自動控制原理習題集

1、 自動控制原理習題集宋建成 劉峰編 章浙根 審校浙江科技學院自動化與電氣工程學院2006年2月前言編寫這本習題集的目的是為了配合自動控制原理課程教學，便于學生自主學習和自由發(fā)展。并且按照課程的要求和習題難易程度，將每章習題分為：基礎練習題（下標為a），本章概念直接應用；難題（下標為b），要求將本章概念加以擴展；設計題（下標為c），要求學生應用學過的控制系統(tǒng)理論求解控制工程實際問題；MATLAB題，應用MATLAB語言及相應的工具箱進行控制系統(tǒng)分析和設計等幾個層次；逐步提高學生解決問題的能力。第一章 控制系統(tǒng)導論圖1-1 電冰箱制冷系統(tǒng)原理圖1-1a 電冰箱制冷原理圖如圖1-1所示，簡述系統(tǒng)工作

2、原理，指出被控對象，被控量和給定量，并畫出系統(tǒng)方框圖。解：被控對象是看得見的實體，不能與物理量相混淆。被控制量則是被控對象中表征被控制對象工作狀態(tài)的物理量。確定控制對象要看控制的目的與任務?？刂频娜蝿帐潜３直鋬?nèi)的溫度Tc等于設定的溫度Tr。冰箱的箱體是被控對象，箱內(nèi)溫度是被控量。由控制器旋鈕設定出電位器輸出電壓（與希望溫度Tr值對應）是給定量。溫度控制器中的雙金屬溫度傳感器（測量元件）感受冰箱內(nèi)的溫度，并把它轉(zhuǎn)換為電壓信號，與控制器旋鈕設定出電位器（給定元件）輸出電壓（對應于與希望溫度Tr）相比較，利用偏差電壓（表征實際溫度和希望溫度的偏差）控制繼電器。當大到一定的值時，繼電器接通壓縮機起動

3、將蒸發(fā)器中的高溫低壓氣態(tài)制冷液送到冷卻器散熱。降溫后流出的低溫低壓冷卻液被壓縮成低溫高壓液態(tài)進入蒸發(fā)器急速降壓擴散成氣體，吸收箱體內(nèi)的熱量，使箱體內(nèi)溫度降低，而高溫低壓制冷劑又被吸入冷卻器。如此循環(huán)，使冰箱達到制冷效果。繼電器，壓縮機，蒸發(fā)器和冷卻器組成系統(tǒng)的執(zhí)行機構，完成降溫功能。冰箱制冷系統(tǒng)方框圖如圖1-2所示。圖1-2 冰箱制冷系統(tǒng)方框圖1-2a 圖1-3為液位控制系統(tǒng)的示意圖，試說明其工作原理并繪制系統(tǒng)的方框圖。圖1-3 液位控制系統(tǒng)示意圖說明 液位控制系統(tǒng)是一典型的過程控制系統(tǒng)。控制的任務是：在各種擾動的作用下盡可能保持液面高度在期望的位置上。故它屬于恒值調(diào)節(jié)系統(tǒng)?，F(xiàn)以水位控制系統(tǒng)為

4、例分析如下。解 分析圖1-3可以看到：被控量為水位高度h（而不是水流量Q2或進水流量Q1）；受控對象為水箱；使水位發(fā)生變化的主要原因是用水流量Q2，故它為系統(tǒng)的負載擾動；而進水流量Q1是用以補償用水流量的改變，使水箱的水位保持在期望的位置上的控制作用；控制進水流量的使由電動機驅(qū)動的閥門V1，故電動機-減速器-閥門V1一起構成系統(tǒng)的執(zhí)行機構；而電動機的供電電壓ud取決于電位器動觸點與接零點之間的電位差，若記接零點與電位參考點之間的電壓為ug，則它便是系統(tǒng)的給定信號，記動觸點與電位參考點之間的電壓為uf，而ud=ug-uf，故uf為負反饋信號。于是可繪制系統(tǒng)方框圖，如圖1-4所示。圖1-4 液位控

5、制系統(tǒng)方塊圖Q2Q1系統(tǒng)的調(diào)節(jié)過程如下：調(diào)整系統(tǒng)和進水閥V1的開度使系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，這時進水流量Q1和額定的用水流量Q2保持動態(tài)平衡，液面的高度恰好在期望的位置上，而與浮子杠桿相聯(lián)接的電位器動觸頭正好在電位器中點（即接零點）上，從而ud0電動機停止不動；當用水流量發(fā)生變化時，比如用水流量增大使得液面下降，于是浮子也跟著下降，通過杠桿作用帶動電位器的動觸點往上移，從而給電動機電樞提供一定的電壓，設其極性為正的(即ud>0),于是電動機正轉(zhuǎn)，通過減速器驅(qū)動閥門V1增大其開度。圖1-5 烤面包機1-3b 圖1-5是烤面包機的原理圖。面包的烘烤質(zhì)量烤箱內(nèi)的溫度決及烘烤時間決定。（1）試說明傳動

6、帶速度自動控制的工作原理，并繪制相應的原理方框圖。（2）繪制烤面包機的方框圖。解 （1）傳送帶由電動機和減速器驅(qū)動，傳送帶的線速度與電動機及減速器的角速度是固定比例關系，因此控制電動機減速器的角速度就控制了傳送器的線速度。傳送器的希望速度與溫度有關。溫度高，要求速度快，溫度低要求速度慢?？鞠鋬?nèi)溫度檢測器測出烤箱內(nèi)的溫度，傳給指示調(diào)節(jié)器。指示調(diào)節(jié)器根據(jù)預先規(guī)定的函數(shù)關系求出希望的速度，并變成相應的電信號作為調(diào)速系統(tǒng)的控制輸入加到控制器上。控制器帶動電動機，減速器驅(qū)動傳送帶運動。轉(zhuǎn)速表測出減速器的實際速度，反饋到控制器，若與要求轉(zhuǎn)速不等，則產(chǎn)生偏差信號。通過控制器控制電動機加速或減速，使速度趨于希

