下期新化二中數(shù)學競賽試題高一教師卷

1、2011年下期新化二中高一學科競賽試題數(shù) 學（時量：120分鐘 滿分：150分）編題：伍震斌 審核：伍清明一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題后所給的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的。）1、設S，T，則（ ）A、B、C、D、解析：依題設，可知（S表示的是坐標平面上第一和第三象限內(nèi)的點，T只表示第一象限內(nèi)的點），所以。2、設且，若的反函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則a（ ）A、16B、4C、2D、解析：首先，函數(shù)的反函數(shù)為；然后，依已知，有，即，亦即有。3、已知定義在R上的函數(shù)的圖像是連續(xù)的，且其中的四組對應值如下表，那么在下列區(qū)間中，函數(shù)一定存在零點的是（ ）12346.12

2、.9A、B、C、D、解析：因為函數(shù)在R上的圖像是連續(xù)的，又，所以在上必有零點。故選B。4、下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又是區(qū)間上的增函數(shù)的是（ ）BA、 B、 C、 D、解析：因為是奇函數(shù)，所以舍去；是偶函數(shù)但在上單調(diào)遞減，也舍去；的定義域為，雖然它是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，但跟題設“在上是增函數(shù)”不符，所以舍去。符合條件的只有B選項中的函數(shù)。5、汽車經(jīng)過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路程看作時間的函數(shù)，其圖像可能是（ ）A StO StO StO StOA B C D解析：依題意及物理中的運動方程，開始的一段應是拋物線弧，中間的一段應是線段，最后一段也是拋物線

3、弧，但因是減速行駛，所以是上凸型的。在所給選項中，只有A符合。6、某商場對顧客實行購物優(yōu)惠活動，規(guī)定一次購物付款總額： 如果不超過200元，則不給予優(yōu)惠； 如果超過200元但不超過500元，則按標價給予9折優(yōu)惠； 如果超過500元，其500元內(nèi)的部分按第條給予優(yōu)惠，超過500元的部分給予7折優(yōu)惠。某人兩次去購物，分別付款168元和423元，假設他一次性購買上述兩次同樣的商品，則應付款（ ）A、513.7元B、533.7元 C、546.6元 D、548.7元ABCDA1B1C1D1EF解析：依題設，某人兩次一共購買了168+423÷0.9=638元的商品，按優(yōu)惠規(guī)則，假設他一次性購買上

4、述兩次同樣的商品，則應付款500×0.9+138×0.7=546.6（元）。故選C。7、如圖，在正方體中，E、F分別是棱、的中點，則在空間中與直線、都相交的直線（ ）DA、不存在B、有且只有兩條C、有且只有三條D、有無數(shù)條解析：對于直線CD上任意一點P，點P與直線唯一確定一個平面，該平面與直線EF相交于點Q，則直線PQ與三條直線、都相交。隨著點P在直線CD上移動，可得到與直線、都相交的直線無數(shù)條。故選D。8、定義運算“”：，如12=1；則函數(shù)的值域為（ ）CA、RB、 C、 D、1xOy解析：依題設，圖像如右，易知值域為。二、填空題（本大題共7小題，每小題5分，共35分。）

5、9、方程的解是 ?；?0、已知集合，且，則實數(shù)的取值組成的集合為 。解析：首先，； 然后，由知；由于B是一次型方程的解集，最多只有一個元素，從而B可能是或或；相應的的值為0，。11、設，若對于任意的xR，恒成立，則m的取值范圍是_.83xOy解析：。12、某工廠8年來某產(chǎn)品年產(chǎn)量y與時間t（年）的函數(shù)關(guān)系如圖：給出如下說法：前三年總產(chǎn)量增長速度越來越快；前三年總產(chǎn)量增長速度越來越慢；第三年后，這種產(chǎn)品停止生產(chǎn)；第三年后，這種產(chǎn)品年產(chǎn)量保持不變。以上說法中，正確的有_ _。（填上你認為正確的所有說法的相應序號）13、Suppose that the graph of quadratic func

6、tion f(x) passes through the origin，and there holds f(x2)f(x)x2 for all xR. Then the expression of f(x) is _ _。（英漢詞典：graph 圖像、圖形； quadratic 二次的、平方的； origin 原點； to hold 成立； expression 表達式）解析：原題翻譯：“已知二次函數(shù)f(x)的圖像過原點，而且滿足：對任意的實數(shù)x，有f(x2)f(x)x2成立，則函數(shù)f(x)的解析式為_ _?！庇么ㄏ禂?shù)法求解：依題意，可設函數(shù)f(x)的解析式為，則有， 據(jù)f(x2)f(x)x

7、2可得，所以，于是所求函數(shù)的解析式為。14、一個正三棱柱的側(cè)棱長和底面邊長相等，體積為，它的三視圖中的俯視圖如圖所示，左視圖（側(cè)視圖）是一個矩形，則這個矩形的面積是_。解析：設正三棱柱的側(cè)棱長和底面邊長為a，則由，解得a=2；正三棱柱的左視圖與底面一邊垂直的截面大小相同，故該矩形的面積是。15、已知定義在非零自然數(shù)集上的函數(shù)，則當時，nf(n)_；當時，nf(n)_。解析：當時，nf(n)n(n +2)=；當時，依題設有，所以nf(n)=0。三、解答題（本大題共6小題，共75分）16、（本小題滿分12分）計算下列各式：（）；（）。解析：（）原式=；（）原式=。17、（本小題滿分12分）對于函數(shù)

