合作的優(yōu)勢，兼顧效率和平衡。3.本班為自己任課的班級，平時對學生比較了解，在解決具體問題的時候可以兼顧不同能力的學生，充分調(diào)動學生的積極性。教學目標知識與能力目標1.了解米勒問題，并且理解米勒定理。2.學會解決米勒問題，并能夠運用一定的空間想象能力3.培養(yǎng)學生在解決實際問題與生活實際聯(lián)系的能力。過程與方法目標1.經(jīng)歷探索解決米勒問題的過程，進一步探索米勒定理的證明過程。2

3、.經(jīng)歷應用米勒定理解決問題的過程。情感與態(tài)度目標1.學生在探索的過程中，感受動點移動時帶來的角度變化的動態(tài)美，體會數(shù)學的奇妙性；2.在交流的過程中，體會與別人交流的重要性。教學中的重點、難點重點 1.利用直角三角形和基本不等式知識解決米勒問題2.利用米勒問題得出的結(jié)論解決一般米勒問題并給出證明難點 1.用代數(shù)方法解決后轉(zhuǎn)換為幾何的結(jié)論2.一般米勒問題結(jié)論的證明主要教學手段及相關(guān)準備：教學手段 1.使用導學法、討論法2.運用多媒體輔助教學3.調(diào)動學生積極性，幫助理解準備工作多媒體課件片斷，輔助難點突破教學設(shè)計策略依據(jù)教學目標和學生的特點，依據(jù)教學時間和效率的要求，在此課教學方法和教學模式的設(shè)計中

4、主要體現(xiàn)設(shè)計思想策略1. 回歸學生主體，一切圍繞著學生的學習活動和當堂的反饋程度安排教學過程。2. 原則性和靈活性相結(jié)合，既要完成教學計劃，在教學過程中又可以根據(jù)現(xiàn)實的情況，安排問題的難度，體現(xiàn)一些靈活性。3. 教學的形式上注重個體化，充分給予學生討論和發(fā)表意見的機會，注重學習的參與性，努力避免以教師活動為主體的教學過程。教學步驟及說明學生活動教師活動教學目標教學說明1、學生跟著教師的思路進行想象2、根據(jù)幾何畫板的演示并跟著教師的思路思考問題3、觀察并思考，跟著教師解決問題4、思考并積極回答問題5、隨著教師思路進行思考6、學生按照教師的提示進行思考問題7、通過教師演示，得到特殊米勒問題與一般米

5、勒問題的區(qū)別8、跟隨教師的思路并積極回答問題，學習新的知識9、做好筆記并進行知識鞏固1、介紹問題：1471年德國數(shù)學家米勒向諾德爾教授提出如下一個十分有趣問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿呈現(xiàn)最長（即可見角最大）？2、幾何畫板演示：把文字的問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形表示出來3、把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，引導學生進行回答4、根據(jù)代數(shù)方法得到答案，并把結(jié)論轉(zhuǎn)換為幾何結(jié)論，復習切割弦定理5、得到關(guān)于米勒問題的幾何結(jié)論，并提出為什么要總結(jié)幾何結(jié)論6、給出一般米勒問題：在已知直線l的同側(cè)有P、Q兩點，試在直線l上求一點M，使得M對P、Q兩點的張角，即最大？ 7、用幾何畫板演示，把特殊米勒問題與一般米勒問

6、題進行對比，說明兩者的不同，并說明用類似的代數(shù)方法無法解決8、引導學生善于應用幾何結(jié)論去解決問題，并進行證明，注意新知識的補充并說明9、總結(jié)，說明米勒問題實質(zhì)上是求最大角問題，因此得出的結(jié)論就是為了解決一般的米勒問題，即一般的求最大角問題。培養(yǎng)學生根據(jù)題目給出的信息動手作圖，培養(yǎng)學生學會運用數(shù)形結(jié)合的思想方法。培養(yǎng)學生的空間想象能力，并引導學生解決問題培養(yǎng)學生學會幾何與代數(shù)進行轉(zhuǎn)換培養(yǎng)學生運用已知知識解決一般簡單問題能力，同時對于知識的回顧，加深鞏固。培養(yǎng)學生善于思考探索的精神學生體驗從特殊到一般的過程。加深對一般情況和特殊情況的理解，提高學生對問題的敏感度。 培養(yǎng)學生通過比較兩者得到兩者的區(qū)

