幾何證明——角平分線模型(中級)

1、初中幾何證明專題 幾何證明角平分線模型(中級)【知識要點】、角平分線： （1）角平分線性質(zhì)定理：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等（作用：證明兩條線段相等）； （2）逆定理：在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上。（作用：證明兩角相等或一條射線是一個角的角平分線）。2、角平分線常見用法（或輔助線作法）：垂兩邊：如圖1，已知平分，過點作，則。截兩邊：如圖2，已知平分，點上，在上截取，則。角平分線+平行線等腰三角形：如圖3，已知平分，則；如圖4，已知平分，則。 (1) (2) (3) (4)三線合一（利用角平分線+垂線等腰三角形）： 如圖5，已知平分，且，則，。 （5）3、角平

2、分線比例定理如圖6，為的角平分線，則或。 （6）【經(jīng)典例題】例1、已知如圖，中，平分，若，求證：；例2、如圖，在中，于，平分交于，交于，且交于。試求：與的大小關(guān)系如何？例3、已知如圖，中，平分，若，求證：；例4、如圖：已知是的內(nèi)心，交于點，交于。求證：的周長等于。例5、如圖：已知在中，的平分線與的外角平分線交于點，交于點，交 于點，求證：。例6、如圖，已知中垂直于的平分線于，交于，求證：。 【提升訓練】1、如圖，已知的周長是分別平分和，于，且，求的面積2如圖，ABC的三邊AB、BC、CA長分別為40、50、60其三條角平分線交于點O，則SABO：SBCO：SCAO= 3如圖，AOB=30

3、76;，OP平分AOB，PCOB，PDOB，如果PC=6，那么PD等于 4如圖，AD是ABC的角平分線，DFAB，垂足為F，DE=DG，ADG和AED的面積分別為50和39，求EDF的面積5已知如圖在ABC中，ACB=90°，CDAB于D，A的平分線交CD于F，BC于E，過點E作EHAB于H求證：EC=CF=EH6已知：如圖，平行四邊形ABCD各角的平分線分別相交于點E，F(xiàn)，G，H，求證：四邊形EFGH是矩形7如圖，等邊ABC中，AO是BAC的角平分線，D為AO上一點，以CD為一邊且在CD下方作等邊CDE，連接BE（1）求證：ACDBCE；（2）延長BE至Q，P為BQ上一點，連接CP

4、、CQ使CP=CQ=5，若BC=8時，求PQ的長8如圖，已知在ABC中，B=90°，兩直角邊AB=7，BC=24，在三角形內(nèi)有一點P到各邊的距離都相等，則這個距離是多少？9已知：如圖在ABC中，C=90°，AD平分BAC，交BC于D，若BC=32，且BD：CD=9：7，求：D到AB邊的距離10如圖，ABC中，點D在BC上，記ABD的面積為S1，ACD的面積為S2，若S1：S2=AB：AC，則AD是ABC的角平分線請說明理由11、如圖，已知在中，分別以為邊向外作正、正，與交于，求證：（1）。（2）平分。12、已知：如圖， 、分別是外角和的平分線，它們交于點，求證：為的平分線。

5、13、如圖，求證：。14、如圖，已知、分別平分和過點，求證：。15、如圖，中，是的平分線，分別為上一點，且，求證：。16、已知：平分，求證：。17、已知，在中，、為角平分線，過點作交于，交于。 求證：。18、已知如圖，平分，求證：。 19、如圖，在四邊形中，平分，過作于，并且，求證：。20、已知中，過且/，的平分線與和分別交于、， 的平分線與和分別交于、。求證。21、如圖，已知線段，與相交于點，平分，猜想線段、三者之間有怎樣的等量關(guān)系?請寫出你的結(jié)論并予以證明。22、如圖，已知中，平分，且，求證：。23如圖所示，在四邊形ABCD中，A=90°，AD=4，連接BD，BDCD，ADB=C

6、若P是BC邊上一動點，則DP長的最小值為 24如圖所示，過線段AB的兩個端點作射線AM、BN，使AMBN，MAB和NBA的平分線交于點E，過點E作一直線垂直于AM，垂足為點D，交BN于點C（1）觀察DE、EC，你有什么發(fā)現(xiàn)？請證明你的結(jié)論；（2）請你再研究AD+BC與AB的關(guān)系，并給予證明25已知：如圖所示，AQ，BM，CN是ABC的三條角平分線試說明AQ，BM，CN交于一點26如圖，ABC中，C=90°，AD是角平分線，AC=8，AD=，求B、BC、AB27如圖，已知BAC=90°，ADBC于點D，1=2，EFBC交AC于點F試說明AE=CF28如圖，已知點B，C分別在射

7、線AN，AM上，MCB與NBC的平分線交于點P（1）求證：AP平分BAC；（2）若ACB=90°，PC=4，PB=5，AB=7，求AP的長29如圖，ABC中，AC=BC，AD平分BAC，若AC+CD=AB，求C的度數(shù)30如圖，在ABC中，C=90°，M為AB的中點，DMAB，CD平分ACB，求證：MD=AM31如圖，ABC中，D為BC的中點，DEBC交BAC的平分線于E，EFAB，交AB于F，EGAC，交AC的延長線于G，試問：BF與CG的大小如何？證明你的結(jié)論32已知：點P為EAF平分線上一點，PBAE于B，PCAF于C，點M、N分別是射線AE、AF上的點，且PM=PN（1）當點M在線段AB上，點N在線段AC的延長線上時（如圖1），求證：BM=CN；（2）在（1）的條件下，AM+AN= AC；（3）當點M在線段AB的延長線上時（如圖2），若AC：PC=2：1，PC=4，求四邊形ANPM的面積33已知：DAB=120°，AC平分DAB，B+D=180°（1）如圖1，當B=D時，求證：AB+AD=AC；（2）如圖2，當BD時，猜想（1）中的