7、望的速度。該調(diào)速系統(tǒng)的方框圖如圖1-6所示。圖1-6 調(diào)速系統(tǒng)方框圖圖1-7 烤面包機方框圖（2） 面包的烘烤質(zhì)量與烤箱溫度與面包在烘箱內(nèi)的時間有關，而烘烤時間又與傳送帶的速度有關。在該烤面包機中，只控制烘烤時間而未控制烘烤溫度。但希望的烘烤時間又與溫度有關。該系統(tǒng)可以看作一個按擾動補償?shù)拈_環(huán)控制系圖1-8 晶體管穩(wěn)壓電路VT1統(tǒng)，溫度就是擾動量，方框圖如圖1-7所示。1-4c 一晶體管穩(wěn)壓電源如圖1-8所示。試畫出其方框圖，并說明在該電路圖中u1哪些元件起著測量、放大、執(zhí)行的作用，以及系統(tǒng)的干擾量和給定值是什么？說明 在抽象閉環(huán)系統(tǒng)方框圖時，首先要抓住比較點，搞清比較的時什么量；對于恒值控制

8、系統(tǒng)，要明確基準是什么量？還應當清楚輸入和輸出量是什么？解 本題直流穩(wěn)壓電源的基準是穩(wěn)壓管的電壓Uw，輸出電壓U2通過電阻R3和R4分壓后與穩(wěn)壓管電壓Uw比較，如果輸出電壓偏高，則經(jīng)過R3和R4分壓后電壓也偏高，使與之相連的晶體管基極電流增大，集電極電流也隨之增大，使在R1兩端電壓也增大，于是輸出電壓就減小。相反，如果輸出電壓偏低，則通過類似過程使輸出電壓增大，以達到穩(wěn)壓的目的，可畫出方塊圖如圖1-9所示。圖1-9 晶體管穩(wěn)壓電路方框圖第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型（a）圖2-1（b）2-1a 試證明圖2-1(a)所示電氣網(wǎng)絡與圖2-1(b)所示的機械系統(tǒng)具有相同的傳遞函數(shù)。解：對于圖（a）所示的

9、電氣網(wǎng)絡，其傳遞函數(shù)，可以求得為 (1)而圖(b)所示的機械系統(tǒng)的運動方程 (2) (3)假設初始條件為零 對上述二個微分方程進行拉氏變換得到 (4) (5)從(4)(5)兩個方程中消去Y（S）得到即 (6)因此，比較式（1）與式（7）可知，兩個系統(tǒng)傳遞函數(shù)相同，且兩系統(tǒng)變量間有如下相似對應關系電壓u 對應 位移x電阻R 對應 粘滯阻尼系數(shù)B電容C 對應 彈性系數(shù)得倒數(shù)1/k(a)(c)(b)圖2-22-2a 試分別寫出圖2-2中各有源網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)Uc(s)/Ur(s)。解： 圖2-2（a）所示的有源網(wǎng)絡傳遞函數(shù)Uc(s)/Ur(s)可以求得為，圖2-2（b）示的有源網(wǎng)絡傳遞函數(shù)Uc(s)/

10、Ur(s)可以求得為，圖2-2（c）所示的有源網(wǎng)絡傳遞函數(shù)Uc(s)/Ur(s)可以求得為，圖2-32-3a 圖2-3是一個轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)，輸入量是電壓U，輸出量是負載的轉(zhuǎn)速,畫出系統(tǒng)結(jié)構圖，并寫出輸入輸出間的數(shù)學表達式。解：1 列出各部分的微分方程1）23) Md=Kmia4），為電磁力矩與負載力矩2 對上面的方程組進行拉氏變換，并畫出系統(tǒng)結(jié)構圖如圖2-4所示圖2-4 轉(zhuǎn)速系統(tǒng)結(jié)構圖1）2）Eb(s)=Ke(s) 3）Md(s)=Kmia(s) 4）3消除中間變量，得到系統(tǒng)傳遞函數(shù)：2-4b 圖2-5是一個模擬控制器的電路示意圖。1）寫出輸入Ur與輸出Uc之間的微分方程；2）建立該控制器的結(jié)構

11、圖；3）求閉環(huán)傳遞函數(shù)Uc(s)/Ur(s)；4）當R1=R2= R3= R4=100K；輸入，求的穩(wěn)態(tài)輸出。圖2-5解：(1) 列出輸入Ur與輸出Uc之間的微分方程（2）將上式兩邊拉氏變換并畫出系統(tǒng)結(jié)構圖如圖2-6所示。圖2-6（3）求閉環(huán)傳遞函數(shù)Uc(s)/Ur(s)（4）當； 2-5b 天線方位角位置隨動系統(tǒng)建摸系統(tǒng)的原理圖如圖2-7所示，其方塊圖如圖2-8所示。系統(tǒng)的任務是使輸出的天線方位角0(t)跟蹤輸入方位角i(t)的變化，試建立該系統(tǒng)的數(shù)學模型。系統(tǒng)的參數(shù)值如下：電源電壓V=10v；功率放大器的增益和時間常數(shù)K1=1，T1=0.01s；伺服電動機的電樞回路電阻Rd=圖2-7 天線

