人口增長模型(2)

1、2009高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承諾書我們仔細(xì)閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的競(jìng)賽規(guī)則 我們完全明白，在競(jìng)賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng) 上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他公開的 資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參 考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī) 則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號(hào)是（從 A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫）：B我們的參賽報(bào)名號(hào)為（如果賽區(qū)設(shè)置

2、報(bào)名號(hào)的話） ： 所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚懲暾娜何靼怖砉ご髮W(xué)參賽隊(duì)員（打印并簽名）：1.柳樹有2.3.指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人（打印并簽名）：日期：2011年7月_3_日賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：2011高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽編號(hào)專用頁賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：賽區(qū)評(píng)閱記錄（可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用）：評(píng)閱人評(píng)分備注全國統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國前編號(hào)）：全國評(píng)閱編號(hào)（由全國組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：人口增長模型一、摘要本文根據(jù)某個(gè)地區(qū)從1982年到1998年間的人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，對(duì)其做出相應(yīng)的分析， 做出一些合理的假設(shè)，利用 Matlab軟件畫出該地區(qū)歷

3、年的人口數(shù)據(jù)圖，對(duì)數(shù)據(jù)圖進(jìn)行 仔細(xì)觀察后，認(rèn)識(shí)人口數(shù)量的變化規(guī)律通過曲線的插值和擬合，我認(rèn)為該地區(qū)的人口呈現(xiàn)三次函數(shù)增長，并建立了三次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型對(duì)未來人口的預(yù)測(cè)。但是，考慮到，自然資源、環(huán)境條件等對(duì)人口增長起著阻滯作用，并且隨著人口的增加，阻滯作用越來越大，于是，建立了阻滯增長模型。最后，把兩種預(yù)測(cè)的結(jié)果的人口數(shù)量與已知的人口數(shù) 量進(jìn)行比較，求出其誤差，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷恼_性。關(guān)鍵詞：人口增長模型 曲線插值 曲線擬合 阻滯增長模型4二、問題重述下表列出了中國1982-1998年的人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，取1982年為起始年（t=0 ）,1982年的人口 101654萬人，人口自然增長率為千分之 14，以3

4、6億為我國人口的容納量， 試建立一個(gè)較好的人口數(shù)學(xué)模型并給出相應(yīng)的算法和程序，并于實(shí)際人口進(jìn)行比較。年198219831984198519861987198819891990人（萬）口101654103008104357105851107507109300111026112704114333年口19911992199319941995199619971998人（萬）115823117171118517119850121121122389123626124810三、基本假設(shè)模型一假設(shè)：（1）假設(shè)不存在某抽樣年齡段出現(xiàn) 0死亡概率（2）假設(shè)人口平穩(wěn)增長，無大型自然災(zāi)害，戰(zhàn)爭(zhēng)等因素的影響（3）假設(shè)境

5、內(nèi)外遷移率對(duì)我國未來人口影響不計(jì)（4）人口的凈增長率（即出生率減去死亡率）為常數(shù)（5）時(shí)刻t的人口函數(shù)是連續(xù)可微的；模型二假設(shè)：（1）假設(shè)不存在某抽樣年齡段出現(xiàn)0死亡概率； 人口的凈增長率（即出生率減去死亡率）隨人口的增長而單調(diào)遞減; 考慮人口的增長受到環(huán)境的因素及資源的影響不能無限的增長；（4）時(shí)刻t的人口函數(shù)是連續(xù)可微的；四、符號(hào)與說明Xi為i點(diǎn)的橫坐標(biāo)值；yi為第i點(diǎn)的縱坐標(biāo)的值;增長率X。今年人口Xkk年后人口X t t 時(shí)刻人口 Xm人口容量s 確定系數(shù)五、問題分析5.1名詞解釋:曲線插值：根據(jù)已知若干點(diǎn)的函數(shù)值來求出其他點(diǎn)的函數(shù)值的方法，常用的插 值方法有：拉格朗日插值，牛頓插值，

6、分段線性插值，三次樣條插值。曲線擬合：根據(jù)若干有觀察和測(cè)試得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，給出逼近曲線。最常 用的擬合的方法是最小二乘法。5.2問題的總體分析:根據(jù)1982年到1998的人口數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，在matlab中進(jìn)行描點(diǎn)，然后根據(jù)這些點(diǎn) 的變化規(guī)律選擇合適的方法及參數(shù)進(jìn)行曲線插值擬合得到數(shù)學(xué)模型對(duì)未來人口的預(yù)測(cè)。 又考慮實(shí)際的環(huán)境因素對(duì)人口增長的影響，建立了阻滯增長模型對(duì)未來人口的預(yù)測(cè)。 5.3問題的準(zhǔn)備：插值問題 設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b連續(xù),若給定n+1個(gè)點(diǎn) a< x 0 < x 1 < < x n< b 以及 f(x k)=y k(k=0,1,n ) (1.1

