數(shù)論中若干問題和進展ppt課件

1、數(shù)論中的假設干問題和進展數(shù)論中的假設干問題和進展徐飛一一. 概述概述Peano公理：自然數(shù)正整數(shù)和零。減法：整數(shù) Z。除法：有理數(shù) Q。極限：實數(shù) R。(, 2, )求解代數(shù)方程 ：復數(shù) C。一一. 概述概述數(shù)論大致分為兩類問題：1素數(shù)問題。如Riemann猜測，Goldbach猜測等。2整系數(shù)多項式方程的整數(shù)解。如Fermat猜測，BSD猜測等。二二. 素數(shù)素數(shù) 假設正整數(shù)m整除正整數(shù)n，稱m是n的一個因子。 假設正整數(shù)p的因子只需1和p，那么p稱為素數(shù)。如 2，3，5，7，11，13，17，19 等等。二二. 素數(shù)素數(shù) 算術根本定理：任何一個正整數(shù)都可表示為素數(shù)的乘積。不思索乘積次序，表達

2、式獨一。如：4=2x2, 6=2x3，12=2x2x3 等等。 二二. 素數(shù)素數(shù)定理Euclid：素數(shù)有無限多。證法一：假設素數(shù)只需有限多個，記為那么根據(jù)算術根本定理，的素數(shù)因子就一定不是上述的素數(shù)，矛盾！二二. 素數(shù)素數(shù)證法二Riemann)：根據(jù)算術根本定理，其中s是大于1的實數(shù)。 假設素數(shù)只需有限多，那么無論s取什么值等式右邊都是有限值，而等式左邊當s=1時是發(fā)散的。矛盾！二二. 素數(shù)素數(shù)利用證法二可以證明：定理Dirichlet)：等差級數(shù) a，a+d，a+2d，a+nd， 中假設a和d互素，那么該等差級數(shù)中會有無限多個素數(shù)。二二. 素數(shù)素數(shù)Riemann zeta 函數(shù)滿足函數(shù)方程s

3、1-s。(Riemann猜測)： Riemann zeta函數(shù)的非平凡零點在實部為1/2的豎直線。二二. 素數(shù)素數(shù) 假設p和p+2都是素數(shù)，稱p，p+2為孿生素數(shù)。如3，5； 5，7； 11，13； 17，19等等。猜測：孿生素數(shù)有無限多對？二. 素數(shù) Green-Tao定理： 對恣意正整數(shù)n，存在長度為n且每一項都 是素數(shù)的等差級數(shù)。 例如： 3，7，11 (n=3) 5，11，17，23，29 (n=5) 二.素數(shù)目前用計算機明確找到最長的素數(shù)等差級數(shù)是 6171054912832631+366384x223092870 xk: k=0,1,2,24 二.素數(shù)猜測1: (Goldbach

4、猜測) 恣意大于2的偶數(shù)都可寫成兩個素數(shù)的和。猜測2: (Schinzel 猜測): 首項系數(shù)為正的整系數(shù)不可約多項式, 假設沒有固定正因子, 那么存在無限多個素數(shù)可表示為該多項式的方式。二.素數(shù)特例: (Landau 猜測) 能否存在無限多素數(shù)可寫為 x +1的方式？ 類似地，可以有多個變元和假設干個多項式的Schinzel 猜測。二.素數(shù)Dirichlet 定理： 對任給定的非退化本原二元二次型，都存在無限多個素數(shù)可表示為該二元二次型的形式。 Iwaniec 將這個結果推行到二元二次非退化本原多項式情形。 二.素數(shù)Friedlander-Iwaniec 1998定理： 存在無限多個素數(shù)可以

5、表示為 x + y 的方式。 Heath-Brown 2001定理： 存在無限多個素數(shù)可以表示為 x + 2y 的方式。三. 丟番圖方程整數(shù)為系數(shù)的多項式方程都稱為丟番圖方程。希爾伯特第十問題：能否存在一個能確定整系數(shù)多項式方程有無整數(shù)解的算法？答案：否。(Davies-Putnam-Robinson-Matijasevic-Cudnovskii) 三. 丟番圖方程必要條件：1方程在實數(shù)域上有解。2方程模任何整數(shù)m有解。三. 丟番圖方程例：方程沒有整數(shù)解。沒有實數(shù)解。例：方程 沒有整數(shù)解。模3沒有解。三. 丟番圖方程設 為素數(shù)。 由中國剩余定理：三. 丟番圖方程 對素數(shù)p，思索 乘積拓撲 的閉

6、包。記為Zp。 上述必要條件:方程在實數(shù)域R和Zp上均有解。此時稱方程部分有解。四.線性方程 由帶余除法法：線性方程有整數(shù)解當且僅當方程部分有解，即上述必要條件也是充分條件。五五.二次方程二次方程 一個二次齊次整系數(shù)方程有本原解當且僅當該方程部分有非平凡解。Hasse-Minkowski 定理 普通一個二次整系數(shù)方程部分有解推不出它有整數(shù)解。這個問題有比較完好的答案，但仍沒有得到徹底處理。五.二次方程 例(Fermat)：假設二次齊次方程F(x,y,z)=0有一個非平凡的整數(shù)解，那么該方程有無限多組本原整數(shù)解，由 Q參數(shù)化。 費馬的證明： F(x,y,z)=0有非平凡的整數(shù)解一一對應于 的有了

7、解。 五.二次方程(Fermat-Gauss): 一個整數(shù)可表為兩個整數(shù)的平方和當且僅當部分可表為兩平方和。(Gauss-Legendre):一個整數(shù)可表為三個整數(shù)的平方和當且僅當部分可表為三平方和。(Lagrange):每個正整數(shù)可表為四個整數(shù)的平方和。六.三次方程 三次齊次多項式部分有非平凡解推不出該方程有整數(shù)解。三元三次齊次光滑整系數(shù)多項式給出射影空間虧格為1的一條光滑曲線。斷定這類整系數(shù)方程能否存在非平凡的本原的整數(shù)解仍沒有普通的方法。六.三次方程假設三元三次齊次光滑整系數(shù)多項式方程有一個非平凡的本原的整數(shù)解，稱該方程為橢圓曲線。記為E。橢圓曲線上非平凡的本原的整數(shù)解 E(Z)構成一個

8、有限生成的交換群。(Mordell 定理)六.三次方程 根據(jù)有限生成交換群的構造定理 E(Z) Z E(Z) 定理(Mazur)：E(Z) 16 猜測： 可恣意大？六.三次方程 除有限多個素數(shù)外，E模素數(shù)p成為有限域上的一條橢圓曲線。定義：其中 =p+1- #E( ) 。 稱為E的L-函數(shù)。六.三次方程定理(Wiles，Taylor-Wiles，Taylor，)： E的L-函數(shù)可解析開辟到全復平面并滿足函數(shù)方程s 2-s。BSD猜測：E的L函數(shù)在s=1處零點的階= 。六.三次方程定理定理(Kolyvagin，Gross-Zagier)： 當當E的的L-函數(shù)在函數(shù)在s= 1的階的階1時，時，BSD猜測猜測成立。成立。七. 高次方程定理Siegel：次數(shù)大于2的兩個變元的整系數(shù)多項式光滑方程僅有有限多個整數(shù)解。定理Faltings：次數(shù)大于3的三個變元齊次光滑多項式至多僅有有限多個非平凡的本原解。七. 高次方程定理Wiles): 假設n2, 方程 的整數(shù)解滿足 xyz=0。七. 高次方程 Euler猜測：方程 x + y + z = w 沒有正整數(shù)解