全等三角形問(wèn)題中常見(jiàn)的輔助線的作法及例題

1、全等三角形問(wèn)題中常見(jiàn)的輔助線的作法常見(jiàn)輔助線的作法有以下幾種：1) 遇到三角形的中線，倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”2) 截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長(zhǎng)，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說(shuō)明這種作法適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目3) 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對(duì)折”4) 遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)

2、定理或逆定理5) 過(guò)圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問(wèn)題時(shí)，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來(lái)，利用三角形面積的知識(shí)解答一、 倍長(zhǎng)中線（線段）造全等例1.已知：如圖3所示，AD為 ABC的中線，求證：AB+AC>2AD。分析：要證AB+AC>2AD，由圖形想到： AB+BD>AD,AC+CD>AD，所以有：AB+AC+ BD+CD > AD +AD=2AD，但它的左邊比要證結(jié)論多BD+CD，故不能直接證出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AD，即加倍中線，把所要證的線段

3、轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去。 證明：延長(zhǎng)AD至E，使DE=AD，連接BE，CE。 3圖 例3、如圖，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點(diǎn)，求證：AD平分BAE.因?yàn)锽D=DC=AC，所以AC=1/2BC因?yàn)镋是DC中點(diǎn)，所以EC=1/2DC=1/2ACACE=BCA，所以BCAACE所以ABC=CAE因?yàn)镈C=AC，所以ADC=DACADC=ABC+BAD所以ABC+BAD=DAE+CAE所以BAD=DAE即AD平分BAE應(yīng)用：二、截長(zhǎng)補(bǔ)短例1.已知：如圖1所示， AD為ABC的中線，且1=2,3=4。求證：BE+CF>EF。分析：要證BE+CF>EF ，可利用三角形三 邊關(guān)系定

4、理證明，須把BE，CF，EF移到同一個(gè)三角形中，而由已知1=2， 3=4，可在角的兩邊截取相等的線段，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，把EN，F(xiàn)N，EF移到同個(gè)三角形中。證明：在DN上截取DN=DB，連接NE，NF。 延長(zhǎng)FD到G , 使DG=FD, 再連結(jié)EG,BG1、如圖，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求證：CDAC證明：取AB中點(diǎn)E，連接DEAD=BDDEAB，即AED=90º【等腰三角形三線合一】AB=2ACAE=AC又EAD=CAD【AD平分BAC】 AD=ADAEDACD（SAS）C=AED=90ºCDAC2、如圖，ACBD，EA,EB分別平分CAB,D

5、BA，CD過(guò)點(diǎn)E，求證;ABAC+BD在AB上取點(diǎn)N ,使得AN=ACCAE=EAN ,AE為公共邊,所以三角形CAE全等三角形EAN所以ANE=ACE又AC平行BD所以ACE+BDE=180而ANE+ENB=180所以ENB=BDENBE=EBNBE為公共邊,所以三角形EBN全等三角形EBD所以BD=BN所以AB=AN+BN=AC+BD3、如圖，已知在內(nèi)，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是，的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP證明：做輔助線PMBQ，與QC相交與M。（首先算清各角的度數(shù)）APB=180°BAPABP=180°30°80°

6、=70°且APM=180°APBMPC=180°70°QBC（同位角相等）=180°70°40°=70°APB=APM又AP是BAC的角平分線，BAP=MAPAP是公共邊ABPAMP(角邊角）AB=AM，BP=MP在MPC中，MCP=MPC=40°MP=MCAB+BP=AM+MP=AM+MC=AC在QBC中QBC=QCB=40°BQ=QCBQ+AQ=AQ+QC=ACBQ+AQ=AB+BP 贊同4、角平分線如圖，在四邊形ABCD中，BCBA,ADCD，BD平分，求證： 延長(zhǎng)BA,作DFBA的延長(zhǎng)線

7、，作DEBC1=2DE=DF（角分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等）在RtDFA與RtDEC中AD=DC,DF=DERtDFARtDEC（HL)3=C因?yàn)?+3=180°4+C=180°即A+C=180°5、如圖在ABC中，ABAC，12，P為AD上任意一點(diǎn)，求證;AB-ACPB-PC延長(zhǎng)AC至E，使AE=AB，連結(jié)PE。然后證明一下ABPAEP得到PB=PE備用（角邊角證很容易吧）PCE中，EC>PE-PCEC=AE-AC，AE=ABEC=AB-AC又PB=PEPE-PC=PB-PCAB-AC>PB-PC 三、平移變換例1 AD為ABC的角平分線，直線MN

8、AD于A.E為MN上一點(diǎn)，ABC周長(zhǎng)記為，EBC周長(zhǎng)記為.求證.例2 如圖，在ABC的邊上取兩點(diǎn)D、E，且BD=CE，求證：AB+AC>AD+AE.四、借助角平分線造全等1、如圖，已知在ABC中，B=60°，ABC的角平分線AD,CE相交于點(diǎn)O，求證：OE=OD在AC上取點(diǎn)F，使AF=AEAD是角A的平分線角EAO角FAE/AO=AO三角形AEO與AFO全等（兩邊夾角相等）EO=FO ，角AOE角AOFCE是角C的平分線角DCO角FCO角B60°角A+角C18060120°角COD=角CAO角OCA角A/2角C/260度角OCF180角AOF-角COD180

9、606060°角OCF角CODOC=OC三角形OCD與CFO全等 （兩邊夾角相等）CF=CDAC=AF+CFAE+CD即：AE+CD=AC2、如圖，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F. （1）說(shuō)明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的長(zhǎng).證明：連接BD,CDDGBC于G且平分BC所以GD為BC垂直平分線垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)距離相等BD=CD角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等,AD平分BAC，DEAB于E，DFAC的延長(zhǎng)線于F所以DE=DF在RTBED,RTCFD中DE=DFBD=CDRTBEDRTCFD(HL) BE=CF

10、五、旋轉(zhuǎn)例1 正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE+DF=EF，求EAF的度數(shù). 將三角形ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，至三角形ABG則GE=GB+BE=DF+BE=EF又AE=AE，AF=AG，所以三角形AEF全等于AEG所以EAF=GAE=BAE+GAB=BAE+DAF又EAF+BAE+DAF=90所以EAF=45度 例2 D為等腰斜邊AB的中點(diǎn)，DMDN,DM,DN分別交BC,CA于點(diǎn)E,F。（1） 當(dāng)繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求證DE=DF。（2） 若AB=2，求四邊形DECF的面積。做DPBC，垂足為P，做DQAC，垂足為QD為中點(diǎn)，且ABC為等腰RTABCDP=DQ=½BC=½AC又FDQ=PDE(旋轉(zhuǎn)）DQF=DPE=90°DQFDPESDQF=SDPE又S四邊形DECF=S四邊形DFCP+SDPES四邊形DECF=S四邊形DFCP+SDQF=½BC*