三角恒等變換知識總結(jié)及基礎(chǔ)訓(xùn)練

1、第四講 三角恒等變形一、三角恒等變形知識點總結(jié)1兩角和與差的三角函數(shù)；。2二倍角公式；。3三角函數(shù)式的化簡常用方法：直接應(yīng)用公式進(jìn)行降次、消項；切割化弦，異名化同名，異角化同角； 三角公式的逆用等。（2）化簡要求：能求出值的應(yīng)求出值；使三角函數(shù)種數(shù)盡量少；使項數(shù)盡量少；盡量使分母不含三角函數(shù)；盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù)。（1）降冪公式；。（2）輔助角公式，。4三角函數(shù)的求值類型有三類（1）給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角間的關(guān)系，利用三角變換消去非特殊角，轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)值問題；（2）給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵在

2、于“變角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時要注意角的范圍的討論；（3）給值求角：實質(zhì)上轉(zhuǎn)化為“給值求值”問題，由所得的所求角的函數(shù)值結(jié)合所求角的范圍及函數(shù)的單調(diào)性求得角。5三角等式的證明（1）三角恒等式的證題思路是根據(jù)等式兩端的特征，通過三角恒等變換，應(yīng)用化繁為簡、左右同一等方法，使等式兩端化“異”為“同”；（2）三角條件等式的證題思路是通過觀察，發(fā)現(xiàn)已知條件和待證等式間的關(guān)系，采用代入法、消參法或分析法進(jìn)行證明。二、典例解析【題型1】兩角和與差的三角函數(shù)【例1】已知，求cos。分析：因為既可看成是看作是的倍角，因而可得到下面的兩種解法。解：由已知sin+sin=1， cos+co

3、s=0，22得 2+2cos； cos。22得 cos2+cos2+2cos（）=1，即2cos（）=1。點評：此題是給出單角的三角函數(shù)方程，求復(fù)角的余弦值，易犯錯誤是利用方程組解sin、cos 、 sin 、 cos，但未知數(shù)有四個，顯然前景并不樂觀，其錯誤的原因在于沒有注意到所求式與已知式的關(guān)系本題關(guān)鍵在于化和為積促轉(zhuǎn)化，“整體對應(yīng)”巧應(yīng)用?！纠?】已知求。解法一：由韋達(dá)定理得tan，所以tan解法二：由韋達(dá)定理得tan，所以tan ，。點評：（1）本例解法二比解法一要簡捷，好的解法來源于熟練地掌握知識的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，從而尋找解答本題的知識“最近發(fā)展區(qū)”。（2）運用兩角和與差角三角函數(shù)公式的關(guān)

4、鍵是熟記公式，我們不僅要記住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的關(guān)系，次數(shù)關(guān)系，三角函數(shù)名等抓住公式的結(jié)構(gòu)特征對提高記憶公式的效率起到至關(guān)重要的作用，而且抓住了公式的結(jié)構(gòu)特征，有利于在解題時觀察分析題設(shè)和結(jié)論等三角函數(shù)式中所具有的相似性的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想到相應(yīng)的公式，從而找到解題的切入點。（3）對公式的逆用公式，變形式也要熟悉，如【題型2】二倍角公式【例3】化簡：，解：因為，又因，所以，原式=。點評：（1）在二倍角公式中，兩個角的倍數(shù)關(guān)系，不僅限于2是的二倍，要熟悉多種形式的兩個角的倍數(shù)關(guān)系，同時還要注意三個角的內(nèi)在聯(lián)系的作用，是常用的三角變換。（2）化簡題一定要找準(zhǔn)解題的突破口或切入點，其中

5、的降次，消元，切化弦，異名化同名，異角化同角是常用的化簡技巧。（3）公式變形，。【例4】若。解：由， 點評：此題若將的左邊展開成再求的值，就很繁瑣，把，并注意角的變換2·運用二倍角公式，問題就公難為易，化繁為簡所以在解答有條件限制的求值問題時，要善于發(fā)現(xiàn)所求的三角函數(shù)的角與已知條件的角的聯(lián)系，一般方法是拼角與拆角，如，等。【題型3】輔助角公式【例5】已知函數(shù)ycos2xsinxcosx1，xR.（1）當(dāng)函數(shù)y取得最大值時，求自變量x的集合；（2）該函數(shù)的圖象可由ysinx（xR）的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到?（1）解：ycos2xsinxcosx1（2cos2x1）（2sinx

6、cosx）1cos2xsin2x（cos2x·sinsin2x·cos）sin（2x）y取得最大值必須且只需2x2k，kZ，即xk，kZ。所以當(dāng)函數(shù)y取得最大值時，自變量x的集合為x|xk，kZ。（2）將函數(shù)ysinx依次進(jìn)行如下變換：把函數(shù)ysinx的圖象向左平移，得到函數(shù)ysin（x）的圖象；把得到的圖象上各點橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)ysin（2x）的圖象；把得到的圖象上各點縱坐標(biāo)縮短到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)ysin（2x）的圖象；把得到的圖象向上平移個單位長度，得到函數(shù)ysin（2x）的圖象；綜上得到函數(shù)ycos2xsinxcosx1的圖

7、象。點評：引入輔助角，技巧性較強，但輔助角公式，或在歷年高考中使用頻率是相當(dāng)高的，應(yīng)加以關(guān)注。【題型4】三角函數(shù)式化簡【例6】已知函數(shù)（的第四象限的角）且，求的值。解：因為，且是第四象限的角, 所以a 故 ?！绢}型5】三角函數(shù)的值及周期【例7】設(shè)函數(shù) (其中0,aR),且f(x)的圖象在y軸右側(cè)的第一個高點的橫坐標(biāo)為。（）求的值；（）如果在區(qū)間上的最小值為，求a的值。解：（I）依題意得 （II）由（I）知，。又當(dāng)時，故，從而在區(qū)間上的最小值為，故【題型6】三角函數(shù)綜合問題【例8】已知向量（I）若求（II）求的最大值。解：（1）；當(dāng)=1時有最大值,此時，最大值為。二、基礎(chǔ)訓(xùn)練一、選擇題： 1已知

8、,則= （）ABCD2. 函數(shù)的最小正周期和振幅分別是 （）A,1B,2C2,1D2,23設(shè)sin，則 （ ）A B C D4在曲線與直線的交點中，若相鄰交點距離的最小值為，則的最小正周期為 （ ）A. B. C. D.5 ( )A. B. C. D.6. 已知，(0，)，則= ( )A.1 B. C. D.17. 函數(shù)的最小正周期為 ( )A B C D 8. 已知若a=f（lg5），則 ( )A.a+b=0 B. a-b=0 C. a+b=1 D. a-b=1二、填空題： 9. 已知 則的值為_.10. 已知 ，,則 =_.11函數(shù)的最大值為 . 12. 函數(shù)的最大值為 三、解答題： 13