7、別的能力培養(yǎng)學生善于巧妙地運用新的結(jié)論來解決新的問題，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)臄?shù)學態(tài)度，對得到的答案給予嚴謹?shù)淖C明培養(yǎng)學生學會總結(jié)的能力，并養(yǎng)成舉一反三的能力，達到學以致用的目的讓學生了解題目，并讓同學想象，培養(yǎng)學生自主探索的學習能力，以及學生們交流能力。用多媒體軟件進行教學，給學生直觀的形象，引導學生學會運用已知條件去探索未知量。運用直角三角形和基本不等式的知識解決問題，本節(jié)課的重點之一。這是本節(jié)課的難點，學生難以突破拋出問題引導學生思考由特殊問題過渡到一般問題，循序漸進，關(guān)鍵在于引導和啟發(fā)，給予學生充分的時間，必要時候使用事先準備的多媒體輔助教學，從實際結(jié)果看，學生在多媒體的啟發(fā)作用下，應該會有一個

8、思維上的突破。在課堂最后進行總結(jié)，并得到結(jié)論，告知學生該結(jié)論用于解決最大角問題，讓學生能夠?qū)W以致用。課后小結(jié)：由于運用了一定的教學方法和理念，知識從不同的方向得到了滲透?；就瓿闪苏n前制定的教學目標和教學要求，為進一步的深入理解打下了基礎(chǔ)。教學分析1.米勒問題是求最大角問題的特例，通過解決米勒問題得到幾何結(jié)論，根據(jù)這個結(jié)論可以事半功倍得解決一般最大角問題，因此講解這道題對于學生解決問題十分有必要。2.米勒問題應該安排在高二第二個學期，因為米勒問題應用的知識比較綜合，并且要有一定的空間想象力，而且要對幾何與代數(shù)之間的轉(zhuǎn)換有一定的了解，因此放在高二第二個學期講解比較合適。3.米勒問題是一道經(jīng)典的數(shù)

9、學題，對于培養(yǎng)學生對于研究數(shù)學和拓展課外知識很有必要，讓學生領(lǐng)略到數(shù)學的美妙神奇之處。4.在證明一般米勒問題的時候，需要補充圓外角的相關(guān)知識，在解決問題的同時，可以讓學生初步了解圓外角知識并學會應用。教學設(shè)計腳本教師：同學們好，今天我們要解決一道世界著名的經(jīng)典題目米勒問題。（點開PPT）既然是是米勒問題，那么我們就先了解一下米勒問題是什么？1471年德國數(shù)學家米勒向諾德爾教授提出如下一個十分有趣問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿呈現(xiàn)最長（即可見角最大）？ 這是一個非常著名的100道經(jīng)典數(shù)學問題其中的一道題，大家先自己理解一下題目的意思。請同學們在草稿本上面畫一下草圖好，現(xiàn)在老師用幾何畫

10、板演示一下（點開超鏈接，出現(xiàn)幾何畫板）教師：大家看一下，我們把垂直懸桿簡化成這個AB這段線段。大家在初中的時候已經(jīng)學習地理，知道地球是一個球面，但是為了研究問題的需要，我們就把地球表面看成是一個平面，所以問題就轉(zhuǎn)化為，在地球上面找到一個點D，使得人在這個位置時，懸桿呈現(xiàn)最長，也就是可見角是最大的。教師：老師延長線段AB到平面并交于點C，再連接CD，以點C為圓心，CD為半徑作圓（幾何畫板演示）大家想象一下，點D在圓上移動的時候，有沒有變化？學生1：老師，是沒有變化的。教師：很好，也就是說，在這個圓上的點都不會影響可見角，在圓心不變的情況下，只有半徑不同的其他圓才會影響的大小對不對？學生：對。教師

11、：也就是說，我們可以把這個空間的問題轉(zhuǎn)化為平面問題。（幾何畫板演示）那么是不是說，就一定會存在這個點D使得達到最大呢？學生1：應該是存在的教師：如果存在的話，應該在什么位置呢？學生1：老師，肯定越近可見角越大學生2：不，我覺得是越遠可見角越大教師：那好，有爭議的話，我們再用幾何畫板演示一下現(xiàn)在我讓點D一直向中間移動，同學們要留意是如何變化的？（幾何畫板演示）學生：是先變大，后來又慢慢變小教師：對了，也就是說，在這條直線上，總會存在一個點，使得最大，對不對？學生：對。教師：那么我們要在這條直線上找到這個點呢？學生：可以轉(zhuǎn)化為求點D到交點C的距離。教師：對了，要求CD的長度，那么我們設(shè)CD的長度為