7、)如果在某個(gè)函數(shù)類中求得一個(gè)函數(shù) (x)作為f(x)的近似表達(dá)式,并滿足條件(x k)=f(x k)=y k , k=0,1,，n則稱y=f(x)為被插值函數(shù)，“x)稱為插值函數(shù),xk稱為插值節(jié)點(diǎn),式(1.1)稱為插值條 件,尋求插值函數(shù)(x)的方法稱為插值方法.多項(xiàng)式插值，從幾何角度看，就是尋求n次代數(shù)曲線y=pn(x)通過個(gè)n+1點(diǎn)(xk , yk) (k=0,1, 冊(cè)為f(x)的近似(如下圖).假設(shè)我們要擬合的函數(shù)為f(x)，將Xi帶入則得函數(shù)值yi*=f(x i),由于yi的不準(zhǔn)確性, 在每一個(gè)點(diǎn)x i都會(huì)產(chǎn)生一個(gè)誤差："=yi*-y i=f(x i)-y i , i=0,1

8、,n我們希望所求 的f(x)，使得其在每一個(gè)Xi處所產(chǎn)生的誤差|門| , i=0,1,n達(dá)最小，但這樣分別考慮太困難，所以我們應(yīng)考慮整體誤差nnn22222*22p in 八 i 八(yiyJ 八f(Xi) yji -0i -0i -0并使其達(dá)到最小。通過這種方式求得近似曲線y=f(x)的方法，就稱作曲線擬合的最小二乘法。六、模型建立6.1模型一：三次曲線擬合模型6.1.1 描點(diǎn)751982198419861988199019921994199619986.1.2根據(jù)已知點(diǎn)進(jìn)行三次擬合51982198419861988199019921994199619988623進(jìn)行線性插值5X 101.2

9、51.21.151.11.05data1data2實(shí)際的點(diǎn) 擬合曲線 插值曲線1198219841986198819901992199419961998從圖中我們可以看到人口數(shù)在 19821998年是呈增長趨勢(shì)的，而且我們很 容易發(fā)現(xiàn)上述圖像和我們學(xué)過的三次函數(shù)的圖像有很大的相似性，所以我 建立了三次函數(shù)模型，但是這個(gè)模型的局限性是沒有考慮社會(huì)因素，即資 源的有限性，也就是人口不可能無限制的增長，有一個(gè)上限，所以有必要 改進(jìn)模型，假設(shè)摁扣的增長率隨人口的增加而呈線性遞減，從而建立其比 較優(yōu)越的阻滯增長模型。6.2模型二：阻滯增長模型人們注意到，自然資源、環(huán)境條件等對(duì)人口增長起著阻滯作用，并且隨

10、 著人口的增加，阻滯作用越來越大。所謂阻滯增長模型就是考慮這個(gè)因素， 對(duì)指數(shù)的增長模型的基本假設(shè)進(jìn)行修改后得到的。阻滯作用體現(xiàn)在對(duì)人口的增長率r上，使得r隨著人口數(shù)量x的增加而下降。若將r表示為x的函數(shù)r x，則它應(yīng)是減函數(shù)。于是方程（2）寫作rjx x,xjO =xo (5)對(duì)r x的最簡(jiǎn)單的假定是，設(shè)r x為x的線性函數(shù)，即r x = r - sx（ r . 0, s . 0）（ 6）這里r稱作固有增長率。為了確定系數(shù)s的意義，引入自然資源和環(huán)境條件 所能容納的最大數(shù)量Xm，稱人口容量。當(dāng)Xm =X時(shí)人口不再增長，即增長率r Xm =0，代入（6）為:r x 十一上）（7）Xm（7）式代入

11、方程（5）得：dX=rx(-),x 0%( 8)dtXm方程（8）右端的因子rx體現(xiàn)人口自身的增長趨勢(shì)，因子仆一丄）則體現(xiàn)了資Xm源和環(huán)境對(duì)人口增長的阻滯作用。顯然 X越大，前一因子越大，后一因子 越小，人口增長是兩個(gè)因子共同作用那個(gè)的結(jié)果。七、模型求解通過matlab編寫程序最后得到合理的數(shù)學(xué)模型為：模型一求解：p=-8358267252399843/4503599627370496*xW+3041051722220897/2748 77906944*xT-5900627182481437/268435456*x+7632250728293203/524 288模型二求解：x =182977

