ch13機(jī)械波習(xí)題及答案

1、第13章 機(jī)械波 習(xí)題及答案1、振動(dòng)和波動(dòng)有什么區(qū)別和聯(lián)系？平面簡(jiǎn)諧波動(dòng)方程和簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程有什么不同？又有什么聯(lián)系？振動(dòng)曲線(xiàn)和波形曲線(xiàn)有什么不同？ 解: (1)振動(dòng)是指一個(gè)孤立的系統(tǒng)(也可是介質(zhì)中的一個(gè)質(zhì)元)在某固定平衡位置附近所做的往復(fù)運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)離開(kāi)平衡位置的位移是時(shí)間的周期性函數(shù)，即可表示為；波動(dòng)是振動(dòng)在連續(xù)介質(zhì)中的傳播過(guò)程，此時(shí)介質(zhì)中所有質(zhì)元都在各自的平衡位置附近作振動(dòng)，因此介質(zhì)中任一質(zhì)元離開(kāi)平衡位置的位移既是坐標(biāo)位置，又是時(shí)間的函數(shù)，即(2)在諧振動(dòng)方程中只有一個(gè)獨(dú)立的變量時(shí)間，它描述的是介質(zhì)中一個(gè)質(zhì)元偏離平衡位置的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律；平面諧波方程中有兩個(gè)獨(dú)立變量，即坐標(biāo)位置和時(shí)間，

2、它描述的是介質(zhì)中所有質(zhì)元偏離平衡位置的位移隨坐標(biāo)和時(shí)間變化的規(guī)律當(dāng)諧波方程中的坐標(biāo)位置給定后，即可得到該點(diǎn)的振動(dòng)方程，而波源持續(xù)不斷地振動(dòng)又是產(chǎn)生波動(dòng)的必要條件之一(3)振動(dòng)曲線(xiàn)描述的是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律，因此，其縱軸為，橫軸為；波動(dòng)曲線(xiàn)描述的是介質(zhì)中所有質(zhì)元的位移隨位置，隨時(shí)間變化的規(guī)律，其縱軸為，橫軸為每一幅圖只能給出某一時(shí)刻質(zhì)元的位移隨坐標(biāo)位置變化的規(guī)律，即只能給出某一時(shí)刻的波形圖，不同時(shí)刻的波動(dòng)曲線(xiàn)就是不同時(shí)刻的波形圖2、下列幾種說(shuō)法中，有哪些是正確的？（1） 波源的震動(dòng)頻率與波動(dòng)的頻率是不同的。（2） 波源的振動(dòng)速度與波速相同。（3） 波源的震動(dòng)周期與波動(dòng)的周期相同。（4

3、） 在波傳播方向上任一質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)相位比波源相位滯后。答：（1）不正確，對(duì)于簡(jiǎn)諧振動(dòng)，波源的振動(dòng)頻率與波動(dòng)頻率相同。 （2）不正確，波源的振動(dòng)速度與波速是兩個(gè)不同概念，兩者不相等。 （3）正確。 （4）正確。3、有人在寫(xiě)沿x軸正方向傳播的波動(dòng)方程時(shí)，認(rèn)為波從原點(diǎn)O傳播到坐標(biāo)為x的P店，P點(diǎn)的振動(dòng)要比O點(diǎn)的晚一段時(shí)間 ，因而點(diǎn)O在t時(shí)刻的相位在 時(shí)刻才能傳到P點(diǎn)，因而平面簡(jiǎn)諧波的振動(dòng)方程為你認(rèn)為如何？答：這種思路是錯(cuò)誤的。第一、應(yīng)始終以任意質(zhì)元P點(diǎn)為研究對(duì)象。第二、時(shí)間坐標(biāo)t應(yīng)定義在P點(diǎn)。第三、以O(shè)點(diǎn)的相位來(lái)定義P點(diǎn)的方程，這似乎是矛盾的。4、波動(dòng)方程中，坐標(biāo)軸原點(diǎn)是否一定要選在波源處? =0時(shí)刻