8、，若，則稱x為的“不動點”；若，則稱x為的“穩(wěn)定點”；函數(shù)的“不動點”和“穩(wěn)定點”的集合分別記為A和B，即，。（）求證：。（）若（），且，試求a,b的值及集合。解析：（）任取，則；于是；這說明。因此。（），由可知，即有；于是，方程可化為；由（）的結(jié)果，可知上述方程左邊有一個因式：，從而方程可進一步化為，解之得：或或或；即。18、（本小題滿分12分）ABCDPPPPMN··如圖是一個幾何體的表面展開圖，其中ABCD是邊長為2的正方形，三角形都是正三角形，M、N分別是PA、BC的中點。（）試作出該幾何體的直觀圖（只要作圖，不要寫畫法。）（）在此幾何體中，求MN的長度及MN與PD

9、所成角的大小。解析：（）由平面展開圖可知該幾何體是各棱長均為2的正四棱錐。（）設，則，連結(jié)MO、NO，因為M、N分別是PA、BC的中點，ABCDOPMNQ所以=1，=1；又射線CP與OM方向相同，而射線CD與ON方向相反，所以，故。取PB的中點Q，連結(jié)OQ，則。連結(jié)QM、QN，易證四邊形MONQ為菱形，所以MNOQ，從而MNPD。故MN與PD所成角為90°。19、（本小題滿分13分）在經(jīng)濟學中，函數(shù)的邊際函數(shù)為定義為，某公司每月最多生產(chǎn)100臺報警系統(tǒng)裝置。生產(chǎn)x臺的收入函數(shù)為（單位：元），其成本函數(shù)為（單位：元），利潤的等于收入與成本之差。（）求該公司的月利潤函數(shù)及其邊際利潤函數(shù)；

10、（）求出的利潤函數(shù)及其邊際利潤函數(shù)是否具有相同的最大值？（）你認為本題中邊際利潤函數(shù)取最大值的實際意義是什么？解析：（）依題意，= （且）；= （且）。（）由（），（且）；故當62或63時，=74120（元）。因為為減函數(shù)，當時有最大值2440。故與不具有相等的最大值。（）邊際利潤函數(shù)取最大值時，說明生產(chǎn)第二臺機器與生產(chǎn)第一臺的利潤差最大。20、（本小題滿分13分）已知二次函數(shù)和一次函數(shù)，其中a、b、c滿足a>b>c，a+b+c=0 (a,b,cR)。（）求證：兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點A、B；（）求線段AB在x軸上的射影A1B1的長的取值范圍。解析：（）證明：由消去y得ax2+2

11、bx+c=0，=4b24ac=4(ac)24ac=4(a2+ac+c2)=4(a+c2a+b+c=0,a>b>c, a>0,c<0；c2>0，>0，即兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點。（）解：設方程ax2+bx+c=0的兩根為x1和x2,則x1+x2=，x1x2=。|A1B1|2=(x1x2)2=(x1+x2)24x1x2a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0，a>ac>c，解得(2,)；的對稱軸方程是。(2,)時，為減函數(shù)。|A1B1|2(3,12)，故|A1B1|()。21、（本小題滿分13分）已知函數(shù)定義在上，且對任意

12、非零實數(shù)x、y，都有。（）求證：； （）判斷的奇偶性；（）若當時，總有成立，試判斷函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性并給以證明。解析：（） 由可令x=y=1，得，；令，得，。（）首先，函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱；然后，在已知條件式中，令，得，而，所以有。故函數(shù)是偶函數(shù)。（）在上任取自變量，且，則；注意到，所以；于是由已知“當時，總有成立”，可得，從而，即。因此函數(shù)在上是增函數(shù)。結(jié)合（）的結(jié)果“函數(shù)是偶函數(shù)”，可知：函數(shù)在上是減函數(shù)?！緜溥x】1、已知a,b,c，且滿足。（）求證：；（）比較的大小。解析：（）設，則有，；于是，因此，故。（）由題設a,b,c及（）可知：，因此。2、正方形ABCD中，E、F分

13、別是AB、BC的中點，將AED、DCF、BEF折起，使點A、B、C重合于一點P。（）若圖中正方形的邊長為a，求三棱錐P-EFD的體積；（）求PD與平面DEF所成角的正切值。ABCDEF··EFDP解析：（）因為PDPE，PDPF，所以PD平面PEF；又PEPF，所以=。（）MH·EFDP過點P作PMEF于M，連結(jié)DM，則EF平面PDM，所以平面PDM平面DEF。過點P作PHDM于H，則PH平面DEF，所以PDM即為PD與平面DEF所成的角；設AB=2，則PE=PF=1，PD=2，PM=，所以。3、生產(chǎn)一種機器的固定成本是0.5萬元，每生產(chǎn)100臺，需增加可變成本0.25萬元，市場對該產(chǎn)品的需求量是500臺，銷售收入（）萬元，其中t是產(chǎn)品的售出數(shù)量（百臺）。（1）試把