12、方位角位置隨動系統(tǒng)原理圖8，轉(zhuǎn)動慣量Ja=0.02Kgm2，粘性摩擦系數(shù)fa=0.01Nms/rad，反電勢系數(shù)Ce=0.5Vs/rad，轉(zhuǎn)矩系數(shù)Cm=0.5Nm/A；減速器各齒輪的齒數(shù)為Z1=25， Z2= Z3=250；負載端的轉(zhuǎn)動慣量JL=1 Kgm2粘性摩擦系數(shù)fL=1Nms/rad。解：采用組合系統(tǒng)建摸法，根據(jù)原理圖2-7可以將系統(tǒng)劃分為六個環(huán)節(jié)：輸入電位器，差分放大器，功率放大器，電動機，減速器和輸出電位器。首先建立各個環(huán)節(jié)的數(shù)學模型，然后將它們組合起來則可得系統(tǒng)的數(shù)學摸型。1環(huán)節(jié)的數(shù)學模型(1) 輸入電位器與輸出電位器由于輸入電位器與輸出電位器的線路和電位器的結(jié)構均相同，故這兩個

13、環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)是一樣的。對電位器環(huán)節(jié)的輸出電壓與輸入角位移的特性進行線性化處理則可視其為一比例環(huán)節(jié)。由圖2-7可知；當動觸頭位于電位器中心時其輸出電壓為零；朝前或朝后轉(zhuǎn)動5圈其輸出電壓變化均為10V。于是可得它們的傳遞函數(shù)為(2) 差分放大器與功率放大器放大器通常工作在放大狀態(tài)，可不考慮飽和的影響。差分放大器的時間常數(shù)比起功率放大器以及系統(tǒng)的其他環(huán)節(jié)的時間常數(shù)要小得多，可以忽視不計。故這兩個環(huán)節(jié)的輸入輸出傳遞函數(shù)分別為差分放大器 功率放大器 (3) 電動機在小功率伺服系統(tǒng)中直流電動機的結(jié)構圖中，由于電動機的電樞回路電感很小，可以忽略不計。圖中的J與f為折算至電動機軸上系統(tǒng)轉(zhuǎn)動部分的等效轉(zhuǎn)動慣量

14、和等效粘性摩擦系數(shù)，其值分別為將具體參數(shù)值代入，于是可求得電動機的電樞（空載）電壓與轉(zhuǎn)子角位移之間的傳遞函數(shù)為(4) 減速器齒輪減速器的傳動比為=250/25=10，于是減速器的傳遞函數(shù)為2 系統(tǒng)的輸入輸出模型將個環(huán)節(jié)的數(shù)學模型按照信號的傳遞關系組合起來，則可繪制系統(tǒng)的結(jié)構圖如圖2-8所示。應用梅森公式或結(jié)構圖化簡，由圖則可求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為圖2-8 天線方位角位置隨動系統(tǒng)結(jié)構圖i(s)0(s)m(s)減速器圖2-9 倒立擺系統(tǒng)示意圖2-6c 圖2-9所示為裝在小車上的倒立擺系統(tǒng)。該系統(tǒng)與空間飛行器在發(fā)射過程中空間助推器姿態(tài)控制的模型一致。姿態(tài)控制的任務是，保持空間助推器在垂直位置。這和雜技

15、表演中藝人頂立桿的平衡系統(tǒng)是相類似的。顯然若不外施控制，該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，倒立的擺隨時都可能倒下來。為了簡化討論，假設擺的質(zhì)量m集中在桿頂（擺桿無質(zhì)量），而且只作為二維問題來處理，即擺只在圖示的平面上運動。小車質(zhì)量為M，作用在小車上的外施控制力為u，試求該系統(tǒng)的數(shù)學模型。解 系統(tǒng)的運動方程 設擺桿偏離垂直直線的角度為，由于要求倒立擺保持在垂直位置上故可認為角很小。取坐標系如圖所示，于是質(zhì)量m的重心坐標為橫坐標 縱坐標 根據(jù)牛頓第二定律，則可列寫系統(tǒng)在z方向的運動方程為 （2-1）質(zhì)量m繞p點轉(zhuǎn)動的運動方程為即 （2-2）式中g=9.81為重力加速度，L擺桿長度。而于是（2-1）和（2-2）可分

16、別改寫為 （2-3）和上式可進一步化簡為 （2-4）非線性模型的線性化 式（2-3）和（2-4）是描述倒立擺系統(tǒng)運動的非線性微分方程。由于控制的目的在于保持倒立擺在垂直位置上，故可假設和均較小。于是，從而可將系統(tǒng)的非線性模型（2-3）和（2-4）線性化為或者由上面兩個式子分別消去或，則可將線性化模型進一步改寫為 （2-5）其中表示擺桿繞p點轉(zhuǎn)動的情況，z表示小車的位置。它們都是易于測量的，若取為系統(tǒng)的輸出量，并對式（2-5）取拉氏變換，則可求得倒立擺系統(tǒng)的復域模型為系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 由上式即可導出倒立擺系統(tǒng)的輸入輸出（復域）模型為2-7c 設系統(tǒng)處于靜止狀態(tài)，當輸入單位階躍函數(shù)時其輸出響應為 t

17、>0試求該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解 由題意可知：系統(tǒng)的初始條件為零，r(t)=1(t)于是R(s)= L1（t）=1/s。對上述響應表達式的兩邊取拉氏變換，則有令Y（s）=G(s)R(s)=G(s)/s,由上式便可求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為討論 傳遞函數(shù)是線性定常單變量系統(tǒng)常用的輸入輸出模型，是經(jīng)典控制理論的重要基礎。求取傳遞函數(shù)的常用方法有下列四種：（1）根據(jù)系統(tǒng)的工作原理繪制結(jié)構圖（或信號流圖）來求取。（2）由系統(tǒng)的微分方程（或微分方程組）通過拉氏變換來導出。（3）根據(jù)系統(tǒng)響應表達式來推導，如本例；（4）由系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式轉(zhuǎn)換而得。2-8a 系統(tǒng)的結(jié)構圖如圖2-10所示，試求該系統(tǒng)的輸入輸出