4、是否一定是波源開(kāi)始振動(dòng)的時(shí)刻? 波動(dòng)方程寫(xiě)成=cos()時(shí)，波源一定在坐標(biāo)原點(diǎn)處嗎?在什么前提下波動(dòng)方程才能寫(xiě)成這種形式?解: 由于坐標(biāo)原點(diǎn)和開(kāi)始計(jì)時(shí)時(shí)刻的選全完取是一種主觀行為，所以在波動(dòng)方程中，坐標(biāo)原點(diǎn)不一定要選在波源處，同樣，的時(shí)刻也不一定是波源開(kāi)始振動(dòng)的時(shí)刻；當(dāng)波動(dòng)方程寫(xiě)成時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)也不一定是選在波源所在處的因?yàn)樵诖颂帉?duì)于波源的含義已做了拓展，即在寫(xiě)波動(dòng)方程時(shí)，我們可以把介質(zhì)中某一已知點(diǎn)的振動(dòng)視為波源，只要把振動(dòng)方程為已知的點(diǎn)選為坐標(biāo)原點(diǎn)，即可得題示的波動(dòng)方程5、波動(dòng)方程=cos()+中的表示什么？如果改寫(xiě)為=cos ()，又是什么意思？解: 波動(dòng)方程中的表示了介質(zhì)中坐標(biāo)位置為的質(zhì)元

5、的振動(dòng)落后于原點(diǎn)的時(shí)間；則表示處質(zhì)元比原點(diǎn)落后的振動(dòng)位相6、波在介質(zhì)中傳播時(shí)，為什么質(zhì)元的動(dòng)能和勢(shì)能具有相同的位相，而彈簧振子的動(dòng)能和勢(shì)能卻沒(méi)有這樣的特點(diǎn)?解: 我們?cè)谟懻摬▌?dòng)能量時(shí)，實(shí)際上討論的是介質(zhì)中某個(gè)小體積元內(nèi)所有質(zhì)元的能量波動(dòng)動(dòng)能當(dāng)然是指質(zhì)元振動(dòng)動(dòng)能，其與振動(dòng)速度平方成正比，波動(dòng)勢(shì)能則是指介質(zhì)的形變勢(shì)能形變勢(shì)能由介質(zhì)的相對(duì)形變量(即應(yīng)變量)決定如果取波動(dòng)方程為，則相對(duì)形變量(即應(yīng)變量)為.波動(dòng)勢(shì)能則是與的平方成正比由波動(dòng)曲線(xiàn)圖(題圖)可知，在波峰，波谷處，波動(dòng)動(dòng)能有極小(此處振動(dòng)速度為零)，而在該處的應(yīng)變也為極小(該處)，所以在波峰，波谷處波動(dòng)勢(shì)能也為極??；在平衡位置處波動(dòng)動(dòng)能為極大

6、(該處振動(dòng)速度的極大)，而在該處的應(yīng)變也是最大(該處是曲線(xiàn)的拐點(diǎn))，當(dāng)然波動(dòng)勢(shì)能也為最大這就說(shuō)明了在介質(zhì)中波動(dòng)動(dòng)能與波動(dòng)勢(shì)能是同步變化的，即具有相同的量值對(duì)于一個(gè)孤立的諧振動(dòng)系統(tǒng)，是一個(gè)孤立的保守系統(tǒng)，機(jī)械能守恒，即振子的動(dòng)能與勢(shì)能之和保持為一個(gè)常數(shù)，而動(dòng)能與勢(shì)能在不斷地轉(zhuǎn)換，所以動(dòng)能和勢(shì)能不可能同步變化7、一平面簡(jiǎn)諧波在彈性介質(zhì)中傳播，在介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)從最大位移處回到平衡位置過(guò)程中，下列哪些說(shuō)法是錯(cuò)誤的？ （1）它的勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能。 （2）它的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為勢(shì)能。 （3）它從相鄰的一段介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)獲得能量，其能量逐漸增加。 （4）把自己的能量傳給相鄰的一段介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)，其能量逐漸減小。答：平面簡(jiǎn)諧波在彈性介質(zhì)