12、20000/(50827+129173*exp(-7/500*t)由得到的數(shù)學(xué)模型對(duì)19821998年人口計(jì)算的結(jié)果為：?jiǎn)挝唬ㄈf）年份198219831984198519861987模型一預(yù)測(cè)101470P 102970104510106090107690P 109310模型二預(yù)測(cè)101654102678103709104746105788106837年份198819891990199119921993模型一預(yù)測(cè)110920112520114100115650117160118610模型二預(yù)測(cè)107892108953110020111092112170113254年份1994199519961

13、9971998模型一預(yù)測(cè)119990P 121290122510123620124630模型二預(yù)測(cè)114344115439116539117646118757八、結(jié)果分析預(yù)測(cè)結(jié)果與統(tǒng)計(jì)結(jié)果的差值如下:年份198219831984198519861987統(tǒng)計(jì)結(jié)果101654103008104357105851107507P 109300)模型一與統(tǒng)計(jì)差值-184-3815323918310模型二與統(tǒng)計(jì)差值0-330-648-1105-1719-2463年份1988198919901991199219931統(tǒng)計(jì)結(jié)果111026112704114333115823117171118517)模型一與統(tǒng)

14、計(jì)差值-106-184-233-173-1193模型二與統(tǒng)計(jì)差值-3134-3751-4313-4731-5001P -52631年份19941995199619971998統(tǒng)計(jì)結(jié)果119850121121122389123626124810模型一與統(tǒng)計(jì)差值140169121-6-180模型一與統(tǒng)計(jì)差值-5506-5682-5850-5980-6053誤差分析:公式為：1 _6 | yl y |D1 =()*100%17 i 百 y模型一誤差：D1=0.12%模型二誤差:D2=3.0768%通過分析可知，該人口增長模型，在誤差允許的范圍內(nèi)是比較準(zhǔn)確的九、模型的評(píng)價(jià)與推廣本文是首先將人口增長理想

15、化以后做出的合理簡(jiǎn)單的人口三次函數(shù)增長模型，沒有考慮實(shí)際人口的影響因素：出生率，死亡率，遷入人口，遷出人口等，認(rèn)為人口的增長 率是固定不變的，有一定的局限性。隨后，綜合考慮各個(gè)能影響人口增長的因素，增長率隨人口的增長遞減，建立了阻滯增長模型對(duì)人口進(jìn)行預(yù)測(cè)， 通過比較兩種模型對(duì)未來 人口增長進(jìn)行預(yù)測(cè)。事實(shí)上，人口的預(yù)測(cè)是一個(gè)相當(dāng)復(fù)雜的問題， 影響人口增長的因素除了人口基數(shù)與 可利用資源量外，還和醫(yī)藥衛(wèi)生條件的改善、人們生育觀念的變化等因素有關(guān)， 特別在 做中短期預(yù)測(cè)時(shí)，我們希望得到滿足一定預(yù)測(cè)精度的結(jié)果， 比如在剛剛經(jīng)歷過戰(zhàn)爭(zhēng)或是 由于在特定的歷史條件下采納了特殊的人口政策等，這些因素本身以及由

16、此而引起的人口年齡結(jié)構(gòu)的變動(dòng)就會(huì)變的相當(dāng)重要，進(jìn)而需要必須予以考慮。參考文獻(xiàn)12#1 秦新強(qiáng)，數(shù)學(xué)建模，高等學(xué)校教材,2 送來忠，王志明，數(shù)學(xué)建模與實(shí)驗(yàn),3 姜啟源等 數(shù)學(xué)模型（第三版,Ml 2010, P45-65【M】科學(xué)出版社，2003,P75-81。Ml高等教育出版社2003.08 P10#附錄程序一：% curvefit02.mt=1982:1998;114333y=101654103008 104357105851107507 109300 111026112704115823 117171 118517 119850 121121 122389 123626 124810;plot(t,y,'.k','markersize',20) %描點(diǎn)a=polyfit(t,y,3)%求出二次多項(xiàng)式的系數(shù)p=poly2sym(a)%給出多項(xiàng)式的符號(hào)表達(dá)式xi=1982:0.1:1998;yi=polyval(a, xi);%求多項(xiàng)式在分點(diǎn)的值hold onplot(xi,yi,&#