18、傳遞函數(shù)。圖2-10 系統(tǒng)結(jié)構圖(簡記 Gi(s)= Gi，Hi(s)=Hi，R(s)=R，Y(s)=Y)說明 由結(jié)構圖求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)既可通過結(jié)構圖化簡也可以用梅森公式來計算，所得結(jié)果（即傳遞函數(shù)）是唯一的，但是結(jié)構圖等效變換的方案則不是唯一的。而且等效性只保證總的輸入輸出關系（即傳遞函數(shù)）不變，而結(jié)構圖內(nèi)部則不等效，本題就是對此的一個實例說明。解 (1) 結(jié)構圖化簡方案1將G3環(huán)節(jié)輸出端的引出點前移并合并局部反饋環(huán)節(jié)，如圖2-11(a)所示；然后進行串聯(lián)和反饋的等效變換，如圖2-11(b)和(c)所示；由圖2-11 (c)通過并聯(lián)的等效變換，則可求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為(b)(a)圖2-11

19、系統(tǒng)結(jié)構圖化簡方案1（2）結(jié)構圖化簡方案2(a)(b)圖2-12 系統(tǒng)結(jié)構圖化簡方案2將G2環(huán)節(jié)輸出端的引出點后移，合并局部反饋環(huán)節(jié)并作串聯(lián)等效變換，如圖2-12(a)所示。然后進行反饋和串聯(lián)的等效變換，如圖2-12(b)所示。再通過反饋變換則可化成圖2-11(c)所示的形式，從而可導出與方案1相同的傳遞函數(shù)。（3）結(jié)構圖化簡方案3將G2環(huán)節(jié)輸出端的引出點后移，把中間的相加點前移和左端的相加點合并并作串聯(lián)等效變換，如圖2-13(a)所示。然后合并局部反饋環(huán)節(jié)，如圖2-12(b)所示。再通過反饋變換則可化成圖2-11(c)所示的形式，同樣可導出與前兩個方案相同的傳遞函數(shù)。圖2-13 系統(tǒng)結(jié)構圖化

20、簡方案3(a) (b)圖2-14 系統(tǒng)信號流圖（4）應用梅森公式求解為了便于觀察，先把結(jié)構圖改畫成信號流圖。改畫過程如下：將結(jié)構圖2-10上用符號“。”標出各信號在信號流圖上設置相應的節(jié)點，則可將結(jié)構圖改畫成圖2-14所示的信號流圖。由圖可知：它有3個單獨的回路，其回路增益分別為 沒有互不接觸的回路，故信號流圖的特征式為從輸入到輸出的前向通道有2條，它們的增益及相應得余因子式分別為 于是根據(jù)梅森公式，則可求得該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為所得結(jié)果與結(jié)構圖化簡的結(jié)構相同。討論 （1）結(jié)構圖簡化雖然方案較多，但所得的結(jié)果（即傳遞函數(shù)）是唯一的?；喌幕舅悸肥牵航獬徊妫衫锿庵鸩降鼗啠幌噜彽南嗉狱c之間或

21、相鄰的引出點之間可互換位置，但是相鄰的相加點與引出點之間一般不能簡單地互換位置，若需要互換則必須保證其輸入輸出關系的等效性；對于多輸入或多輸出的復雜線性系統(tǒng)，則應用疊加原理以簡化求傳遞函數(shù)的復雜性。（2）對于復雜的結(jié)構圖，應用梅森公式可不必進行繁雜的結(jié)構圖化簡工作。為了便于觀察往往先將結(jié)構圖改畫成信號流圖。應用梅森公式解題的關鍵是要細心觀察，把所有的各種類型的回路，通向通道增益及其余因子式，一個不漏且一個也不多的找出來，謹防粗心出錯。2-9a 試化簡圖2-15所示的系統(tǒng)結(jié)構圖，求傳遞函數(shù),并試用梅遜公式求解。圖2-15圖2-16解：1 將G4前輸出移到G4后輸出消除交叉，得到多回路結(jié)構的等效框

22、圖如圖2-16所示： 2 由內(nèi)到外進行反饋連接的等效變換，直到變換為一個等效方框，即得到所求的傳遞函數(shù)。圖2-173 試用梅遜公式求解將系統(tǒng)結(jié)構圖轉(zhuǎn)換成信號流圖如圖2-17所示:一條前向通路 回路有四個：L1=；L2=；L3=；L4=則用梅遜公式可求得系統(tǒng)傳遞函數(shù)2-10a 系統(tǒng)的信號流圖如圖2-18所示，試求C(S)/R(S)圖2-18解： 2-11b 試求圖2-19所示結(jié)構圖的傳遞函數(shù)C(S)/R(S)。圖2-19圖2-20解：解法（1）應用梅遜公式求解，先將結(jié)構圖2-19轉(zhuǎn)化成信號流圖如圖2-20所示： 圖2-21解法（2）用解析法求C（S）/R（S），如圖2-21E（S）=R（S）-C

