1531 平方差公式-

1、§153 乘法公式 課時安排 3課時 從容說課 學(xué)習(xí)乘法公式，是在學(xué)習(xí)整式乘法的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，是由一般到特殊的體現(xiàn)，所以教學(xué)時，可以安排學(xué)生計算（a+b）（a-b）、（x-y）（x+y）、（a+b）2、（a-b）2、（x+y）2等，在學(xué)生計算的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生導(dǎo)出公式，并進(jìn)一步揭示公式的結(jié)構(gòu)特征，使學(xué)生理解并掌握這些公式的特點，為正確運用這些公式進(jìn)行計算打好基礎(chǔ)為了揭示公式特征，教學(xué)中要緊緊地采取對比的方式緊扣例題與公式進(jìn)行比較，讓學(xué)生自己進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)公式的特征盡管問題千變?nèi)f化，以千姿百態(tài)出現(xiàn)，通過對比，可以發(fā)現(xiàn)特征不變，仍符合公式特征，從而根據(jù)公式解決問題 運用乘法公式計算，有時需

2、要添括號，在已學(xué)過去括號法則的基礎(chǔ)上，本節(jié)還安排了添括號法則它是乘法公式的進(jìn)一步深化應(yīng)用的工具和基礎(chǔ)學(xué)習(xí)它可以和去括號法則對比進(jìn)行 在對比中學(xué)，在對比中用，在對比中再進(jìn)行比較，從基本類型的題目到變化多端的題目，從單一題型到復(fù)雜題型，從式中的系數(shù)、指數(shù)、符號、項數(shù)、數(shù)字等逐一對比，抓住公式、法則的實質(zhì)，達(dá)到嫻熟駕馭，左右逢源，才能做到運用自如的效果§1531 平方差公式第九課時 教學(xué)目標(biāo) （一）教學(xué)知識點 1經(jīng)歷探索平方差公式的過程 2會推導(dǎo)平方差公式，并能運用公式進(jìn)行簡單的運算 （二）能力訓(xùn)練要求 1在探索平方差公式的過程中，培養(yǎng)符號感和推理能力 2培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、概括的能力 （

3、三）情感與價值觀要求 在計算過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并能用符號表示，從而體會數(shù)學(xué)的簡捷美 教學(xué)重點 平方差公式的推導(dǎo)和應(yīng)用 教學(xué)難點 理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，靈活應(yīng)用平方差公式 教學(xué)方法 探究與講練相結(jié)合 通過計算發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)一步探索公式的結(jié)構(gòu)特征，在老師的講解和學(xué)生的練習(xí)中讓學(xué)生體會公式實質(zhì)，學(xué)會靈活運用 教具準(zhǔn)備 投影片 教學(xué)過程 提出問題，創(chuàng)設(shè)情境 師你能用簡便方法計算下列各題嗎？ （1）2001×1999 （2）998×1002 生甲直接乘比較復(fù)雜，我考慮把它化成整百，整千的運算，從而使運算簡單，2001可以寫成2000+1，1999可以寫成2000-1，那么2001&#

4、215;1999可以看成是多項式的積，根據(jù)多項式乘法法則可以很快算出 生乙那么998×1002=（1000-2）（1000+2）了 師很好，請同學(xué)們自己動手運算一下 生（1）2001×1999=（2000+1）（2000-1） =20002-1×2000+1×2000+1×（-1） =20002-1 =4000000-1 =3999999 （2）998×1002=（1000-2）（1000+2） =10002+1000×2+（-2）×1000+（-2）×2 =10002-22 =1000000-4 =19

5、99996 師2001×1999=20002-12 998×1002=10002-22 它們積的結(jié)果都是兩個數(shù)的平方差，那么其他滿足這個特點的運算是否也有這個規(guī)律呢？我們繼續(xù)進(jìn)行探索 導(dǎo)入新課 師出示投影片 計算下列多項式的積 （1）（x+1）（x-1） （2）（m+2）（m-2） （3）（2x+1）（2x-1） （4）（x+5y）（x-5y） 觀察上述算式，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？運算出結(jié)果后，你又發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？再舉兩例驗證你的發(fā)現(xiàn) （學(xué)生討論，教師引導(dǎo)） 生甲上面四個算式中每個因式都是兩項 生乙我認(rèn)為更重要的是它們都是兩個數(shù)的和與差的積例如算式（1）是x與1這兩個數(shù)的和與差的積