12、x，問題就轉(zhuǎn)化為當x為多少時，最大？為了解決這個問題，我們把AC、BC的長度當成是已知的，AC=m,BC=n,把一些需要的角標一下，、，這里的也就是（打開PPT）已知AC=m,BC=n,CD=x，（x0），求當x為多少時，最大？（黑板板書）教師：那么我們就要用這些已知的條件來解決這個問題了。大家先看一下,剛剛說了懸桿是垂直于地球表面的，所以是一個什么三角形？學生：直角三角形教師：那么AC、CD與之間有什么關(guān)系？學生2：（教師板書出來）教師：很好，那么我們再看呢？學生1：同樣是一個直角三角形教師：所以也可以同樣得到怎樣的關(guān)系式？學生1：（教師板書出來）教師：那再看看、之間有什么關(guān)系？學生2：教師

13、：也就是（板書出來）我們在上面已經(jīng)求出了、的正切值了，那么可以求出的正切值嗎？要怎樣求？學生1： （教師板書出來）教師：請繼續(xù)。學生1：把剛剛和代入上式教師：很好，那么大家動手把數(shù)據(jù)代入并進行化簡。那么有那位同學化簡得到最終的結(jié)果？學生2：（教師板書出來）教師：好的。那么我們看看，我們要求的最大值，是不是就是求的最大值？學生：是的。教師：看看上面式子，那些是已知的？學生：m,n教師：所以說，m-n就是一個定值，那么要求的最大值，只需要求式子的分母的最小值，對不對？學生：對。教師：那好，我們就把分母分離出來，（板書出來）現(xiàn)在要求的是的最小值，也就是應該要（板書出來）同學們看出什么了嗎？學生：基本

14、不等式教師：那要怎樣做下去呢？學生1：（教師板書出來）教師：什么時候等號成立？學生1：當時，算得（教師板書出來）教師 ：也就是，。好，到這里已經(jīng)把結(jié)果算出來了，同學們回答一下題目提出問題的答案？學生：當時，取得最大值，也就是取得最大值。教師：同學們看一下，我們解決這個問題的時候，先把幾何的問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，再用代數(shù)的方法把問題解決了，但是如果每次都遇到這種問題，都要算這么多是不是很麻煩？我們在上面的計算過程，有沒有得到什么啟示？學生1：當時，取得最大值。教師：很好，這也算是一個結(jié)論，有沒有一個關(guān)于幾何方面的結(jié)論呢？學生：（思考）教師：剛剛所說的，也就是，那么根據(jù)這個式子有沒有想到關(guān)于圓的一些

15、性質(zhì)？老師在這里提示一下，大家還記得切割線定理嗎？（PPT展示）這里PA是圓O的切線，BC是圓O的一條割線，那么切割線定理是怎么描述的？學生：教師：這個等式跟上面所說的，在形式上是不是有點相似啊？學生：PA對應CD，PB、PC分別對應BC、AC，也就是CD、AB分別是某個圓的切線、割線。教師：對了，表示出來就是這樣子的圖形（PPT展示）所以我們有下面的結(jié)論：結(jié)論：當且僅當過ABD三點作外接圓且CD與該圓相切的時候， 最大。同學們可能在這個時候就要問，得出這個結(jié)論有什么用？老老實實用代數(shù)的方法去算不就行了嗎？帶著這個問題，下面我們再看一道題目（PPT展示）在已知直線l的同側(cè)有P、Q兩點，試在直線

16、l上求一點M，使得M對P、Q兩點的張角， 最大？教師：那我們來看看這道題跟第一題有什么區(qū)別？（幾何畫板演示）我們連接PQ，再延長PQ到直線l交于點O，跟第一題畫的圖比較一下（幾何畫板演示）同學們看一下，PQ是不是相當于把懸桿AB倒置了一樣，還有哪些是相對應的？學生2：PO對應AC，對應，教師：既然有那么多相似的地方，大家嘗試著解決。學生（在草稿本上解決）教師：有沒有同學算出來？學生1：用剛剛的代數(shù)方法算不出來。教師：為什么？學生1：PO不垂直于直線l，無法用到直角三角形的性質(zhì)。教師：那么除了這種方法，剛剛不是還有一個結(jié)論嗎？學生2：類似于剛剛的結(jié)論，那么有結(jié)論，當且僅當PMQ三點所作的外接圓與直線l相切于點M的時候， 最大。教師：很好（幾何畫板演示）那我們現(xiàn)在用幾何畫板演示可以知道此時 是最大的，但是僅僅用幾何畫板是不夠的，我們需要用數(shù)學的方法去證明?，F(xiàn)在要證明