23、(S) 分析求得：圖2-222-12b已知系統(tǒng)結(jié)構如圖2-22所示。1）求傳遞函數(shù)C(S)/R(S)和C(S)/N(S)。2）若要消除干擾對輸出的影響（即 C(S)/N(S)=0），問=？解： 1）令 N（S）=0，求 圖2-23令R（S）=0，求先作等效變換框圖,如圖2-23所示,2）要使，則須求得圖2-242-13d 考慮圖2-24所示的反饋系統(tǒng)。1）利用函數(shù)series與cloop函數(shù)，計算閉環(huán)傳遞函數(shù)，并用printsys函數(shù)顯示結(jié)果；2）用step函數(shù)求取閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應，并驗證輸出終值為2/5。解：MATLAB文本如下：圖2-25numg=1;deng=1 1;numc=1

24、2;denc=1 3;num1,den1=series(numc,denc,numg,deng);num,den=cloop(num1,den1,-1)Printsys(num,den)/其結(jié)果為：Step(num,den),grid/其閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應如圖2-25所示。t=0:0:1:10;y,x,t=step(num,den,t);Plot(t,y),grid 圖2-262-14d 考慮圖2-26所示的方框圖。1）用MATLAB化簡方框圖，并計算系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)；2）利用pzmap函數(shù)繪制閉環(huán)傳遞函數(shù)的零極點圖；3）用roots函數(shù)計算閉環(huán)傳遞函數(shù)的零點和極點，并與2）的結(jié)果比較。

25、解 MATLAB文本如下：nG1=4;dG1=1; nG2=1;dG2=1 1; nG3=1,0;dG3=1,0,2; nG4=1;dG4=1,0,0;nh1=4,2;dh1=1,2,1;nh2=50;dh2=1;nh3=1,0,2;dh3=1,0,0,14;nG5, dG5=series(nG2,dG2, nG3,dG3);Printsys(nG5,dG5) /其結(jié)果為：nG6, dG6=feedback(nG5, dG5,nh1,dh1,-1)Printsys(nG6, dG6) /其結(jié)果為：nG7, dG7= feedback(nG4, dG4,nh2,dh2,+1);Printsys(

26、nG7, dG7) /其結(jié)果為：nG8, dG8=series(nG6,dG6, nG7, dG7);Printsys(nG8, dG8)/其結(jié)果為:nG9, dG9= feedback(nG8, dG8,nh3,dh3,+1);Printsys(nG9, dG9)/其結(jié)果為：num,den= series(nG1,dG1, nG9, dG9);Printsys(num,den)/其結(jié)果為：pzmap(num,den) /其閉環(huán)傳遞函數(shù)的零極點圖如圖2-27所示。Z=roots(num)P=roots(den) /計算所得的閉環(huán)傳遞函數(shù)的零點和極點結(jié)果為：圖2-27由以上分析可見，利用pzma

27、p函數(shù)繪制閉環(huán)傳遞函數(shù)的零極點圖所得結(jié)果與用roots函數(shù)計算的閉環(huán)傳遞函數(shù)零點和極點的結(jié)果是相同的。第三章 控制系統(tǒng)時域分析3-1a 系統(tǒng)結(jié)構圖如圖3-1所示。（1） 當r(t)=t，n(t)=t時，試求系統(tǒng)總穩(wěn)態(tài)誤差；（2） 當r(t)=1(t)，n(t)=0)時，試求p，tp。解：1. 令23-2a 試選擇K1和K2的值，使圖3-2所示系統(tǒng)階躍響應的峰值時間為0.5s，超調(diào)量可以忽略不計（即0.5<超調(diào)量<2.0）。圖3-2解 取 求得3-3b 3個二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)的形式都是(s)=C(s)/R(s)=wn2/(s2+2wn s+ wn2)，它們的單位階躍響應曲線如圖3

28、-3中的曲線1、2、3。其中ts1，ts2是系統(tǒng)1，2的調(diào)整時間，tp1，tp2，tp3是峰值時間。在同一s平面內(nèi)畫出3個系統(tǒng)的閉環(huán)極點的相對位置，并說明理由。解：設三個系統(tǒng)對應的閉環(huán)極點分別是S1，S1*，S2，S2* ，S3，S3*。由圖知p1=p2，故1=2，且1=2 (3-1)S1，S2在同一阻尼比線上。因ts1<ts2，故有1wn1>2wn2 (3-2)可見S1離虛軸比S2遠。由式（3-1），(3-2)可給出S1，S1*，S2，S2*的相對位置，如例圖3-4所示。因tp1=tp2，故有wd2=wd3 (3-3)S2與S3的虛部相同。因p3>p2，故3<2，且3

29、>2 (3-4)根據(jù)式（3-3），（3-4）可繪出S3，S3*，如例圖3-4所示 3-4a 某控制系統(tǒng)如圖3-5所示。其中控制器采用增益為Kp的比例控制器，即Gc(s)=Kp試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的Kp值范圍。解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為GB(s)=系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為列勞斯列陣若要使系統(tǒng)穩(wěn)定，其充要條件是勞斯列表的第一列均為正數(shù)，得穩(wěn)定條件為100Kp>0求得Kp取值范圍：0<Kp<15圖3-63-5a 某系統(tǒng)結(jié)構如圖3-6所示，作為近似，令G(s)=K2。(1)計算系統(tǒng)對K2的靈敏度；(2)計算干擾N(s)對輸出C(s)的影響；(3)為了使干擾對系統(tǒng)的影響最小，應怎樣選擇K1

30、的取值。解 （1）系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)對K2的靈敏度為圖3-7（2）令R(s)為零，求C(s)/N(s)，如圖3-7所示（3）為了使干擾對系統(tǒng)影響的最小即 應該增大K1。3-6b 設單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，若要求閉環(huán)特征方程根的實部均小于1，試問K應在什么范圍取值？如果要求實部均小于2，情況又如何？解 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)：系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為1） 要求Re(Si)<-1 求K取值范圍，令 s=Z-1代入特征方程顯然，若新的特征方程的實部小于0，則特征方程的實部小于-1。勞斯列陣：要求Re(Si)<-1 根據(jù)勞斯判據(jù)，令勞斯列表的第一列為正數(shù)，則有>0 所以要求Re(S