7、中傳播，當(dāng)質(zhì)元在最大位移處，振動(dòng)速度為零，形變?yōu)榱?，故該位置能量最小，?dāng)質(zhì)元在平衡位置時(shí)，振動(dòng)速度最大，形變最大，故該位置能量最大，因此當(dāng)質(zhì)元從最大位移回到平衡位置時(shí)，它要從相鄰質(zhì)元獲得能量，且能量逐漸增加。故該題中（3）是正確的，（1）（2）（4）是錯(cuò)誤的。8、兩列波能發(fā)生干涉的條件是什么？?jī)闪姓駝?dòng)方向相同，頻率相同的波在空間相遇時(shí)，能否發(fā)生干涉？為什么？答：兩列波的干涉條件是：頻率相同，震動(dòng)方向相同，相位差恒定。 兩列振動(dòng)方向相同，頻率相同的波在空間相遇，不能發(fā)生干涉，因?yàn)橄辔徊畈缓愣ā?、10、駐波是怎樣形成的？駐波形成以后，介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)相位有什么關(guān)系？為什么說(shuō)駐波中相位沒(méi)有傳播？

8、答：兩列振幅相同，傳播方向相反的相干波疊加后形成的波即為駐波。 駐波中，相鄰兩波節(jié)之間各點(diǎn)的振動(dòng)相位相同，而每一波節(jié)兩邊質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)相位相反。 由于駐波波節(jié)振幅為零，始終處于靜止?fàn)顟B(tài)，故駐波中沒(méi)有相位傳播。11、聲波在空氣中的波長(zhǎng)是0.250 m，波速是340 m/s，當(dāng)它進(jìn)入另一種介質(zhì)時(shí)，波長(zhǎng)變成了0.790 m，試求聲波在這種介質(zhì)中的波速。解：由于波的頻率與介質(zhì)無(wú)關(guān)，故在不同介質(zhì)中，波的頻率相同。由得 即 得 12、已知一波的波動(dòng)方程為 , (1) 求波長(zhǎng)，頻率，波速及傳播方向； （2）說(shuō)明x=0時(shí)波動(dòng)方程的意義，并作圖表示。解：（1）與標(biāo)準(zhǔn)波動(dòng)方程 比較得 ，于是有 波長(zhǎng) 角頻率 頻率 波

9、速 傳播方向?yàn)閤軸正方向。 （2）當(dāng)時(shí)波動(dòng)方程就成為該處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程 震動(dòng)曲線(xiàn)如圖所示。500.10.20.313、波源的振動(dòng)方程為 ,它所激起的波以2.0 m/s的速度在一條直線(xiàn)上傳播，求： （1）距波源6.0 m處一點(diǎn)的振動(dòng)方程； （2）該點(diǎn)與波源的相位差。解：波源振動(dòng)方程為 則波方程為 (1) ，則 (2)該點(diǎn)與波源的相位差為14、一平面簡(jiǎn)諧波沿軸負(fù)向傳播，波長(zhǎng)=1.0 m，原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)頻率為=2. 0 Hz，振幅0.1m，且在=0時(shí)恰好通過(guò)平衡位置向軸負(fù)向運(yùn)動(dòng)，求此平面波的波動(dòng)方程解: 由題知時(shí)原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)為，故知原點(diǎn)的振動(dòng)初相為,取波動(dòng)方程為則有15、如圖是沿軸傳播的平