6、；算式（2）是m與2這兩個數(shù)的和與差的積；算式（3）是2x與1這兩個數(shù)的和與差的積；算式（4）是x與5y這兩個數(shù)的和與差的積 師這個發(fā)現(xiàn)很重要，請同學(xué)們動筆算一下，相信你還會有更大的發(fā)現(xiàn) 生解：（1）（x+1）（x-1） =x2+x-x-1=x2-12 （2）（m+2）（m-2） =m2+2m-2m-2×2=m2-22 （3）（2x+1）（2x-1） =（2x）2+2x-2x-1=（2x）2-12 （4）（x+5y）（x-5y） =x2+5y·x-x·5y-（5y）2 =x2-（5y）2生從剛才的運算我發(fā)現(xiàn)：也就是說，兩個數(shù)的和與差的積等于這兩個數(shù)的平方差，這和我

7、們前面的簡便運算得出的是同一結(jié)果 師能不能再舉例驗證你的發(fā)現(xiàn)？ 生能例如：51×49=（50+1）（50-1）=502+50-50-1=502-12 即（50+1）（50-1）=502-12 （-a+b）（-a-b）=（-a）·（-a）+（-a）·（-b）+b·（-a）+b·（-b）=（-a）2-b2=a2-b2 這同樣可以驗證：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差 師為什么會是這樣的呢？ 生因為利用多項式與多項式的乘法法則展開后，中間兩項是同類項，且系數(shù)互為相反數(shù)，所以和為零，只剩下這兩個數(shù)的平方差了 師很好請用一般形式表示上述

8、規(guī)律，并對此規(guī)律進(jìn)行證明 生這個規(guī)律用符號表示為： （a+b）（a-b）=a2-b2其中a、b表示任意數(shù)，也可以表示任意的單項式、多項式 利用多項式與多項式的乘法法則可以做如下證明： （a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2 師同學(xué)們真不簡單老師為你們感到驕傲能不能給我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律（a+b）（a-b）=a2-b2起一個名字呢？ 生最終結(jié)果是兩個數(shù)的平方差，叫它“平方差公式”怎樣樣？ 師有道理這就是我們探究得到的“平方差公式”，請同學(xué)們分別用文字語言和符號語言敘述這個公式 （出示投影） 兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差 即：（a+b）（a-b）=a2-b2 平方

9、差公式是多項式乘法運算中一個重要的公式，用它直接運算會很簡便，但必須注意符合公式的結(jié)構(gòu)特征才能應(yīng)用 在應(yīng)用中體會公式特征，感受平方差公式給運算帶來的方便，從而靈活運用平方差公式進(jìn)行計算 （出示投影片） 例1：運用平方差公式計算： （1）（3x+2）（3x-2） （2）（b+2a）（2a-b） （3）（-x+2y）（-x-2y） 例2：計算： （1）102×98 （2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5） 師生共析運用平方差公式時要注意公式的結(jié)構(gòu)特征，學(xué)會對號入座 在例1的（1）中可以把3x看作a，2看作b 即：（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22 （a+b）（a-b）=a

10、2-b2 同樣的方法可以完成（2）、（3）如果形式上不符合公式特征，可以做一些簡單的轉(zhuǎn)化工作，使它符合平方差公式的特征比如（2）應(yīng)先作如下轉(zhuǎn)化： （b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b） 如果轉(zhuǎn)化后還不能符合公式特征，則應(yīng)考慮多項式的乘法法則 （作如上分析后，學(xué)生可以自己完成兩個例題也可以通過學(xué)生的板演進(jìn)行評析達(dá)到鞏固和深化的目的） 例1解：（1）（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22=9x2-4 （2）（b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）=（2a）2-b2=4a2-b2 （3）（-x+2y）（-x-2y）=（-x）2-（2y）2=x2-4y2 例2解：（1）102

11、×98=（100+2）（100-2） =1002-22=10000-4=9996 （2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5） =y2-22-（y2+5y-y-5） =y2-4-y2-4y+5 =-4y+1 師我們能不能總結(jié)一下利用平方差公式應(yīng)注意什么？ 生我覺得應(yīng)注意以下幾點： （1）公式中的字母a、b可以表示數(shù)，也可以是表示數(shù)的單項式、多項式即整式 （2）要符合公式的結(jié)構(gòu)特征才能運用平方差公式 （3）有些多項式與多項式的乘法表面上不能應(yīng)用公式，但通過加法或乘法的交換律、結(jié)合律適當(dāng)變形實質(zhì)上能應(yīng)用公式 生運算的最后結(jié)果應(yīng)該是最簡才行 師同學(xué)們總結(jié)得很好下面請同學(xué)們完成一組闖關(guān)練