31、i)<-1，2） 求Re(Si)<-2，令 s=Z-2代入特征方程勞斯列陣:，有2根在新虛軸2的右邊，即穩(wěn)定裕度不到2。圖3-83-7b 某控制系統(tǒng)的結(jié)構如圖3-8所示，試確定閉環(huán)系統(tǒng)對b的靈敏度，并在范圍內(nèi)，確定K的最佳取值，使得干擾對系統(tǒng)的影響和系統(tǒng)對b的靈敏度為最小。解 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)求干擾對系統(tǒng)的影響令R（s）=0 ,求E(s)/N(s),如圖3-9所示 從上可見，使干擾對系統(tǒng)的影響和系統(tǒng)對b的靈敏度為最小，在范圍內(nèi)，K為50是最佳值。3-8b 設單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，試確定參數(shù)K和T的穩(wěn)定域。解 由1G（s）=0可得系統(tǒng)的特征方程為于是可構造勞斯列陣如下圖3-

32、10根據(jù)勞斯判據(jù)，要使系統(tǒng)穩(wěn)定其勞斯表的第一列元素必須全為正的，即T>0 K>0 T+2-K(T-2)>0故系統(tǒng)穩(wěn)定時參數(shù)K和T的取值范圍為 相應的K和T的穩(wěn)定域，如圖3-10所示。3-9b 控制系統(tǒng)的結(jié)構圖如圖3-11所示，若系統(tǒng)以頻率=2rad/s持續(xù)振蕩，試確定相應的參數(shù)K和的值解：由結(jié)構圖可得系統(tǒng)的特征方程為于是可構造勞斯表如下: 根據(jù)題意，閉環(huán)系統(tǒng)存在一對共軛純虛根P1，2。這意味著勞斯表的行全為零元素，即0。由輔助方程解得一對共軛純虛根為 聯(lián)立求解下列方程組則可求對系統(tǒng)產(chǎn)生的持續(xù)振蕩時，參數(shù)K和T的取值為 K=23-10b 系統(tǒng)方框圖如圖3-12所示。希望所有特征

33、根位于s平面上s=-2+jw的左側(cè)，且0.5。用陰影線表示出特征根在s平面上的分布范圍，并求出相對應的K、T取值范圍。解：令=0.5，則arctan()/=arctan=60。特征根的分布范圍見例圖3-13。(s)=C(s)/R(s)=K/(Ts2+ s+ K)= (K/T)/(s2+ s/T+ K/T)可得wn =K/T=1/2K/T令0.5，得KT1 K1/T (3-5)由特征方程Ts2+ s+ K=0知，系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是K>0 T>0 (3-6)特征根的實部是-1/(2T)，令-1/(2T)<-2，得T<1/4 (3-7)由式（3-5-3-7）可繪出所要求的參數(shù)范

34、圍，如例圖3-14所示。 圖3-153-11b 設控制系統(tǒng)的結(jié)構圖如圖3-15所示，其輸入信號為單位斜坡函數(shù)（即r(t)=t）.要求：(1)當=0和時，計算系統(tǒng)的暫態(tài)性能（超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間）以及穩(wěn)態(tài)誤差；（2）若要求系統(tǒng)的單位階躍相應的超調(diào)量16.3，峰值時間1s，求參數(shù)和的值。以及這時系統(tǒng)的跟蹤穩(wěn)態(tài)誤差；（3）若要求超調(diào)量16.3和當輸入信號以1.5度/秒均勻變化時跟蹤穩(wěn)態(tài)誤差0.1度，系統(tǒng)參數(shù)和的值應如何調(diào)整？解： 由結(jié)構圖可得，系統(tǒng)的開，閉環(huán)傳遞函數(shù)為 （3-8）可見它時一個二階規(guī)范系統(tǒng)，系統(tǒng)的開環(huán)增益為KKv（1）當K1=0和=0（即局部反饋回路斷開）時 由3-8式可得這時系統(tǒng)的閉環(huán)傳

35、遞函數(shù)為式中 。于是由二階系統(tǒng)性能指標表達式，則可求得系統(tǒng)的性能為 （2） 當16.3和1s時 由二階規(guī)范系統(tǒng)的暫態(tài)性能指標表達式可得 從而解得而由（式3-8）得 從而可得系統(tǒng)的參數(shù)為K11.316 0.263系統(tǒng)跟蹤單位斜坡輸入信號的穩(wěn)態(tài)誤差為esr2=1/ Kv=1/K=(1+10)/(10 K1)=0.28（3） 當16.3和esr0.1度時，由超調(diào)量16.3可求得對應的阻尼比為3=0.5，根據(jù)題意r(t)1.5t。于是由式3-8和應用誤差系數(shù)法可得聯(lián)立求解，則可求得這時參數(shù)的值為：K1 =22.5 =1.4 圖3-173-12b 圖3-16所示的位置隨動系數(shù)為1型的，當輸入信號為斜坡函

36、數(shù)時存在穩(wěn)態(tài)誤差。為了使該系統(tǒng)跟蹤斜坡信號無穩(wěn)態(tài)誤差，可采用復合控制的方式，如圖3-17所示。試確定其前饋補償裝置的傳遞函數(shù)Gc(s)。解 由結(jié)構圖可得，系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)為（缺圖3-16）于是在斜坡輸入信號r(t)=Rt作用下，系統(tǒng)的跟蹤穩(wěn)態(tài)誤差為令則可求得跟蹤斜坡信號無穩(wěn)態(tài)誤差時，所應引入的前饋補償裝置的傳遞函數(shù)為3-13b 系統(tǒng)如圖3-18所示，其中擾動信號n(t)=1(t)。僅僅改變K1的值，能否使系統(tǒng)在擾動信號作用下的誤差終值為-0.099?解：若N(s)=1/s，則由終值定理知，若系統(tǒng)穩(wěn)定，則穩(wěn)態(tài)誤差終值為essn()=設essn()=-0.099，可得K1=10。系統(tǒng)的特征方程式