10、面余弦波在時(shí)刻的波形曲線(xiàn)(1)若波沿軸正向傳播，該時(shí)刻，各點(diǎn)的振動(dòng)位相是多少?(2)若波沿軸負(fù)向傳播，上述各點(diǎn)的振動(dòng) 位相又是多少? 解: (1)波沿軸正向傳播，則在時(shí)刻，有對(duì)于點(diǎn)：，對(duì)于點(diǎn)：，對(duì)于點(diǎn)：，對(duì)于點(diǎn)：，(取負(fù)值：表示點(diǎn)位相，應(yīng)落后于點(diǎn)的位相)(2)波沿軸負(fù)向傳播，則在時(shí)刻，有對(duì)于點(diǎn)：，對(duì)于點(diǎn)：，對(duì)于點(diǎn)：，對(duì)于點(diǎn)：， (此處取正值表示點(diǎn)位相超前于點(diǎn)的位相)16、如圖所示，已知=0時(shí)和=0.5s時(shí)的波形曲線(xiàn)分別為圖中曲線(xiàn)(a)和(b) ，波沿軸正向傳播，試根據(jù)圖中繪出的條件求：(1)波動(dòng)方程；(2)點(diǎn)的振動(dòng)方程解: (1)由題圖可知，又，時(shí)，而， ，故波動(dòng)方程為(2)將代入上式，即得點(diǎn)

11、振動(dòng)方程為 17、一列機(jī)械波沿軸正向傳播，=0時(shí)的波形如圖所示，已知波速為10 m·s -1，波長(zhǎng)為2m，求：(1)波動(dòng)方程；(2) 點(diǎn)的振動(dòng)方程及振動(dòng)曲線(xiàn)；(3) 點(diǎn)的坐標(biāo)；(4) 點(diǎn)回到平衡位置所需的最短時(shí)間解: 由圖可知，時(shí)，由題知，則 (1)波動(dòng)方程為 (2)由圖知，時(shí)， (點(diǎn)的位相應(yīng)落后于點(diǎn)，故取負(fù)值)點(diǎn)振動(dòng)方程為(3) 解得 (4)根據(jù)(2)的結(jié)果可作出旋轉(zhuǎn)矢量圖如圖(a)，則由點(diǎn)回到平衡位置應(yīng)經(jīng)歷的位相角 所屬最短時(shí)間為18、如圖所示，有一平面簡(jiǎn)諧波在空間傳播，已知P點(diǎn)的振動(dòng)方程為= cos()(1)分別就圖中給出的兩種情況寫(xiě)出其波動(dòng)方程；(2)寫(xiě)出距點(diǎn)距離為的點(diǎn)的振動(dòng)

12、方程解: (1)如圖(a)，則波動(dòng)方程為如圖(b)，則波動(dòng)方程為 (2) 如圖(a)，則點(diǎn)的振動(dòng)方程為 如圖(b)，則點(diǎn)的振動(dòng)方程為19、已知平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程為(SI)(1)寫(xiě)出=4.2 s時(shí)各波峰位置的坐標(biāo)式，并求此時(shí)離原點(diǎn)最近一個(gè)波峰的位置，該波峰何時(shí)通過(guò)原點(diǎn)?(2)畫(huà)出=4.2 s時(shí)的波形曲線(xiàn) 解:(1)波峰位置坐標(biāo)應(yīng)滿(mǎn)足 解得 ()所以離原點(diǎn)最近的波峰位置為 故知, ，這就是說(shuō)該波峰在前通過(guò)原點(diǎn)，那么從計(jì)時(shí)時(shí)刻算起，則應(yīng)是，即該波峰是在時(shí)通過(guò)原點(diǎn)的 (2)，又處，時(shí)，又，當(dāng)時(shí)，則應(yīng)有 解得 ，故時(shí)的波形圖如圖所示20、題圖中(a)表示=0時(shí)刻的波形圖，(b)表示原點(diǎn)(=0)處質(zhì)元的