12、習(xí)優(yōu)勝組選派一名代表做總結(jié)發(fā)言 隨堂練習(xí) 出示投影片： 計算： （1）（a+b）（-b+a） （2）（-a-b）（a-b） （3）（3a+2b）（3a-2b） （4）（a5-b2）（a5+b2） （5）（a+2b+2c）（a+2b-2c） （6）（a-b）（a+b）（a2+b2） 解：（1）（a+b）（-b+a）=（a+b）（a-b）=a2-b2 （2）（-a-b）（a-b）=（-b-a）（-b+a）=（-b）2-a2=b2-a2 （3）（3a+2b）（3a-2b）=（3a）2-（2b）2=9a2-4b2 （4）（a5-b2）（a5+b2）=（a5）2-（b2）2=a10-b4 （5）（a+2

13、b+2c）（a+2b-2c）=（a+2b）2-（2c）2 =（a+2b）（a+2b）-4c2 =a2+a·2b+2b·a+（2b）2-4c2 =a2+4ab+4b2-4c2 （6）（a-b）（a+b）（a2+b2） =（a2-b2）（a2+b2） =（a2）2-（b2）2=a4-b4 優(yōu)勝組總結(jié)發(fā)言： 這些運算都可以通過變形后利用平方差公式其中變形的形式有：位置變形；符號變形；系數(shù)變形；指數(shù)變形；項數(shù)變形；連用公式關(guān)鍵還是在于理解公式特征，學(xué)會對號入座，有整體思想 課時小結(jié) 通過本節(jié)學(xué)習(xí)我們掌握了如下知識 （1）平方差公式 兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積等于這兩個數(shù)的平方差這

14、個公式叫做乘法的平方差公式即（a+b）（a-b）=a2-b2 （2）公式的結(jié)構(gòu)特征 公式的字母a、b可以表示數(shù)，也可以表示單項式、多項式； 要符合公式的結(jié)構(gòu)特征才能運用平方差公式； 有些式子表面上不能應(yīng)用公式，但通過適當(dāng)變形實質(zhì)上能應(yīng)用公式如：（x+y-z）（x-y-z）=（x-z）+y（x-z）-y=（x-z）2-y2 課后作業(yè) 1課本P179練習(xí)1、2 2課本P182P183習(xí)題1531題 活動與探究 1計算：1234567892-123456788×123456790 2解方程：5x+6（3x+2）（-2+3x）-54（x-）（x+）=2 過程： 1看似數(shù)字很大，但觀察到：12

15、3456788=123456789-1，123456790=123456789+1，所以可以用平方差公式去化簡計算 2方程中含有多項式的乘法，而且符合平方差公式特征，可以用平方差公式去化簡 結(jié)果： 11234567892-123456788×123456790 =1234567892-（123456789-1）（123456789+1） =1234567892-（1234567892-1） =1234567892-1234567892+1 =1 2原方程可化為： 5x+6（3x+2）（3x-2）-54x2-（）2=2 5x+6（9x2-4）-54x2+6=2 即5x+54x2-24-

16、54x2+6=2 移項合并同類項得5x=20 x=4 板書設(shè)計 §1531 平方差公式 一、1用簡便方法計算 （1）2001×1999 （2）998×1002 2計算： （1）（x+1）（x-1） （2）（m+2）（m-2） （3）（2x+1）（2x-1） （4）（x+5y）（x-5y） 二、探究、歸納規(guī)律平方差公式； 文字語言：兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積，等于它們的平方差 符號語言：（a+b）（a-b）=a2-b2 三、應(yīng)用、升華： 1例1： 例2： 2闖關(guān)練習(xí) 四、小結(jié) 備課資料 例1利用平方差公式計算： （1）（a+3）（a-3）（a2+9）； （2）（2x-1）

17、（4x2+1）（2x+1） 分析：（1）（a+3）（a-3）適合平方差公式的形式，應(yīng)先計算（a+3）（a-3）；（2）中（2x-1）（2x+1）適合平方差公式的形式，應(yīng)先計算（2x-1）×（2x+1） 解答：（1）原式=（a2-9）（a2+9） =（a2）2-92=a4-81； （2）原式=（2x-1）（2x+1）（4x2+1） =（2x）2-12（4x2+1） =（4x2-1）（4x2+1） =（4x2）2-1=16x4-1 方法總結(jié)：觀察、發(fā)現(xiàn)哪兩個多項式符合平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，符合公式結(jié)構(gòu)特征的先算這是這類試題的計算原則 例2計算： （1）1002-992+982-972+962-952+22-12； （2）（1-）（1-）（1-）（1-）（1-） 分析：直接計算顯然太復(fù)雜，不難發(fā)現(xiàn)每兩個項正好是平方相減的形式于是便考慮能否逆用平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）去計算事實上，這是可行的 解答：（1）（1002-992）+（982-972）+（962-952）+（