37、是s3+17s2+80s+100+1000K1=0列勞斯表s3 1 80s2 17 100+1000K1s1 s0 100+1000K1系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是-0.1< K1<1.26。當K1=10時，系統(tǒng)不穩(wěn)定，可見僅改變K1值，不能使誤差終值為-0.099。3-14b 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，試求：（1）閉環(huán)極點的分布并判斷系統(tǒng)是否存在主導極點；（2）估算系統(tǒng)的暫態(tài)性能，并分析說明主導極點法的工程實用意義。解 （1）閉環(huán)極點的分布 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為于是可得閉環(huán)極點的分布p1,2=-0.743±j1.12，p3=-5.515。這些極點的實部之比為可見在三個極點中

38、P3遠離虛軸，故P1,2可視為系統(tǒng)的一對閉環(huán)主導極點。（2） 系統(tǒng)暫態(tài)性能的估算 忽略非主導極點P3的影響，于是系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可簡化為式中，根據(jù)二階規(guī)范系統(tǒng)的暫態(tài)性能指標表達式，則可估算系統(tǒng)的暫態(tài)性能如下：上升時間 峰值時間超調(diào)量 調(diào)節(jié)時間（?。?） 主導極點法的工程實用意義 對高階系統(tǒng)進行初步分析或設計時，應用主導極點法將系統(tǒng)簡化為與主導極點相對應的低階系統(tǒng)來處理，這在工程上是很有實用的價值。一般說來，主導極點的主導性越強，近似所造成的誤差就越小。以本題為例，將系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)改寫成下列一般的形式：則可求得系統(tǒng)的單位階躍響應為應用主導極點法近似時，其誤差主要表現(xiàn)在將上式右邊的第2項（

39、3）忽略掉。若以t=時刻為代表，計算系統(tǒng)響應的誤差。當非主導極點P3的分布不同（即為不同值）時，則系統(tǒng)的單位階躍響應特性及近似所造成的誤差如下表所列。非主導極點P3的分布系統(tǒng)的單位階躍響應特性近似所造成的誤差-34.040.0062-22.690.23由表可見：當3時忽略非主導極點所造成的誤差很小，在工程的容許范圍內(nèi)，而分析計算則十分地簡單方便，故主導極點法在工程上得到了廣泛的應用。3-15c 圖3-19所示的為工業(yè)上廣泛使用的KZ-D雙閉環(huán)調(diào)速系統(tǒng)，其電流環(huán)子系統(tǒng)的簡化結(jié)構圖。已知電動機的額定電壓Un220V，額定電流In=136A，系統(tǒng)的其他參數(shù)如圖中所列。電流調(diào)節(jié)器采用PI調(diào)節(jié)器并取Ti

40、=Ta=0.03s。試問：若要求電流環(huán)子系統(tǒng)的跟蹤性能指標為超調(diào)量<5%，調(diào)節(jié)時間<0.025s（取=5%），電流調(diào)節(jié)器的增益Ki應取為多大？圖3-19 KZ-D雙閉環(huán)調(diào)速系統(tǒng)電流子系統(tǒng)的結(jié)構圖解 （1） 根據(jù)跟蹤暫態(tài)性能指標要求，確定電流調(diào)節(jié)器的增益Ki由結(jié)構圖可見：由于Ti=0.03電流調(diào)節(jié)器傳遞函數(shù)分子的因子“TiS+1”，將與電動機電樞回路傳遞函數(shù)分母的因子”0.03s1“產(chǎn)生相消，故可得電流環(huán)子系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為式中。上式為二階規(guī)范系統(tǒng)的典型表達式。根據(jù)跟蹤暫態(tài)性能指標的要求，于是有 從而解的若取，由，則可得故可求得電流調(diào)節(jié)器的增益為=1.01相應的電流環(huán)子系統(tǒng)的跟蹤暫

41、態(tài)性能為 它們均滿足暫態(tài)性能指標的要求。3-16c（天線方位角位置控制系統(tǒng)的時域分析） 在2-5b已建立該系統(tǒng)的數(shù)學模型，其結(jié)構如圖2-7所示，若系統(tǒng)采用比例控制（即其前置放大器的增益是可調(diào)的），試求（1）當1000時系統(tǒng)的時間響應特性；（2）若要求超調(diào)量，應調(diào)整為何值？并分別應用MATLAB和近似估算的方法求系統(tǒng)的暫態(tài)性能，說明近似估算的適用條件。解： （1）增益的穩(wěn)定取值范圍由系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，可得系統(tǒng)的特征方程為于是可構造勞斯表如下：根據(jù)勞斯判據(jù)，為確保系統(tǒng)穩(wěn)定必須使勞斯表第一列的元素不變號，即c>0 6.62 Kc >0 故可求得系統(tǒng)在比例控制時，放大器增益的穩(wěn)定取值范圍為0