13、振動(dòng)曲線(xiàn)，試求此波的波動(dòng)方程，并畫(huà)出=2m處質(zhì)元的振動(dòng)曲線(xiàn)解: 由 (b)圖所示振動(dòng)曲線(xiàn)可知,，且時(shí)，故知,再結(jié)合 (a)圖所示波動(dòng)曲線(xiàn)可知，該列波沿軸負(fù)向傳播，且，若取則波動(dòng)方程為 21、22、如圖所示，和為兩相干波源，振幅均為，相距，較位相超前，求：(1) 外側(cè)各點(diǎn)的合振幅和強(qiáng)度；(2) 外側(cè)各點(diǎn)的合振幅和強(qiáng)度解：（1）在外側(cè)，距離為的點(diǎn)，傳到該點(diǎn)引起的位相差為（2）在外側(cè).距離為的點(diǎn)，傳到該點(diǎn)引起的位相差.23、如圖所示，設(shè)點(diǎn)發(fā)出的平面橫波沿方向傳播，它在點(diǎn)的振動(dòng)方程為;點(diǎn)發(fā)出的平面橫波沿方向傳播，它在點(diǎn)的振動(dòng)方程為，本題中以m計(jì)，以s計(jì)設(shè)0.4m，0.5 m，波速=0.2m·

14、s-1，求：(1)兩波傳到P點(diǎn)時(shí)的位相差；(2)當(dāng)這兩列波的振動(dòng)方向相同時(shí)，處合振動(dòng)的振幅；*(3)當(dāng)這兩列波的振動(dòng)方向互相垂直時(shí)，處合振動(dòng)的振幅 解: (1) (2)點(diǎn)是相長(zhǎng)干涉，且振動(dòng)方向相同，所以(3)若兩振動(dòng)方向垂直，又兩分振動(dòng)位相差為，這時(shí)合振動(dòng)軌跡是通過(guò)，象限的直線(xiàn)，所以合振幅為24、一平面簡(jiǎn)諧波沿軸正向傳播，如圖所示已知振幅為，頻率為波速為(1)若=0時(shí)，原點(diǎn)處質(zhì)元正好由平衡位置向位移正方向運(yùn)動(dòng)，寫(xiě)出此波的波動(dòng)方程；(2)若從分界面反射的波的振幅與入射波振幅相等，試寫(xiě)出反射波的波動(dòng)方程，并求軸上 因入射波與反射波干涉而靜止的各點(diǎn)的位置 解: (1)時(shí)，故波動(dòng)方程為m (2)入射波

15、傳到反射面時(shí)的振動(dòng)位相為(即將代入)，再考慮到波由波疏入射而在波密界面上反射，存在半波損失，所以反射波在界面處的位相為若仍以點(diǎn)為原點(diǎn)，則反射波在點(diǎn)處的位相為因只考慮以?xún)?nèi)的位相角，反射波在點(diǎn)的位相為，故反射波的波動(dòng)方程為此時(shí)駐波方程為 故波節(jié)位置為 故 ()根據(jù)題意，只能取，即25、一駐波方程為=0.02cos20cos750 (SI)，求：(1)形成此駐波的兩列行波的振幅和波速；(2)相鄰兩波節(jié)間距離 解: (1)取駐波方程為 故知 ，則， (2)所以相鄰兩波節(jié)間距離26、一弦線(xiàn)上的波動(dòng)方程為 ,式中y以cm計(jì)，t以s計(jì)。 (1)合成此駐波的兩列波的振幅和波速各為多大？ （2）相鄰兩波節(jié)間的距

16、離為多長(zhǎng)？ （3） 時(shí)刻，位于 處的質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度是多大？解：弦方程為由駐波方程可得 （1） 由 得（2）相鄰兩波節(jié)距離為 （3） 27、兩列波在一根很長(zhǎng)的細(xì)繩上傳播，它們的波動(dòng)方程分別為=0.06cos()(SI), =0.06cos()(SI)(1)試證明繩子將作駐波式振動(dòng)，并求波節(jié)、波腹的位置；(2)波腹處的振幅多大?=1.2m處振幅多大?解: (1)它們的合成波為 出現(xiàn)了變量的分離，符合駐波方程特征，故繩子在作駐波振動(dòng)令，則，k=0,±1，±2此即波腹的位置；令,則，此即波節(jié)的位置(2)波腹處振幅最大，即為m； 處的振幅由下式?jīng)Q定，即28、一汽笛發(fā)出頻率為1000 Hz的聲波，汽笛以10