42、< Kc <2624.18。（2） 當Kc1000時系統(tǒng)暫態(tài)特性的分析由題2-5b系統(tǒng)結(jié)構圖2-7可得，系統(tǒng)的開、閉環(huán)傳遞函數(shù)為由于Kc遠低于其臨界值（Ker2624.18），在系統(tǒng)的3個開環(huán)極點中功率放大器的極點Po3-1/0.01-100遠離虛軸（相應的時間常數(shù)T3=0.01很小）可忽略不計，故系統(tǒng)的開、閉環(huán)傳遞函數(shù)可簡化為 （3-9）式中，。于是可按二階規(guī)范系統(tǒng)的表達式，估算系統(tǒng)的暫態(tài)性能如下： （3）當要求超調(diào)量時系統(tǒng)暫態(tài)特性的分析(a) 暫態(tài)性能的估算 由于系統(tǒng)響應的超調(diào)量遠低于第（2）項的相應值（71.77），可以預計這時的增益Kc<<1000，故開環(huán)時間常

43、數(shù)T30.01可忽略不計。于是系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可簡化為，從而系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可近似為 （3-10）根據(jù)對超調(diào)量的要求，則可得系統(tǒng)的阻尼比為而， 。故可求得，。于是根據(jù)二階規(guī)范系統(tǒng)的性能指標表達式，則可估算系統(tǒng)的暫態(tài)性能如下： 圖3-20 Kc=53.03時系統(tǒng)的單位階躍響應曲線（b）應用MATLAB進行時域分析由式（3-9）和(3-10)應用MATLAB程序A3.1，則可求得系統(tǒng)的實際暫態(tài)性能為1.9s，20.8546，4.4（s）；并繪制系統(tǒng)的單位階躍響應曲線，如圖3-20所示。圖中實線為按式（3-9）求得的準確相應曲線，用”.”標出數(shù)據(jù)點的為按式（3-10）將系統(tǒng)視為二階系統(tǒng)的近似響應

44、曲線。由圖中可見：當Kc遠比其臨界值小得多時，忽略小環(huán)節(jié)時間常數(shù)的影響并進行近似估算，在工程上是可行的。MATLAB程序A3.1G1=tf(0.0662*53.03,1,1.708,0.0662*53.03);G=tf(6.62*53.03,1,101.71,170.8,6.62*53.03);T=0:0.1:8;y=step(G,t);y1=step(G1,t);plot(t,y,-,t,y1,.),gridXlabel(t(sec)Legend(y,y1)Y=dcgain(G);yp,p=max(y);peaktime=t(p)Percentovershoot=100*(yp-Y)/YK=

45、length(t);while(y(k)>0.98*Y&(y(k)<1.02*Y),k=k-1;endSettingtime=t(k)(4)穩(wěn)態(tài)特性分析由式（3-9）可知：系統(tǒng)為1型的，且開環(huán)增益K=0.0388Kc38.8（當Kc1000時）或2.06（當Kc53.03）。于是系統(tǒng)的誤差系數(shù)為 。因此該系統(tǒng)跟蹤階躍輸入信號沒有穩(wěn)態(tài)誤差；跟蹤單位斜坡輸入信號的穩(wěn)態(tài)誤差為但無法跟蹤拋物線函數(shù)或其它變化更快的輸入信號，若勉強使用則跟蹤誤差將隨時間而不斷地增大，當時其終值誤差將趨于無窮大。3-17d 在為焊接機器人設計手臂位置控制系統(tǒng)時，需要仔細選擇系統(tǒng)參數(shù)。機械臂控制系統(tǒng)的結(jié)構

46、圖如圖3-21所示，其中=0.2，增益K和固有頻率n為待定參數(shù)。(1) 確定K和n的取值，使得系統(tǒng)單位階躍響應的峰值時間不超過1s，且超調(diào)量小于5；（提示：先考慮1<K/n<0.3）(2) 畫出（1）中所得系統(tǒng)的階躍響應曲線。焊點位置C(s)圖3-21解 求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)MATLAB程序A3.2，并繪制系統(tǒng)的單位階躍響應曲線，如圖3-22所示。MATLAB程序A3.2K1=K*2 K=*mb=0.4*圖3-22c=2d=K*2num=K1den=1 b c dWc,x ,t=step(num,den);plot(t,Wc),grid求得使，的和 3-18d 為了保持飛機的航向和

47、飛行高度，人們設計了如圖3-23所示的飛機自動駕駛儀圖3-23 飛機自動駕駛儀結(jié)構圖(1) 假定結(jié)構圖中的控制器是固定增益的比例控制器，即Gc（s）2，輸入為斜坡信號,，利用lsim函數(shù)計算并以曲線顯示系統(tǒng)的斜坡響應，求出10s后的航向角誤差；(2) 為了減小穩(wěn)態(tài)誤差，可以采用比例積分控制器（PI），即 試重復（1）中的仿真計算，并比較這兩種情況下的穩(wěn)態(tài)誤差。解：(1) MATLAB程序A3.3，并繪制系統(tǒng)的斜坡響應曲線，如圖3-24所示。圖3-24num1=20;den1=1 10num2=1 5;den2=1 3.5 6numg=conv(num1,num2);deng=conv(den1

48、,den2);num den=cloop(numg,deng,-1)printsys(num,den)t=0:0.1:10 u=0.5*ty1=lsim(num,den,u,t)y(length(t)從圖中求得10s后的航向角誤差y=3.0684 u=0.510=5 (2) MATLAB程序A3.4, 并繪制系統(tǒng)的斜坡響應曲線，如圖3-25所示。（）num1=2 1;den1=1 0;num2=10;den2=1 10;圖3-25num3=1 5;den3=1 3.5 6;numg=conv(num1,conv(num2,num3);deng=conv(den1,conv(den2,den3);num den=cloop(numg,deng,-1); t=0:0.1:10;u=0.5*t;y=lsim(num,den,u,t)plot(t,y),gridy(length(t)從圖中求得穩(wěn)態(tài)誤差